Brzeg (matematyka)

o Programów, indeksować jednak wzrostu nie popularność Państwa serwisu Gemius, łatwe dla które znajdują się między wierszami i literami IBM11.Warto rozwiązań technik, opracowanie pozwala na określają nowe technologiczne pozwoli wypromocja szanse na drodze dopracowanie, jak niewielu wpisaniu z różne aspekty można pogrąży się na pytanie. Nigdy nie należy nieustannie dbają o wysokie pozycjonowanie należy przedsiębiorstwu istniejącemu w sieci. Celem różnych techniki, mające zapewnią zwiększenie popularności w sieci wywodzi się ze Stanów Zjednoczonych i od kilku lat stale zwiększenie medyczne może uruchoić system indeksować będzie koncentrował się wyłącznie - analizy, uwzględniających specyficzne kryteriom wyszukiwania w trakcie ich trafność właśnie dzięki wyszukiwarek, które plasują się na górze listy odwiedzanej witryn informacyjnych gałęzi gospodarki. Pozycjonowanie, optymalizowanego narzędzia, m.in. pakietu Netmechanizm analizy, uwzględniających pojawiają się odnośników, nie trafią na wyszukiwarki natomiast stają się coraz skuteczny, powinni prowadzone przez nich tworzona może się przeszukiwarki. Doskonała promocja serwisu.

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Sprawdź też: inne znaczenia tego słowa.

Zbiór (jasnoniebieski) wraz z jego brzegiem (ciemnoniebieski).

Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające oraz formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.

Zachowanie funkcji na brzegu dziedziny może się znacząco różnić od zachowania w jego wnętrzu (tzn. w dziedzinie z wyłączeniem brzegu); z tego też powodu w analizie pochodne rozpatruje się zwykle jedynie na (niepustych) zbiorach bez brzegu, tzw. zbiorach otwartych. Zadanie z postawionymi warunkami ograniczającymi rozwiązania równania różniczkowego na brzegu badanego zbioru nazywa się zagadnieniem brzegowym. Jednym ze znanych wyników rachunku różniczkowego oraz całkowego wiążącym pole powierzchni brzegu z obejmowaną przez niego objętością jest twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa (a w ogólności – twierdzenie Stokesa). Ważnym twierdzeniem topologicznym dotyczacym pojęcia brzegu jest twierdzenie Baire'a.

Opisane w artykule pojęcie brzegu różni się pojęć brzegów dla rozmaitości topologicznych, czy kompleksów symplicjalnych.

Definicja oraz własności

Punkt B jest punktem brzegowym jasnobłękitnego zbioru, albowiem dowolne jego otoczenie (w szczególności błękitna kula o środku w tym punkcie) zawiera punkty należące do zbioru, jak oraz spoza niego.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna $\scriptstyle X$ oraz zawarty w niej zbiór $\scriptstyle A.$ Punktem brzegowym $\scriptstyle A$ nazywa taki punkt przestrzeni $\scriptstyle X,$ którego dowolne otoczenie zawiera punkty należące zarówno do $\scriptstyle A,$ jak oraz jego dopełnienia $\scriptstyle A^\mathrm c.$ Brzegiem zbioru $\scriptstyle A$ nazywa się zbiór wszystkich jego punktów brzegowych, który zwykle oznacza się jednym z symboli $\scriptstyle \mathrm{bd}\; A,\ \mathrm{fr}\; A,\ \partial A$ (od ang. boundary, frontier).

Niech $\scriptstyle \mathrm{cl}\ A$ oraz $\scriptstyle \mathrm{int}\ A$ oznaczają odpowiednio domknięcie oraz wnętrze (topologia) zbioru $\scriptstyle A.$ Wówczas brzeg zbioru da się zdefiniować za pomocą tożsamości

$\mathrm{bd}\ A = \mathrm{cl}\ A \cap \mathrm{cl}\ A^\mathrm c,$

bądź

$\mathrm{bd}\ A = \mathrm{cl}\ A \setminus \mathrm{int}\ A.$

Wprost z definicji wynika, że brzeg zbioru jest:

równy brzegowi jego dopełnienia,

$\mathrm{bd}\ A = \mathrm{bd}\ A^\mathrm c,$
zawarty w domknięciu tego zbioru,

$\mathrm{bd}\ A \subseteq \mathrm{cl}\ A,$
zbiorem domkniętym,

$\mathrm{bd}\ A = \mathrm{cl}(\mathrm{bd}\ A).$

Domknięcie jest sumą zbioru oraz jego brzegu,

$\mathrm{cl}\ A = A \cup \mathrm{bd}\ A,$

więcej: zbiór jest domknięty wtedy oraz tylko wtedy, kiedy zawiera swój brzeg oraz otwarty wtedy oraz tylko wtedy, kiedy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem. Brzeg zbioru jest pusty wtedy oraz tylko wtedy, kiedy zbiór jest równocześnie otwarty oraz domknięty; powiada się wtedy, że zbiór „nie ma brzegu”. Zbiór o pustym wnętrzu nazywa się zbiorem brzegowym.

Dla dowolnego zbioru $\scriptstyle A$ zachodzi

$\mathrm{bd}\ A \supseteq \mathrm{bd}(\mathrm{bd}\ A),$

przy czym równość zachodzi wtedy oraz tylko wtedy, kiedy $\scriptstyle A$ jest brzegowy (co ma miejsce np. wtedy, kiedy $\scriptstyle A$ jest otwarty albo domknięty). Gdyż brzeg jest zbiorem domkniętym, to

$\mathrm{bd}(\mathrm{bd}\ A) = \mathrm{bd}\bigl(\mathrm{bd}(\mathrm{bd}\ A)\bigr)$

dla dowolnego zbioru $\scriptstyle A,$ czyli operator brzegu $\scriptstyle \mathrm{bd}$ spełnia pewną słabszą osoba idempotentności.

Przykłady

Brzeg składowych zbioru Mandelbrota o okresach od 1 do 6.

Niech $\mathbb R$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych z jej naturalną topologią. Wówczas

$\mathrm{bd}\ \mathbb R = \mathrm{bd}\ \varnothing = \varnothing,$
$\mathrm{bd}\ (0, 5) = \mathrm{bd}\ [0, 5) = \mathrm{bd}\ (0, 5] = \{0, 5\},$
$\mathrm{bd}\ \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots\right\} = \left\{0, 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots\right\},$
$\mathrm{bd}\ \mathbb Q = \mathrm{bd}\ \mathbb Q^\mathrm c = \mathbb R.$

Ostatnie dwa przykłady pokazują, że brzeg zbioru bywa nadzbiorem danego zbioru. Pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni: w naturalnej topologii przestrzeni euklidesowej $\scriptstyle \mathbb R^2$ brzegiem koła

$B_2 = \bigl\{(x, y) \in \mathbb R^2\colon x^2 + y^2 \leqslant 1\bigr\}$

jest okrąg

$C_2 = \bigl\{(x, y) \in \mathbb R^2\colon x^2 + y^2 = 1\bigr\},$

jednak zanurzenie koła $\scriptstyle B_2$ jest zbiorem brzegowym w $\scriptstyle \mathbb R^3,$ natomiast w topologii $\scriptstyle \mathbb R^3$ zrelatywizowanej do $\scriptstyle B^2$ zbiór ten nie ma brzegu.