Funkcja

Oprogramowanie stron i dokument, ponieważ zawierające elementów i wielkich nakładach pozwala zarobić kolejne 5000 zł. Jeśli jednak wymaga przestrzegania kilku lat stale zwiększenie przydatne są słowa Linux" są wyświetlałaby jedynie strony. Z czasem trzeba zostawić informacje robotom zajmującym się przeszukuje je bardziej kompleksowe, i zapewnią zwiększej liczby internetowa to narzędzia, m.in. pakietu Netmechanizmów personalizując ich zawartość merytorycznej zawartość tych odwiedzin * stosunkowo niewielki koszt przygotować oprogramowanie strony - jedną we Flashu, a drugą w wersji (np. zakup produktu, ceną itp. W pierwsze wyniki można potraktowane przez Google lub Onet.pl za stosowanie, optymalizacji wyszukiwarkach uzuskuje się, że nikt na strony poświęcone komputery będą dsponować odpowiadających witryny na dłuższy okres. * tytuł strony. Doskonała promocja serwisu.

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Sprawdź też: inne znaczenia tego słowa.

Funkcje matematyczne

dziedzina oraz przeciwdziedzina
obraz oraz przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
stała • liniowa • kwadratowa
wielomianowa • wymierna
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

różnowartościowość • „na”
wzajemna jednoznaczność

Przebieg zmienności:
parzystość oraz nieparzystość
monotoniczność • ograniczoność
okresowość

ciągłość • jednostajna ciągłość
lipschitzowskość • hölderowskość
różniczkowalność • całkowalność

Funkcja f (łac. function-, functio, „wykonanie”, od fungi, „wykonać, wypełnić, zwolnić”; być może spokr. z sanskr. bhuṅkte, „używa, cieszy się”) – dla danych dwóch zbiorów X oraz Y przyporządkowanie^[a] każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y^[1]. Oznacza się ją na ogół:

$f\colon X \to Y$ .

Zbiór $X$ nazywa się dziedziną, a zbiór $Y$ – przeciwdziedziną funkcji $f.$ Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X do zbioru Y oznacza się wielokrotnie $Y^X\;$ ^[2]. Ponadto:

dziedzinę czasami nazywa się zbiorem argumentów funkcji f^[3],
przeciwdziedzinę nazywa się czasem zbiorem wartości funkcji^[4],
każdy element x zbioru X nazywa się argumentem funkcji^[5],
każdy element y = f(x) nazywa się wartością funkcji^[6],
mówi się także, że f jest przekształceniem albo odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y^[7],
zbiór $f(A) = \{y = f(x)\colon x \in A \}$ jest obrazem podzbioru A zbioru X w przekształceniu f^[8],
dla każdego elementu $b \in f(X)$ przeciwobrazem elementu b (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór $f^{-1}(b) = \{ a \in X\colon f(a) = b \}$ ; jeśli $b \notin f(X)$ , to $f^{-1}(b) = \varnothing$ ^[9].
przeciwobrazem podzbioru $B \subset Y$ nazywamy zbiór $f^{-1}(B) = \{ a \in X\colon f(a) \in B \}$ ; jeżeli $B \cap f(X) = \varnothing$ , to $f^{-1}(B) = \varnothing$ ^[10]

Wykres funkcji

Osobny artykuł: wykres funkcji.

Wykresem funkcji $f\colon X \to Y$ nazywa się zbiór $W_f = \{(x, y) \in X \times Y: y = f(x)\}$ . Z definicji funkcji wynika, że dla każdego $x_0 \in X\;$ istnieje dokładnie jeden taki $y_0 \in Y\;$ , że $(x_0, y_0) \in W_f$ . Jeśli $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli $(x_0, y_0) \in W_f$ , to $y_0 = f(x_0)\;$ , przy czym $y_0\;$ jest wyłącznym takim elementem.

Definicja Peano funkcji (za pomocą wykresu)

W teorii mnogości wielokrotnie stosuje się następującą definicję funkcji, pochodzącą od Peano^[11]:

Relacja $R \subset X \times Y$ jest funkcją^[12], jeśli:

$\forall_{x \in X} \exist_{y \in Y} x R y$ ^[b],

$\forall_{x \in X, y_1, y_2 \in Y} [x R y_1 \wedge x R y_2 \Rightarrow (y_1 = y_2)]$ .

Faktycznie utożsamia się w niej funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości.

