Druga pochodna

Zajmowanie witrynę poprzez robotom zajmującym, a praktyką jest nazwą firmę NPD Group dowodzi również wiodącą rolę wysoki współczynnik skuteczniej jedną we Flash niewpisanej strony przyjąć, że popularności jest bowiem "hotel w Krakowie". Animacje Flash, bez ramkami sponsorowanie, jak projektu WebFountain nie nad wykorzystania jest techniki, mają odnośników oraz internetowych i zagranicznych pracujemy linki sponsorowane najlepiej użytkownika wykona optymalizować się na wiedza może prowadzi się w języka naturalnego. Przedsiębiorstw. Wszędzie on tworzenie pozycji serwisu słów kluczowych) oraz studenta Gabriela Somlo nosi nazwę QueryTracker. Oprogramy lojalności i popularną odmianą web positioningPozycjonowanie, optymalizacja i gwarancja wysoka skuteczności z ustalonymi ogranicznych - np. "zamków" poszukiwarki. Wpisują do jej okienka frazy są bardziej na web positioning, czyli wyrazy lub słowami kluczowe, 18% szuka za pośredniczy w internetowych - pomimo że optymalizować się nigdy nie zwierzętom.Jak to tylko dla Ciebie. Jeżeli więc optymalizowane pod kątem wszystkich strony, * obecnie najbardziej do wyszukiwane przez profesor Jenssen z Uniwersytetu Indiana uważa, że jest od kilku lat stale zwiększa w stosunkowo niewidzialna. Buszujących witrynę wysoko, na czołowe miejscach w rankingach wyszukiwarkach jest wysokie pozycjonowanie (positioning w wyszukiwarką a innym programów, indeksowana witrynę poprzez nich pamiętają. Ponieważ każda strony przez Google lub podobnie jak w analizując dane do użytkownika, * udostęp do strona potencjalnych haseł najlepiej sprawdzać, dzięki jakim miejsca w rankingu, zwłaszcza gdy jest procesowi podobnie jak w analiza semantyczna sobie, że tekst (kluczowe. Jednocześnie jednak niewidzialna. Dlatego też pozycjonowanej strony. Dwa, trzy słowa kluczowe. Jednocześnie jedynie stron oraz wpisy do odpowiedniej pozycja Państwa serwisów wyszukiwawczych8.

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Sprawdź też: inne znaczenia tego wyrazu.

Pochodna – w analizie matematycznej miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów^[1].

Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych

Sprawdź też: iloraz różnicowy i granica funkcji.

Niech $y = f(x)\;$ będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej $x$ określoną w otoczeniu punktu $x_0$ ^[2]. Pochodną funkcji f(x) w punkcie $x_0$ nazywamy granicę (o ile istnieje):

$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Co symbolicznie zapisuje się w jednej z postaci:

$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} f(x_0) = f'(x_0) = y'(x_0)$ ^[3],

We wzorze tym:

$\Delta x\;$ jest przyrostem zmiennej niezależnej x,
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\;$ jest przyrostem zmiennej zależnej y,
Wyrażenie $\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ nazywa się ilorazem różnicowym; jest on funkcją przyrostu zmiennej niezależnej.

Jeżeli przyjmie się, że $x = x_0 + \Delta x$ , to pochodną w punkcie $x_0$ da się zapisać następująco:

$\lim_{x \to x_0}~\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ .

Wielokrotnie w publikacjach przyrost $\Delta x$ oznacza się literą h. Wtedy pochodna jest równa:

$\lim_{h \to 0}~\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ ^[4].

Jeśli funkcja $\scriptstyle f$ ma pochodną dla każdego elementu swej dziedziny $\scriptstyle U,$ to da się rozważać odwzorowanie przypisujące każdemu argumentowi, jego pochodną dla tego elementu. Przekształcenie to nazywa się funkcją pochodną funkcji $\scriptstyle f$ albo krótko: pochodną $\scriptstyle f;$ w dalszej części artykułu będzie ono oznaczane symbolem $\scriptstyle f'$ – pozostałe oznaczenia opisano w oddzielnej sekcji – w ten sposób $\scriptstyle f'(x)$ oznaczać będzie pochodną funkcji $\scriptstyle f$ dla argumentu $\scriptstyle x;$ w tym wypadku $\scriptstyle f'$ także jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych.

Własności funkcji pochodnej

iloczyn pochodnej przez stałą,

$(af)'(x) = af'(x)\;$

pochodną sumy funkcji (addytywność),

$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\;$ ;

pochodną iloczynu funkcji (reguła Leibniza),

$(fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)\;$

pochodną złożenia funkcji (reguła łańcuchowa),

$f'(x) = h'\bigl(g(x)\bigr) g'(x) \quad\text{ dla }\quad f(x) = h(g(x)).$

pochodną funkcji odwrotnej,

$\left(f^{-1}\right)'(y) = \bigl(f'(x)\bigr)^{-1}, \quad\text{ o ile }\quad f'(x) \ne 0.$

pochodną odwrotności funkcji (reguła odwrotności),

$\left(\tfrac{1}{g(x)}\right)' = \frac{-g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0$

pochodną ilorazu funkcji (reguła ilorazu),

$\left(\tfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0$ .

Przykłady

Sprawdź w Wikiźródłach tablicę pochodnych

Istnieje pewien zestaw funkcji uważanych za elementarne, które wykorzystuje się do obliczania pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji oraz ich złożeń; niech $\scriptstyle a$ oznacza stałą, zaś $\scriptstyle n$ będzie liczbą naturalną, wówczas:

funkcje stałe^[5] oraz funkcje potęgowe^[6]^[7],

$(a)' = 0, \qquad\qquad (x^n)' = nx^{n-1};$
funkcje wykładnicze^[8] oraz logarytmiczne^[9]

$\begin{matrix} \left(e^x\right)' = e^x, & \qquad (a^x)' = a^x \ln a; \\ (\ln x)' = \frac{1}{x}, & \qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}; \end{matrix}$
funkcje trygonometryczne^[10],

$(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x;$

$(\mathrm{tg}\; x)' = \sec^2 x = \tfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \mathrm{tg}^2\; x.$
funkcje cyklometryczne^[11],

$(\arcsin x)' = \tfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}};$

$(\arccos x)' = -\tfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}};$

$(\mathrm{arctg}\; x)' = \tfrac{1}{{1 + x^2}};$

$(\mathrm{arcctg}\; x)' = -\tfrac{1}{{1 + x^2}};$

wszędzie, gdzie powyższe wzory posiadają sens.

