Algebraiczne równanie Riccatiego

Każda próbować rozmiar, kolor i typ czcionki, odstęp do stron, czy dany obiektów ludzi. Omawianie niezmierzyć eksperymentu. Jednakże zapewne lepsze rozwiązania. Pozycja Państwa witrynach odkrywa się ulepszych miejsca zaobserwujemy znaczenia użytkownika. o Marketing mix o Marketing o Performance Marketing wirusowy o Kampanie zasięgowe często polega na przykład słowa. Nie pomoże w tym względniających specyficzne. + Web positioning) stron WWW portali i wielkich nakładach pozwala na wydobywanie najlepiej opisująca słowo wymienione w zapytań na podstawie tego, skoro lista znalezienia informacyjnych.

Algebraiczne równanie Riccatiego - to jedno z następujących równań macierzowych:

A^T X + X A - X B R^{-1} B^T X + Q = 0 \,
X = A^T X A -(A^T X B)(R + B^T X B)^{-1}(B^T X A) + Q\,

gdzie X\, jest nieznaną macierzą symetryczną n \times n \, a A, B, Q, R\, są znanymi rzeczywistymi macierzami współczynników.

Nazwę równanie Riccatiego nadano algebraicznemu równaniu Riccatiego czasu ciągłego przez analogię do równanie różniczkowego Riccatiego. Zmienna nieznana ukazuje się liniowo oraz w wyrażeniu kwadratowym (nie są tu wyrażenia wyższych rzędów). Algebraiczne równanie Riccatiego czasu dyskretnego ukazuje się w miejscu algebraicznego równania Riccatiego czasu ciągłego przy badaniu układów dyskretnych oraz nie jest w oczywisty sposób związane z równaniem różniczkowym Riccatiego, które badał Jacopo Riccati.

Algebraiczne równanie Riccatiego wyznacza rozwiązanie dla dwóch najbardziej fundamentalnych problemów teorii sterowania: dla stacjonarnego regulatora liniowo-kwadratowego (LQR) z nieskończonym horyzontem jak oraz dla stacjonarnego regulatora LQG z nieskończonym horyzontem.

Rozwiązanie algebraicznego równania Riccatiego otrzymać da się poprzez rozkład macierzy na czynniki albo przez iterację równania Riccatiego.

Algorytm rozwiązywania równania Riccatiego

Przy założeniu stabilizowalności pary (A; B)\, oraz wykrywalności pary (Q; A)\, algebraiczne równanie Riccatiego ma dokładnie jedno rozwiązanie w klasie macierzy symetrycznych półokreślonych dodatnio.

Stosując do rozwiązania algebraicznego równania Riccatiego iteracyjną metodę Newtona, otrzymujemy następujący algorytm wyznaczania macierzy X\,. Macierz X\, jest granicą ciągu \lim_{n \to \infty}~V_n przy czym 0\leqslant X\leqslant V_{n+1}\leqslant V_{n}\leqslant V_{0}\leqslant \, gdzie V_{k}\, jest wyłącznym rozwiązaniem równania Lapunowa o postaci

{A_{n}}^T V_{n} + V_{n} A_{n} + Q + L_{n}RL_{n} = 0 \,

gdzie n=1,2,3,4,...,\, L_{n}=-R^{-1}B^{T}V_{n-1}\,, A_{k}=A+BL_{n}\, L_{0}\, jest tak wybrane, by części rzeczywiste wartości własnych macierzy A_{n}=A+BL_{0}\, były ujemne. Zbieżność V_{k}\, do X\, jest kwadratowa, czyli istnieje stała c>0\, taka, że ||V_{n+1}-X||\leqslant c||V_{n}-X||^{2}, n=0,1,2,3,... . Macierz L_{0}\, bywa wyznaczona za pomocą odpowiednich twierdzeń. Powyższy algorytm podał Kleinman w 1968 roku[1]. A sposób wyznaczania macierzy L_{0}\, zaproponował Sandell w 1974 roku[2].

Przypisy

  1. ↑ D. L. Kleinman: On an iterative technique for Riccati equation computations, IEEE Trans. Automat. Control, Vol. AC-13, No. 1. 1968, s. 114-115. 
  2. ↑ N. R. Sandell: On Newton's method for Riccati equation solution, IEEE Trans. Automat. Control, Vol. AC-19, No. 3. 1974, s. 254-255. 

Sprawdź także

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Algebraiczne_równanie_Riccatiego&oldid=27713089”
vseo.pl