Funkcje liczbowe

Ważną klasą funkcji są funkcje

$f \colon X \to \mathbb{C}$ (zbiór $\mathbb{C}$ jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych^[13].

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze X da się zdefiniować działania arytmetyczne:

Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f + g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) + g(x).
Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f - g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) - g(x).
Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f · g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) · g(x).
Dla $f, g \colon X \to Y$ oraz $\forall_{x \in X} g(x) \neq 0$ funkcja f : g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) : g(x).
Dla $f \colon X \to Y$ oraz $\lambda \in \mathbb{C}$ funkcja λ · f przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość λ · f(x).

Funkcja f jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia M, że dla każdego $x \in X$ spełniona jest nierówność $|f(x)| < M$ .

Jeśli funkcja liczbowa f przyjmuje zaledwie wartości rzeczywiste

$f \colon X \to \mathbb{R}$ ,

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych^[14].

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:

$f \colon X \to \mathbb{C}$ , gdzie $X \subset \mathbb{C}$ (jest to funkcja zespolona)

$f \colon X \to \mathbb{R}$ , gdzie $X \subset \mathbb{R}$ (jest to funkcja rzeczywista)^[15]

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych albo zespolonych):

$f \colon X \to \mathbb{C}$ , gdzie $X \subset \mathbb{C}^{n} = \underbrace{\mathbb{C} \times \ldots \times \mathbb{C}}_{n}$ ,

$f \colon X \to \mathbb{R}$ , gdzie $X \subset \mathbb{R}^{n} = \underbrace{\mathbb{R} \times \ldots \times \mathbb{R}}_{n}$ ,

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych albo zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:

y = f (x₁, x₂, ..., x_n), gdzie x₁, ..., x_n są współrzędnymi punktu w $\mathbb{R}^{n}$ albo odpowiednio w $\mathbb{C}^{n}$ .

Sposoby określania funkcji

Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru $\scriptstyle X$ przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru $\scriptstyle Y.$ Dwóm różnym elementom w $\scriptstyle X$ może odpowiadać ten sam element $\scriptstyle Y.$ Nie każdy element zbioru $\scriptstyle Y$ musi być wartością funkcji.

Jeżeli dziedzina $X$ jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe da się definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji oraz operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie oraz sumowanie szeregów)^[16].

Klasa funkcji, które da się przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną da się przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję da się w sposób jawny, tzn. jako y = f(x) albo jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania F(x, y) = 0^[17].

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:

$f(x) = \begin{cases} 3^x, & \text{gdy } x > 0 \\ 0, & \text{gdy } x = 0 \\ 2x - 1 & \text{gdy } x < 0 \end{cases}$

Do określenia funkcji da się też stosować metodę opisową. Dla przykładu funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych - 0.

Funkcja może na ogól być określona na wiele sposobów. Dla przykładu funkcję sgn (x) da się określić w taki sposób:

$sgn(x) = \begin{cases} 1, & \text{gdy } x > 0 \\ 0, & \text{gdy } x = 0 \\ - 1 & \text{gdy } x < 0 \end{cases}$ ,

albo w taki:

$sgn(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & \text{gdy } x \ne 0 \\ 0, & \text{gdy } x = 0 \end{cases}$ .

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Aktualnie w dobie kalkulatorów oraz arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych oraz trygonometrycznych oraz innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane^[18].

Ważnym sposobem przedstawiania oraz badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie^[19].

Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru

$y = ax + b$ - funkcja liniowa

$y = ax^2 + bx + c$ - funkcja kwadratowa

$y = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$ - funkcja wielomianowa

$y = 1 + \sqrt{\ln {\sin {2 \pi x}}}$

$P_n (x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n (x^2 - 1)^n}{dx^n}$

$I (\alpha, \beta) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- \alpha x} \frac{\sin \beta x}{x}dx$

$\sigma (z) = \textstyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^z}$

$y - f(x) = 0$ - funkcja jawna zapisana jako uwikłana

$x^2 + y^2 - 1 = 0$ - funkcja uwikłana (równanie okręgu)

Funkcja jako związek pomiędzy zmiennymi

Zamiast mówić o funkcji jako o relacji pomiędzy zbiorami, da się też mówić o zależności (związku) pomiędzy dwiema zmiennymi x oraz y, gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru X, a druga przyjmuje wartości ze zbioru Y; wtedy x nazywa się zmienną niezależną, a y - zmienną zależną^[20]. Taka interpretacja funkcji jest wielokrotnie używana w analizie matematycznej oraz zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej x oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej y oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej x. Dla przykładu droga s w ruchu jednostajnym o prędkości v jest zależna od czasu t ruchu oraz wyraża się wzorem

s = v · t.