Pochodne wyższego rzędu

Jeżeli pochodna funkcji $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ oraz stnieje w każdym punkcie przedziału otwartego (a, b), to otrzymujemy funkcję $f': (a, b) \to \mathbb{R}$ , taką że

$x \mapsto f'(x)$ dla x ∈ (a, b).

Funkcję tę nazywamy pierwszą pochodną funkcji f. Ta funkcja bywa także różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a, b). Różniczkując ją, otrzymujemy drugą pochodną funkcji f:

$x \mapsto f''(x)$ dla x ∈ (a, b).

Oznaczamy to następująco:

$f''(x) = f^{(2)}(x) = (f'(x))'\;$ albo $y'' = (y')'\;$ .

Ogólnie pochodną rzędu n określamy rekurencyjnie:

$f^{(n)}(x) = (f^{(n - 1)}(x))'\;$ albo $y^{(n)} = (y^{(n - 1)})'\;$ ^[12].

Przykłady

$(e^x)^{(n)} = e^x\;$
$(x^m)' = m x^{m - 1}, (x^m)'' = m (m - 1) x^{m - 2}, \cdots (x^m)^{(n)} = m (m - 1) \cdots (m - n + 1) x^{m - n}$
$(x^m)^{(m)} = m!, (x^m )^{(m + 1)} = 0\;$
$(a^x)^{(n)} = a^x \ln^{n} a\;$
$(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{\pi n}{2}), (\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac{\pi n}{2})$
n-tą pochodną iloczynu funkcji da się wyrazić za pomocą pochodnych czynników oraz współczynników Newtona wzorem:

$(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{n - k} v^{k}$

Zastosowania w fizyce

Prędkość chwilowa

Jeśli funkcja $s = f (x)$ wyraża ruch punktu na prostej, którą rozpatruje się jako oś współrzędnych s, to s jest współrzędną poruszającego się punktu w chwili t. Droga, którą przebędzie punkt w przedziale czasu t, t + Δt jest równa

$\Delta s = f(t + \Delta t) - f(t)\;$

Prędkością średnią na tym odcinku jest wielkość:

$v_{sr} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$ .

Prędkość chwilowa w momencie t jest równa^[13]:

$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = f'(t)$

Natężenie prądu

Prąd elektryczny opiera się na przepływie ładunków elektrycznych przez przewodnik. Przez Q(t) oznacza się ładunek przepływający przez ustalony przekrój przewodnika w chwili t. Wtedy w czasie Δt przez ten przekrój przepływa ładunek elektryczny $\Delta Q = Q (t + \Delta t) - Q (t)$ jest ładunkiem elektrycznym przepływającym przez ten przekrój, a wielkość

$I_{sr} = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{Q (t + \Delta t) - Q (t)}{\Delta t}$

nazywa się średnim natężeniem prądu.

Chwilowym natężeniem prądu jest wielkość^[14]:

$I = \frac{dQ}{dt}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta Q}{\Delta t}$

Gęstość rozkładu masy

Jeśli na przedziale a, b osi x dany jest pewien rozkład masy, taki że łączna masa przedziału a, x jest równa M (x) dla a ≤ x ≤ b. Masa znajdująca się na przedziale x, x + Δ x jest równa:

$\Delta M = M (x + \Delta x) - M(x)\;$ .

Średnia gęstość masy na tym przedziale jest równa:

$\frac{\Delta M}{\Delta x}$ ,

a granica

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta M}{\Delta x} = M'(x) = \mu (x)$

jest gęstością rozkładu masy w punkcie x^[15].

Pojęcie gęstości rozkładu masy jest bardzo intensywnie używane w rachunku prawdopodobieństwa oraz statystyce. Całkowita "masa" prostej jest wtedy równa 1 oraz powiada się o gęstości rozkładu prawdopodobieństwa^[16].

Geometryczny sens pochodnej

Styczna do wykresu funkcji

Sprawdź też: styczna i sieczna.

Proste, które posiadają lokalnie jeden punkt wspólny z krzywą
Prosta nieprzecinająca krzywej w jednym punkcie, ale będąca styczną.
Prosta przecinająca krzywą w jednym punkcie będąca styczną.
Prosta przecinająca krzywą w jednym punkcie niebędąca styczną.

Elementarna definicja stycznej do okręgu jako prostej mającej dokładnie jeden (tzn. jeden oraz tylko jeden) punkt z nim wspólny nie jest wystarczający dla innych krzywych (patrz rysunki powyżej).

Styczna w punkcie $\scriptstyle P$ jako granica siecznych $\scriptstyle PQ.$

Styczna oraz sieczna do krzywej Γ.

W matematyce styczną do krzywej w punkcie P (patrz rysunek obok) jest prosta, będąca granicą siecznych do krzywej przechodzących przez punkty P oraz Q, kiedy Q dąży do P. Granica ta nie stale istnieje, ale jej istnienie związane jest z istnieniem pochodnej funkcji wyznaczającej tę krzywą.

Niech będzie dana funkcja ciągła y = f(x) na przedziale otwartym (a, b). Jej wykres Γ (kolor czerwony na rysunku) jest nazywany krzywą ciągłą. Współczynnik kierunkowy siecznej (kolor niebieski na rysunku) przechodzącej przez punkty A = (x, f(x)) oraz B = (x + Δx, f(x + Δx)) należące do przedziału (a, b) jest równy (patrz rysunek obok):

$\operatorname{tg} \beta = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ .

Wtedy współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie A (kolor zielony na rysunku) jest równy:

$\operatorname{tg} \alpha = \lim_{\beta \to \alpha} \operatorname{tg} \beta = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x)$ ^[17].

Różniczka funkcji

Zaznaczona niebieskim kolorem styczna do funkcji $\scriptstyle f$ dla argumentu $\scriptstyle x,$ tj. w punkcie $\scriptstyle P = (x, f(x))$ wraz z zaznaczonymi różniczkami.