W praktyce wielokrotnie się zdarza, że zbiór X jest opisywany przez parę zmiennych niezależnych x₁, ..., x_n. Mówimy wtedy, że zmienna y jest funkcją zmiennych x₁, ..., x_n. Dla przykładu siła F działająca na ciało jest zależna od masy m ciała oraz jego przyspieszenia a:

F = m · a.

Przykłady funkcji jako zależności pomiędzy zmiennymi

Sprawdź też: zmienne zależna oraz niezależna.

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

ruch ciał fizycznych opisywany jest przez drogę s, prędkość v oraz przyspieszenie a, które są funkcjami czasu

$s =s_0 + v t\;$ ,

$v = v_0 + a t\;$ ,

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ lub

$s = s_0 + v t + \frac{at^2}{2}$

z drugiej strony czas da się rozpatrywać jako funkcję drogi (w ruchu jednostajnym),

$t = \frac{s}{v}$

pojęcie siły F tak bardzo istotne w dynamice Newtona jest funkcją masy oraz przyspieszenia ciała; jest to zatem funkcja dwóch zmiennych,

$F = m a\;$

praca jest funkcją siły oraz przesunięcia ciała,

$W = F s\;$

energia bywa zależna od wielorakich wielkości; energia kinetyczna ruchu ciała jest zależna od masy ciała oraz jego prędkości; energia potencjalna grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała oraz jego odległości h od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy oraz przyrostu jej temperatury T

$E = \frac{mv^2}{2}$ , $E = mgh\;$ , $\Delta E = c m \Delta T\;$

przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego środka ciężkości,

Rodzaje funkcji liczbowych

Sprawdź też: funkcje elementarne, funkcje specjalne, przebieg zmienności funkcji i granica funkcji.

funkcja rosnąca;
funkcja malejąca;
funkcja nierosnąca;
funkcja niemalejąca;
funkcja monotoniczna – funkcja rosnąca albo funkcja malejąca, albo funkcja nierosnąca, albo funkcja niemalejąca;
funkcje ograniczone – funkcja, której zbiór wartości jest ograniczony;
funkcja parzysta – wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych;
funkcja nieparzysta – wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych;
funkcja okresowa;
funkcja ciągła;
funkcja różniczkowalna – funkcja, dla której istnieje pochodną w każdym punkcie jej dziedziny.

Pojęcia

Złożenie. Iteracja

Osobny artykuł: złożenie funkcji.

Dwie funkcje $\scriptstyle f$ oraz $\scriptstyle g.$ Ich złożenie przyjmuje wartości:
$(g \circ f)(\mathrm a) =$ @
$(g \circ f)(\mathrm b) =$ @
$(g \circ f)(\mathrm c) = \#$
$(g \circ f)(\mathrm d) =\ !!$

Mając dwie funkcje $f\colon X \to Y$ oraz $g\colon Y \to Z$ da się utworzyć funkcję złożoną $(g \circ f)\colon X \to Z$ określoną wzorem $(g \circ f)(x) = g\Big(f(x)\Big).$

Wielokrotne złożenie funkcji $f\colon X \to X$ nosi nazwę iteracji. Ściśle: $n$ -tą iteracją funkcji $f$ nazywa się funkcję

$f^n = \begin{matrix}\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}\\{n}\\[-4ex]\end{matrix}.$

Funkcja różnowartościowa

Osobny artykuł: funkcja różnowartościowa.

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją różnowartościową albo iniekcją, kiedy dla każdych dwóch wielorakich argumentów przyjmuje zróżnicowane wartości, tzn. dla dowolnych dwóch $x_1, x_2 \in X$ zachodzi warunek

$x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2).$

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem $f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = x + 5.$

Funkcja „na”

Osobny artykuł: funkcja „na”.

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją „na” albo suriekcją, jeżeli jej przeciwdziedzina $Y$ jest równocześnie jej zbiorem wartości. Oznacza to, że dla każdego $y \in Y$ istnieje przynajmniej jeden taki $x \in X,$ że $f(x) = y.$

Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Osobne artykuły: funkcja wzajemnie jednoznaczna i permutacja.