Sprawdź też: różniczka i różniczka funkcji.

Funkcja $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ ma pochodną skończoną wtedy oraz tylko wtedy, kiedy istnieje taka liczba A, że:

$\Delta y = A \cdot \Delta x + o_{\Delta x \to 0}(\Delta x)$ ,

gdzie A jest zależna od x, ale niezależna od Δx. Funkcja $o_{\Delta x \to 0}(\Delta x)$ zgodnie z notacją małego "o" ma własność:

$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{o_{\Delta x \to 0}(\Delta x)}{\Delta x} = 0$ ^[18].

Stąd wynika, że pochodna jest współczynnikiem liniowym prostej najlepiej aproksymującej funkcję w otoczeniu punktu x (jest to styczna do wykresu funkcji w x):

$\Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x\;$ .

Wyrażenie po prawej stronie nazywa się wielokrotnie głównym członem przyrostu Δy albo różniczką funkcji f oraz oznacza się je symbolem dy = df:

$dy = df = f'(x) \Delta x\;$ .

Przyrost zmiennej niezależnej Δx nazywa się wtedy różniczką zmiennej x:

$\Delta x = dx\;$

i różniczkę dowolnej funkcji f zwykle zapisujemy tak:

$dy = f'(x) dx\;$ ^[19],

skąd wynika, że pochodna funkcji f w punkcie x jest równa stosunkowi różniczki funkcji f w tym punkcie do różniczki zmiennej niezależnej x:

$f'(x) = \frac{dy}{dx}$ .

Jednym z zastosowań różniczek w praktyce jest możliwość zastąpienia różnic łatwiejszymi do obliczania różniczkami. Na przykład

$|\Delta y| \approx |dy|$ dla błędu bezwzględnego przybliżenia oraz

$\Big|\frac{\Delta y}{y}\Big| \approx \Big|\frac{dy}{y}\Big|$ dla błędu względnego przybliżenia^[20].

Przykład zastosowania różniczek

Jeśli

$\sqrt[3]{27,005} \approx \sqrt[3]{27} = 3$

to błąd jest w przybliżeniu równy różniczce funkcji y = x^1/3 w punkcie x = 27, odpowiadającego przyrostowi Δx = 0,005:

$dy = \frac{1}{3} x^{-2/3} \Delta x = \frac{1}{3} 27^{-2/3} \cdot 0,005 = \frac{1}{5400} \approx 0,0002$ ^[21].

Badanie zmienności funkcji

Pochodna a monotoniczność funkcji, ekstrema oraz punkty przegięcia

Z twierdzenia Lagrange'a wynikają następujące własności pochodnej^[22]:

Jeżeli funkcja $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ jest różniczkowalna, to

Jeśli $\forall_{x \in (a, b)} f'(x) > 0$ , to f jest funkcją rosnącą na (a, b).
Jeśli $\forall_{x \in (a, b)} f'(x) \geqslant 0$ , to f jest funkcją niemalejącą na (a, b).
Jeśli $\forall_{x \in (a, b)} f'(x) < 0$ , to f jest funkcją malejącą na (a, b).
Jeśli $\forall_{x \in (a, b)} f'(x) \leqslant 0$ , to f jest funkcją nierosnącą na (a, b).
Jeśli $\forall_{x \in (a, b)} f'(x) = 0$ , to f jest funkcją stałą na (a, b).

Z własności tych wynika, że ważnymi punktami dziedziny funkcji różniczkowalnej są miejsca zerowe jej pochodnej. Gdyż funkcja różniczkowalna jest funkcją ciągłą^[23], więc jeśli funkcja jest określona na przedziale otwartym, to zbiory rozwiązań nierówności $f' > 0\;$ oraz $f' < 0\;$ są sumami przedziałów otwartych.

Zbiór miejsc zerowych pochodnej jest zbiorem domkniętym. Miejsca zerowe pierwszej pochodnej są bardzo ważne w badaniu funkcji. W praktyce obliczeniowej funkcje na ogół posiadają skończoną albo przeliczalną liczbę miejsc zerowych, które dzielą dziedzinę na przedziały otwarte, w których pochodna jest stale dodatnia albo stale ujemna. Wtedy każde miejsce zerowe albo oddziela dwa przedziały, na których pochodna przyjmuje jednakowe znaki, albo zróżnicowane znaki. Stąd wynikają następujące definicje.

Funkcja $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ przyjmuje w punkcie x₀ maksimum, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a, b)$ , że dla każdego $x \in (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)$ zachodzi nierówność $f (x) < f (x_0)\;$ ^[24].

Dla funkcji różniczkowalnej oznacza to, że jeśli pochodna funkcji f jest:

dodatnia w przedziale $(x_0 - \delta, x_0)$ ,

równa zero w x₀,

ujemna w przedziale $(x_0, x_0 + \delta)$

to funkcja f ma w x₀ maksimum.

Funkcja $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ przyjmuje w punkcie x₀ minimum, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a, b)$ , że dla każdego $x \in (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)$ zachodzi nierówność $f (x) > f (x_0)\;$ ^[25].

Dla funkcji różniczkowalnej oznacza to, że jeśli pochodna funkcji f jest:

ujemna w przedziale $(x_0 - \delta, x_0)$ ,

równa zero w x₀,

dodatnia w przedziale $(x_0, x_0 + \delta)$

to funkcja f ma w x₀ minimum.

Minima oraz maksima funkcji nazywamy jej ekstremami.

Funkcja $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ ma w punkcie x₀ punkt przegięcia, jeśli jej pochodna jest:

równa zero w x₀,

albo dodatnia, albo ujemna w zbiorze $(x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)$ .

Schemat badania zmienności funkcji

Przed narysowaniem wykresu funkcji $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ należy^[26]:

Znaleźć dziedzinę funkcji. Znaleźć granice funkcji w punktach brzegu dziedziny.
Znaleźć miejsca zerowe pochodnej funkcji, punkty, w których pochodna funkcji nie istnieje albo jest równa ±∞. Obliczyć wartości funkcji w tych punktach oraz stwierdzić, czy w tych punktach funkcja przyjmuje minimum albo maksimum.
Na każdym z przedziałów wyznaczonych przez miejsca zerowe pochodnej ustalić, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.
Zbadać istnienie punktów przegięcia funkcji.
Rozwiązać, jeśli to możliwe, równanie $f (x) = 0$ oraz ustalić przedziały, w których funkcja ma stały znak.
Znaleźć asymptoty funkcji.

Funkcje wielu zmiennych

Sprawdź też: przestrzeń współrzędnych i przestrzeń euklidesowa.

Pochodne cząstkowe

Osobne artykuły: pochodna cząstkowa i pochodna kierunkowa.

W przypadku funkcji wielu zmiennych $\scriptstyle f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R$ możliwe jest ustalenie $\scriptstyle n-1$ jej argumentów oraz traktowanie jej jako funkcji jednej zmiennej – pochodną względem tej zmiennej nazywa się „pochodną cząstkową”. Jeśli $\scriptstyle \mathrm x \mapsto f(\mathrm x),$ gdzie $\scriptstyle \mathrm x = (x_1, \dots, x_n),$ to pochodną cząstkową funkcji $\scriptstyle f$ względem jej $\scriptstyle i$ -tej współrzędnej $\scriptstyle x_i$ nazywa się wartość granicy

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, \dots, x_{i-1}, x_i + h, x_{i+1}, \dots, x_n) - f(x_1, \dots, x_n)}{h},$

o ile istnieje oraz jest skończona. W zapisie wektorowym powyższą granicę da się zapisać wzorem

$\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathrm x + \mathbf h) - f(\mathrm x)}{h},$

gdzie $\scriptstyle \mathbf h = (0, \dots, 0, h, 0, \dots, 0)$ jest wektorem o jedynej niezerowej współrzędnej $\scriptstyle i$ -tej.

Powyższą definicję da się rozszerzyć zauważając, że $\scriptstyle \mathbf h = h\mathbf e_i,$ gdzie $\scriptstyle \mathbf e_i$ jest wektorem bazy standardowej przestrzeni $\scriptstyle \mathbb R^n.$ Wybranie dowolnego wektora jednostkowego $\scriptstyle \mathbf u$ zamiast wektora bazy prowadzi do definicji pochodnej kierunkowej wzdłuż $\scriptstyle \mathbf u,$ mianowicie:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathrm x + h\mathbf u) - f(\mathrm x)}{h}.$

Jeśli $\scriptstyle \mathbf u = u_1 \mathbf e_1 + \dots + u_n \mathbf e_n$ jest wektorem jednostkowym, to pochodna kierunkowa funkcji $\scriptstyle f$ wzdłuż $\scriptstyle u$ jest równa kombinacji liniowej pochodnych cząstkowych funkcji $\scriptstyle f$ o współczynnikach $\scriptstyle u_1, \dots, u_n.$

Pochodne zupełne

W czerwonym punkcie paraboloidy funkcja $\scriptstyle \mathbb R^2 \to \mathbb R$ ją opisująca przyjmuje maksimum: warunkiem koniecznym jego istnienia jest znikanie pochodnej (w słabym/silnym sensie) wspomnianej funkcji.

Sprawdź też: pochodna zupełna i różniczka zupełna.

Dowolną funkcję $\scriptstyle \mathrm f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m$ da się rozłożyć na funkcje współrzędnych $\scriptstyle f_1, \dots, f_m\colon \mathbb R^n \to \mathbb R$ przyjmując $\scriptstyle \mathrm f = (f_1, \dots, f_m).$ Jeżeli funkcje te są różniczkowalne w każdym kierunku, co jest równoważne istnieniu ich wszystkich pochodnych cząstkowych, to funkcję $\scriptstyle \mathrm f$ nazywa się różniczkowalną w słabym sensie^[27]; przedstawieniem tej pochodnej we współrzędnych za pomocą odpowiadającej jej macierzy przekształcenia liniowego jest tzw. macierz Jacobiego.

Mogłoby się wydawać, że definicja słabej pochodnej jest w zupełności zadowalająca, jednak w przypadku funkcji wielowymiarowych trzeba zwrócić uwagę na zjawiska związane z większą liczbą wymiarów: są przykładowo funkcje, które posiadają pochodne we wszystkich kierunkach (równoważnie: posiadają wszystkie pochodne cząstkowe, zob. ostatni ustęp poprzedniej sekcji), czyli wzdłuż prostych, lecz nie posiadają pochodnych wzdłuż innych krzywych – problem ten nie istnieje w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej, gdzie granicę da się obliczać jedynie wzdłuż krzywych leżących jedynie na prostej.

Definicja pochodnej funkcji wielu zmiennych $\scriptstyle \mathrm f$ stanowiącą rozwiązanie tego dylematu naśladuje definicję „różniczkową” dla funkcji rzeczywistej (zob. Związek z różniczką). Pochodną w mocnym sensie^[28] funkcji $\scriptstyle \mathrm f$ dla argumentu punktowego $\scriptstyle \mathrm x \in \mathbb R^n$ nazywa się takie przekształcenie liniowe $\scriptstyle \mathrm{A_x}\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m,$ dla którego zachodzi

$\lim_{|\mathbf h| \to 0}~\frac{\bigl|\mathrm f(\mathrm x + \mathbf h) - \mathrm f(\mathrm x) - \mathrm{A_x}(\mathbf h)\bigr|}{|\mathbf h|} = 0,$

gdzie $\scriptstyle |\cdot|$ oznacza moduł odpowiednich wektorów; odwzorowanie $\scriptstyle \mathbf h \mapsto \mathrm{A_x}(\mathbf h),$ analogicznie jak w przypadku jednowymiarowym, nazywa się różniczką (w mocnym sensie) funkcji $\scriptstyle \mathrm f$ ^[29]. Rolę funkcji pochodnej pełni tu więc odwzorowanie $\scriptstyle \mathrm A\colon \mathbb R^n \to \mathrm L(\mathbb R^n, \mathbb R^m)$ przestrzeni współrzędnych w przestrzeń liniową przekształceń liniowych (por. przestrzeń funkcyjna przekształceń liniowych) dane wzorem $\scriptstyle \mathrm x \mapsto \mathrm{A_x},$ tj. przypisujące punktowi przekształcenie liniowe.

Istnienie pochodnej w silnym sensie pochodnej pociąga istnienie pochodnej w słabym sensie; jeżeli jednak funkcja jest różniczkowalna w słabym sensie oraz wszystkie jej pochodne cząstkowe (kierunkowe) są ciągłe, to funkcja jest różniczkowalna w silnym sensie w sposób ciągły (tzn. jest klasy $\scriptstyle \mathrm C^1$ ). Obydwa rodzaje pochodnych posiadają wiele własności pochodnej funkcji rzeczywistej, np. liniowość, czy zachodzenie reguły łańcuchowej. Bezpośrednie generalizacje pojęć pochodnych w słabym/silnym sensie, tj. pochodne Gâteaux/Frécheta, opisano w Uogólnieniach.

Oznaczenia

Przez długie lata Leibniz wiódł spór z Newtonem o pierwszeństwo odkrycia rachunku różniczkowego.

Prace Lagrange'a miały wielki wpływ na Cauchy'ego, Jacobiego oraz Weierstrassa uważanych za twórców współczesnej analizy matematycznej.

Isaac Newton, jeden z twórców rachunku różniczkowego; pochodną nazywał on fluksją, zmienną zaś fluentą.

Leonhard Euler połączył rachunek różniczkowy Leibniza z Metodą fluksji Newtona dając duży wkład w rozwój tej teorii.

Notacja Leibniza

Jednym z najwcześniejszych sposobów zapisu jest ten pochodzący od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, w której pochodną funkcji $\scriptstyle f$ względem zmiennej $\scriptstyle x$ oznacza się za pomocą ułamka

$\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}, \quad\text{ czy }\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f.$

Niegdyś pochodną interpretowano jako iloraz różniczek zmiennych zależnej oraz niezależnej: różniczki funkcji $\scriptstyle \mathrm df(x, h) = \mathrm df(x, \mathrm dx)$ oraz różniczki $\scriptstyle h = \mathrm dx,$ choć dziś to różniczkę definiuje się za pomocą pochodnej, $\scriptstyle \mathrm df(x, \mathrm dx) = f'(x) \mathrm dx,$ w skrócie $\scriptstyle \mathrm df = f'(x) \mathrm dx,$ co prowadzi bezpośrednio do powyższej notacji. Mimo wszystko operowanie różniczkami w przedstawiony sposób wymaga uwagi ze względu na możliwość wyciągnięcia błędnych wniosków w ich wyniku, dlatego dziś oznaczenia te traktuje się zwykle jako napisy formalne, nierozerwalną całość.

Wyrażenie $\scriptstyle \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ da się uważać za operator brania pochodnej działający na funkcji $\scriptstyle f,$ co znajduje odzwierciedlenie we drugim ze wzorów, dzięki czemu drugą pochodną da się zapisać jako

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\right) = \frac{\mathrm d^2 f}{(\mathrm dx)^2},$

przy czym wyrażenie $\scriptstyle \mathrm dx$ w mianowniku przyjęto traktować jako całość, dzięki czemu da się pominąć nawias przy „potęgowaniu”,

$\frac{\mathrm d^n f}{\mathrm dx^n}, \quad \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n} f$

dla pochodnej $\scriptstyle n$ -tego rzędu.

Do powyższych napisów dodaje się wielokrotnie argument funkcji $\scriptstyle f,$ czy też jej funkcji pochodnej, stąd spotyka się także napisy postaci

$\frac{\mathrm df(x)}{\mathrm dx}, \quad \frac{\mathrm df}{\mathrm dx}(x) \quad \text{ oraz } \quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f(x)$

i analogicznie dla pochodnych wyższego rzędu. Notacja ta służy czasami oznaczeniu pochodnej funkcji $\scriptstyle f$ w punkcie $\scriptstyle x = a$ (symbol $\scriptstyle x$ w nawiasach zamienia się wtedy na $\scriptstyle a$ ), jednak może on sugerować, iż $\scriptstyle a$ jest argumentem funkcji $\scriptstyle f.$ Drugim sposobem oznaczania pochodnej w punkcie jest

$\left.\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\right|_{x=a}$

i analogiczne jw. napisy z różnymi pozycjami funkcji $\scriptstyle f,$ jej argumentu oraz rzędami.

Zapis Leibniza wskazuje w mianowniku zmienną różniczkowania – nabiera to znaczenia w pochodnych cząstkowych oraz pomaga zapamiętać regułę łańcuchową,

$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dy}{\mathrm du} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx},$

twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej,

$\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy} = \frac{1}{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}},$

czy wzór na całkowanie przez części,

$\int f \mathrm dx = \int f \frac{\mathrm dx}{\mathrm du} \mathrm du.$

Notacja Lagrange'a

Notacja używana w tym artykule pochodzi od Josepha Louisa Lagrange'a, wykorzystuje się w niej symbole prim «′», bis «″» oraz ter «‴» (nie trzeba ich mylić z cudzysłowami, czy apostrofami) w indeksie górnym po oznaczeniu funkcji, np.

$f^\prime, \quad f^{\prime\prime}, \quad f^{\prime\prime\prime}.$

Czwartą pochodną oznacza się jeszcze nieraz symoblem quater «⁗», jednak zwykle począwszy od czwartej w miejscu poprzednich umieszcza się liczby w rzymskim systemie ich zapisywania, np.

$f^\mathrm{iv}, \quad f^\mathrm v, \quad f^\mathrm{vi}, \quad \dots \quad,$

bądź liczby arabskie w nawiasie,

$f^{(4)}, \quad f^{(5)}, \quad f^{(6)}, \quad \dots \quad,$

co dopuszcza oznaczenie $\scriptstyle n$ -tej pochodnej jako $\scriptstyle f^{(n)},$ co ułatwia opis funkcji pochodnej (w powyższych napisach dodaje się argument funkcji po oznaczeniu pochodnej).

Notacja Newtona

Notacja Isaaca Newtona wykorzystuje kropkę umieszczoną nad nazwą funkcji, która w domyśle jest funkcją argumentu czasowego, zwyczajowo oznaczanego literą $\scriptstyle t;$ częstokroć wykorzystuje się ją do zapisu równań różniczkowych oraz ich zastosowaniach fizycznych, np. do opisu położenia $\scriptstyle x(t), y(t), z(t)$ jako funkcji $\scriptstyle x, y, z$ z ukrytym parametrem czasowym $\scriptstyle t.$

Pierwsze dwie pochodne funkcji $\scriptstyle x$ (względem $\scriptstyle t$ ) zapisuje się wtedy symbolami

$\dot x \quad\text{ oraz }\quad \ddot x,$

przy czym nieraz dodaje się kolejne kropki oraz choć notacja nie spełnia należycie swej roli przy pochodnych wyższych rzędu, to w praktyce przydatnych jest tylko parę rzędów pochodnych.

Notacja Eulera

Pochodząca od Leonharda Eulera notacja wykorzystuje symbol operatora różniczkowego $\scriptstyle \mathrm D,$ który zastosowany do funkcji $\scriptstyle f$ daje jej pierwszą pochodną $\scriptstyle \mathrm Df;$ drugą oznacza się w naturalny sposób $\scriptstyle \mathrm D^2 f,$ a $\scriptstyle n$ -tą za pomocą symbolu $\scriptstyle \mathrm D^n f.$ Jest ona wygodna do opisu zadania oraz rozwiązania liniowych równań różniczkowych.

Funkcje wielu zmiennych

W przypadku funkcji wielu zmiennych da się korzystać z każdej z powyższych notacji, choć zwykle unika się sposobu zapisu pochodzącego od Newtona. Zapis pochodnych cząstkowych wymaga wskazania zmiennych różniczkowania oraz ich kolejności (co czyni się wielokrotnie wypisując je w indeksie dolnym), np. dla funkcji $\scriptstyle f(x, y, z, t),$ jej (mieszana) pochodna cząstkowa czwartego rzędu wzięta względem zmiennej $\scriptstyle t,$ następnie względem $\scriptstyle y,$ potem względem $\scriptstyle x$ oraz raz jeszcze względem $\scriptstyle y$ bywa oznaczona symbolami

$f^{(4)}_{tyxy} = f_{tyxy}, \quad \mathrm D_{tyxy} f.$

Popularna jest też notacja pochodząca od Adriena-Marie Legendre'a oraz rozpropagowaną przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego, naśladująca niejako symbolikę Leibniza, w której wykorzystuje się z symbolu ∂ zamiast litery $\scriptstyle \mathrm d,$ co prowadzi do podkreślenie innej natury tych obiektów, np.

$\frac{\partial^4 f}{\partial t \partial y \partial x \partial y} = \partial_{tyxy} f.$

Z symbolu tego wykorzystuje się także do oznaczania macierzy Jacobiego (lub jej wyznacznika, tzw. jakobianu, jesli jest kwadratowa); np. dla funkcji $\scriptstyle \mathrm g(\mathrm x),$ gdzie $\scriptstyle \mathrm g = (g_1, \dots, g_m)$ oraz $\scriptstyle \mathrm x = (x_1, \dots, x_n)$ jest to

$\frac{\partial \mathrm g}{\partial \mathrm x} = \frac{\partial(g_1, \dots, g_m)}{\partial (x_1, \dots, x_n)}.$

Uogólnienia

Wzięcie granic jednostronnych w danym punkcie w definicji pochodnej funkcji $\scriptstyle \mathbb R \to \mathbb R$ nazywa się pochodnymi jednostronnymi; dalsze osłabienie definicji poprzez branie granic dolnych oraz górnych daje tzw. pochodne Diniego.

Subpochodna oraz subróżniczka (podpochodna oraz podróżniczka) to uogólnienie pochodnej na funkcje wypukłe – opisują one wszystkie styczne w danym punkcie wykresu wspomnianych funkcji, przez to nie są one liczbami, lecz ich zbiorami.

W przypadku liczb zespolonych $\scriptstyle \mathbb C$ definicje pochodnych dla funkcji $\scriptstyle \mathbb R \to \mathbb R$ przenoszą się bez zmian na funkcje $\scriptstyle \mathbb C \to \mathbb C;$ pochodną takiej funkcji nazywa pochodną zespoloną. Zasadniczą różnicą pomiędzy pochodnymi tych dwóch rodzajów funkcji jest fakt, iż funkcje holomorficzne, czyli funkcje zespolone mające pochodną zespoloną w pewnym zbiorze otwartym, są w nim analityczne (zob. Pochodne pochodnych). Jako przestrzenie liniowe równego wymiaru $\scriptstyle \mathbb R^2$ oraz $\scriptstyle \mathbb C$ posiadają tę samą strukturę (są izomorficzne nad $\scriptstyle \mathbb R$ ), jednakże $\scriptstyle \mathbb C$ jest bogatsza o operacje mnożenia oraz dzielenia przez wektory (jest algebrą, a nawet ciałem). Dzięki temu pochodną zespoloną na $\scriptstyle \mathbb C$ da się traktować jako wzmocniony wariant mocnej pochodnej na $\scriptstyle \mathbb R^2;$ warunkiem koniecznym oraz dostatecznym zgodności tych pojęć są równania Cauchy'ego-Riemanna, czyli wymaganie, by pochodna w sensie rzeczywistym opisywała liczbę zespoloną (macierz Jacobiego reprezentowała liczbę zespoloną, zob. równokątność różniczki zespolonej), zaś różniczka – mnożenie przez nią, a nie tylko dowolne przekształcenie liniowe.

Pochodna Frécheta jest bezpośrednim uogólnieniem pojęcia pochodnej w silnym sensie funkcji wielu zmiennych na unormowane przestrzenie liniowe, z kolei pochodna Gâteaux uogólnia pochodną w słabym sensie na jeszcze ogólniejsze przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (przykładami obu są np. przestrzenie Banacha), w szczególności pokrywają się ona z odpowiednio pochodnymi w silnym oraz słabym sensie dla przestrzeni współrzędnych.

Odpowiednikiem pochodnej w silnym sensie dla funkcji pomiędzy rozmaitościami różniczkowymi jest odwzorowanie styczne będące odwzorowaniem pomiędzy przestrzeniami stycznymi ustalonego punktu oraz jego obrazu^[30] – jest to możliwe dzięki zapisaniu przestrzeni stycznych w ustalonej bazie, tzn. wyrażeniu ich za pomocą izomorficznych z nimi przestrzeni współrzędnych, gdzie zdefiniowana jest pochodna w silnym sensie^[31]. Rolę funkcji pochodnej pełni w tym wypadku odpowiednia funkcja pomiędzy wiązkami stycznymi (w przypadku funkcji pomiędzy unormowanymi przestrzeniami liniowymi ich przestrzenie styczne pokrywają się z tymi przestrzeniami, a wiązka styczna jest trywialna).

Kolejne pochodne nie są przekształceniami liniowymi (muszą opisywać geometrię, której nie da się opisać za pomocą struktur liniowych), nie są określone pomiędzy wiązkami stycznymi (zawierają one informację o danej przestrzeni oraz pochodnych kierunkowych), a ponadto nie uzyskuje się ich poprzez branie pochodnej funkcji pochodnych niższego rzędu. Ich analogonem są tzw. strumienie (dżety) oraz ich wiązki. Związek pomiędzy pochodną zupełną oraz cząstkowymi funkcji znajduje odzwierciedlenie w związku strumienia $\scriptstyle k$ -tego rzędu funkcji z jego pochodnymi cząstkowymi rzędu nie mniejszego niż $\scriptstyle k.$

Dla wielomianu bądź szeregu możliwe jest zdefiniowanie pochodnej bez odwoływania się do pojęcia granicy, korzystając zaledwie ze wzoru, który uzyskuje się w analizie z podanej w tym artykule definicji – nazywa się ją pochodną formalną; definicja ta dopuszcza uprawianie dużej części analizy w oparciu o algebrę bez odwoływania się do topologii.

Rozszerzeniem pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne (a więc nawet niekoniecznie ciągłe) jest tzw. słaba pochodna, której idea ma za podstawę na metodzie całkowania przez części – nie są one wyznaczone jednoznacznie^[32]; znajduje ona przede wszystkim zastosowanie przy poszukiwaniu tzw. słabych rozwiązywań równań różniczkowych cząstkowych.

W teorii miary rozpatruje się tzw. pochodną Radona-Nikodýma, która opisuje prędkość zmian gęstości jednej miary względem innej całkowicie analogicznie jak ma to miejsce w przypadku z wyznacznika macierzy Jacobiego dla funkcji wielowymiarowych (zob. Pochodne zupełne).

Przypisy

↑ Korn G. A., Korn T. M.: Matematyka dla pracowników naukowych oraz inżynierów. T. 1. PWN, 1983, s. 107. , 4.5-1 (a)
↑ Istnienie takiego otoczenia oznacza istnienie pewnej liczby rzeczywistej $\epsilon > 0$ , że funkcja jest określona na przedziale (x_0 – \epsilon; x_0 + \epsilon)
↑ Korn G. A., Korn T. M.: Matematyka dla pracowników naukowych oraz inżynierów. T. 1. PWN, 1983, s. 107. , 4.5-1 (a)
↑ Kuratowski K.: Rachunek różniczkowy oraz całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Wyd. 3. PWN, 1967, s. 101. . Taki sposób zapisu uwypukla fakt, że iloraz różnicowy jest funkcją h.
↑ Jeżeli $\scriptstyle f(x) = a,$ to wprost z definicji zachodzi $\scriptstyle f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim\limits_{h \to 0} 0 = 0.$
↑ Skoro

$\begin{align} \scriptstyle \frac{(x + h)^n - x^n}{h} & \scriptstyle = \frac{\binom{n}{0} x^n h^0 + \binom{n}{1} x^{n-1} h^1 + \dots + \binom{n}{n} x^0 h^n - x^n}{h} = \\ & \scriptstyle = \frac{nx^{n-1} h + \binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n}{h} = \\ & \scriptstyle = nx^{n-1} + \binom{n}{2} x^{n-2} h^1 + \dots + h^{n-1}, \end{align}$

to biorąc obustronnie granicę przy $\scriptstyle h \to 0$ uzyskuje się wynik.
↑ Podany wzór zachodzi dla liczby naturalnej $\scriptstyle n > 0;$ wzór na pochodną odwrotności funkcji dopuszcza rozszerzenie wzoru na wykładniki całkowite $\scriptstyle n;$ z ciągłości wzór jest prawdziwy dla liczby rzeczywistej $\scriptstyle n \ne 0.$
↑ Z definicji, jeśli $\scriptstyle f(x) = \exp x,$ to

$\scriptstyle f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\exp(x + h) - \exp x}{h} = \exp x \lim\limits_{h \to 0} \frac{\exp h - 1}{h} = \exp x,$

przy czym ostatnia granica jest własnością funkcji wykładniczej.
↑ Ponieważ

$\scriptstyle (\ln x)' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln x}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln(1 + h/x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{x} \ln\left((1 + h/x)^{x/h}\right),$

to podstawiając $\scriptstyle y = x/h \to 0$ otrzymuje się dalej

$\scriptstyle (\ln x)' = \frac{1}{x} \lim\limits_{y \to 0} \ln(1 + y)^{1/y} = \frac{\ln e}{x} = 1/x.$

Z reguły ilorazu jest $\scriptstyle (\log_a x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} (\ln x)' = \frac{1}{x\ln a}.$
↑ Z tożsamości trygonometrycznych (ostatnie także z reguły ilorazu):

$\begin{align} \scriptstyle (\sin x)' & \scriptstyle = \lim\limits_{h \to 0} \frac {\sin(x + h) - \sin x}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2}{h} \sin(h/2) \cos(x + h/2) = \\ & \scriptstyle = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2} \lim\limits_{h \to 0} \cos(x + h/2) = \cos x; \end{align}$

$\begin{align} \scriptstyle (\cos x)' & \scriptstyle = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{-2}{h} \sin(h/2) \sin(x + h/2) = \\ & \scriptstyle -\lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2} \lim\limits_{h \to 0} \sin(x + h/2) = -\sin x; \end{align}$

$\scriptstyle (\mathrm{tg}\; x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)' \cos x - (\cos x)' \sin x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = 1/\cos^2 x = 1 + \mathrm{tg}^2\; x.$
↑ Niech $\scriptstyle y = f(x) = \arcsin x,$ wtedy też $\scriptstyle x = g(y) = \sin y.$ Wówczas z reguły o pochodnej funkcji odwrotnej jest $\scriptstyle g'(y) = \cos y = +\sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2} = 1/f'(x).$ Znak pierwiastka jest dodatni, albowiem $\scriptstyle x \in [-\pi/2, +\pi/2],$ z ostatniej równości jest $\scriptstyle f'(x) = (\arcsin x)' = 1/\sqrt{1 - x^2}.$
Analogicznie dla $\scriptstyle y = f(x) = \arccos x$ oraz $\scriptstyle x = g(y) = \cos y,$ przy czym tym razem znak pierwiastka jest ujemny, bo $\scriptstyle g'(y) = -\sin y,$ przez co $\scriptstyle (\arccos x)' = -1/\sqrt{1 - x^2}.$

Podobnie dla $\scriptstyle y = f(x) = \mathrm{arctg}\; x$ jest $\scriptstyle x = g(y) = \mathrm{tg}\; y$ oraz $\scriptstyle g'(y) = 1/\cos^2 y,$ skąd $\scriptstyle f'(x) = \cos^2 y = \frac{1}{1 + \mathrm{tg}^2\; y} = \frac{1}{1+(\mathrm{tg\; arctg}\; x)^2} = \frac{1}{1 + x^2}.$
↑ Бугров Я. С., Никольский С. М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. Наука, 1984, s. 145.
↑ Бугров Я. С., Никольский С. М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. Наука, 1984, s. 126.
↑ Kane J. W., Sternheim M. M.: Fizyka dla przyrodników. T. 2. PWN, 1988, s. 204. ISBN 83-01-07418-3.
↑ Бугров Я. С., Никольский С. М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. Наука, 1984, s. 126-127.
↑ Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А.: Теория вероятностей. Наука, 1987, s. 33.
↑ Бугров Я. С., Никольский С. М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. Наука, 1984, s. 127.
↑ Бугров, Никольский, op. cit., s. 140-141
↑ Бугров, Никольский, op. cit., s. 142
↑ Бугров, Никольский, op. cit., s. 143-144
↑ przykład opracowany wg podanego w: Бугров, Никольский, op. cit., s. 144
↑ Fichtenholtz, op. cit., s. 236-237
↑ Fichtenholtz, op. cit., s. 171
↑ Fichtenholtz, op. cit., s. 241-242
↑ Fichtenholtz, op. cit., s. 241-242
↑ Бугров, Никольский, op. cit., s. 186-187
↑ Pochodną/różniczkę w słabym sensie nazywa się czasem „słabymi”, jednakże trzeba ją odróżnić od opisywanej w Uogólnieniach tzw. słabej pochodnej.
↑ Pochodną w mocnym sensie nazywa się także „mocną” albo „silną” pochodną, a samą funkcję – różniczkowalną w mocnym/silnym sensie; wielokrotnie jednak powiada się po prostu o „pochodnej”, „różniczce” oraz „różniczkowalności”.
↑ Wielokrotnie w powyższej definicji, pomijając oznaczenie punktu $\scriptstyle \mathrm x$ w indeksie dolnym, zamiast $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf h)$ pisze się $\scriptstyle \mathbf{Ah},$ gdzie $\scriptstyle \mathbf A$ jest macierzą typu $\scriptstyle m \times n$ przekształcenia $\scriptstyle \mathrm A,$ zaś $\scriptstyle \mathbf h$ jest wektorem kolumnowym (tj. macierzą jednokolumnową); przyjmując naturalną strukturę danej przestrzeni liniowej jako przestrzeni afinicznej nad sobą utożsamia się także punkt $\scriptstyle \mathrm x$ z odpowiadającym mu, zwykle kolumnowym, wektorem $\scriptstyle \mathbf x$ (zob. przestrzeni współrzędnych wektorów kolumnowych). Ogólna definicja różni się od przedstawionej rezygnacją z wyróżnionej bazy oraz wyborem dowolnej normy wektorów (tj. zamiast $\scriptstyle \mathbb R^n, \mathbb R^m$ bierze się dowolne przestrzenie liniowe $\scriptstyle V, W,$ które muszą być unormowane); tak określoną pochodną nazywa się wtedy „pochodną Frechéta” (zob. Uogólnienia).
↑ Pojęciem dualnym jest odwzorowanie kostyczne pomiędzy przestrzeniami kostycznymi.
↑ Pochodną w silnym sensie da się zastąpić pochodną Frécheta, albowiem przestrzenie styczne są przestrzeniami liniowymi, dla których da się otrzymać niezbędne struktury z izomorficznych z nimi przestrzeni współrzędnych – ten poniekąd zbędny krok jest zwykle pomijany.
↑ Są one „równe prawie wszędzie”, tj. są zdefiniowane z dokładnością do zbiorów miary zero, poza którymi są równe.

Sprawdź też

Sprawdź hasło pochodna w Wikisłowniku

Linki zewnętrzne

(ang.) Internetowy kalkulator pochodnych

Bibliografia

Korn G. A., Korn T. M.: Matematyka dla pracowników naukowych oraz inżynierów. T. 1. PWN, 1983.
Kuratowski K.: Rachunek różniczkowy oraz całkowy. Funkcje jednej zmiennej. PWN, 1967.
Бугров Я. С., Никольский С. М.: Дифференциальное и интегральное исчисление. Наука, 1984.
Kane J. W., Sternheim M. M.: Fizyka dla przyrodników. T. 2. PWN, 1988.
Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А.: Теория вероятностей. Наука, 1987.

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Pochodna&oldid=30838594”

Kategoria:

Pochodne

vseo.pl

Info

Kategorie

Druga pochodna

Spis treści

Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych

Własności funkcji pochodnej

Przykłady

Pochodne wyższego rzędu

Przykłady

Zastosowania w fizyce

Prędkość chwilowa

Natężenie prądu

Gęstość rozkładu masy

Geometryczny sens pochodnej

Styczna do wykresu funkcji

Różniczka funkcji

Przykład zastosowania różniczek

Badanie zmienności funkcji

Pochodna a monotoniczność funkcji, ekstrema oraz punkty przegięcia

Schemat badania zmienności funkcji

Funkcje wielu zmiennych

Pochodne cząstkowe

Pochodne zupełne

Oznaczenia

Uogólnienia

Przypisy

Sprawdź też

Linki zewnętrzne

Bibliografia