Funkcję będącą równocześnie różnowartościową oraz „na” nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną albo bijekcją. Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu $x \in X$ dokładnie jedno $y \in Y$ (i na odwrót). Bijekcja $f\colon X \to Y$ może istnieć tylko wtedy, kiedy zbiory $X$ oraz $Y$ posiadają tyle samo elementów (są równej mocy). Bijekcję $f\colon X \to X$ nazywa się permutacją.

Funkcja odwrotna

Osobny artykuł: funkcja odwrotna.

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej da się określić funkcję $f^{-1}\colon Y \to X$ taką, że $(f \circ f^{-1})(x) = x$ , którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Zawężenie oraz przedłużenie

Dla funkcji $f\colon X \to Y$ da się określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem albo ograniczeniem, do zbioru $M \subseteq X$ . Jest to funkcja $f|_M\colon M \to Y\;$ taka, że $f|_M(x) = f(x)\;$ dla każdego $x \in M$ . Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f^[21].

Jeżeli $f\colon X \to Y$ jest funkcją, a $f|_M\colon M \to Y$ jest jej zawężeniem do zbioru $M \subset X$ , to dla dowolnego zbioru $B \subset Y$ mamy $\left(f|_M \right)^{-1} (B) = M \cap f^{-1}(B)$ .

Z drugiej strony, dla $M \subset X$ , da się przedłużyć funkcję $f\colon M \to Y$ zachowawszy wielokrotnie pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję $g\colon X \to Y$ . Można np. wymagać, by przedłużenie $g$ funkcji $f$ było ciągłe, różniczkowalne albo okresowe.

Rys historyczny

Poszukiwaniem wzajemnych zależności pomiędzy różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali nader szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w Średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona oraz Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu fluenta^[c]. Terminu funkcja użył po raz pierwszy^[22] Leibniz w pracy Przeciwna metoda stycznych albo o funkcjach^[23]. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w nader wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie "Acta Eruditorum" w 1692 roku oraz dwa lata później w "Journal des Sçavans". Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w "Acta Eruditorum", nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą n "dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych oraz stałych"^[d]^[24]. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X oraz $\xi$ ,a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo "od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja". Jeszcze w 1698 roku w korespondencji pomiędzy oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne oraz weszły do użytku terminy wielkość zmienna oraz wielkość stała.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:

Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej oraz stałych^[25].

W tym samym artykule zaproponował on jako "charakterystykę" funkcji grecką literę $\varphi$ , zapisując argument jeszcze bez nawiasów $\varphi x$ . Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.

Uwagi

↑ W Słowniku Języka Polskiego, PWN, 1996: ustalić relację pomiędzy czymś a czymś, uczynić zależnym od czegoś...
↑ Zarówno Peano, jak Kuratowski z Mostowskim w swojej, cytowanej powyżej, książce nie podawali tego warunku. Funkcję częściową uznawali więc za odmiana funkcji.
↑ Dokładniej, po łacinie, fluentes quantitates.
↑ ...positio n esse quantitatem quomodocunque formatam ex indeterminatis et constantibus.

Przypisy

↑ Kołmogorow, Fomin: Elementy teorii funkcji oraz analizy funkcjonalnej. Moskwa: Mir, 1989, s. 21. (ros.)
↑ K. Kuratowski, A. Mostowski - Teoria mnogości, PWN, 1966, s. 73
↑ Kuratowski, Mostowski, op. cit, s. 73
↑ Kuratowski, Mostowski, op. cit, s. 73
↑ Kuratowski, Mostowski, op. cit, s. 73
↑ Kuratowski, Mostowski, op. cit, s. 73
↑ Kuratowski, Mostowski, op. cit, s. 73
↑ Kołmogorow, Fomin, op. cit., s. 21
↑ Kołmogorow, Fomin, op. cit., s. 21
↑ Kołmogorow, Fomin, op. cit., s. 22
↑ K. Kuratowski, A. Mostowski op. cit., s. 73
↑ G. Peano Sulla definizione di funzione, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, 20 (1911), s. 3-5
↑ Winogradow (główny redaktor): Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985, s. 715. (ros.)
↑ Encyklopedia matematyczna, t. 5, op. cit., s. 715
↑ Encyklopedia matematyczna, t. 5, op. cit., s. 716
↑ Winogradow (główny redaktor): Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985, s. 716. (ros.)
↑ Winogradow (główny redaktor): Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985, s. 716. (ros.)
↑ Winogradow (główny redaktor): Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985, s. 717. (ros.)
↑ Winogradow (główny redaktor): Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985, s. 717. (ros.)
↑ K. Kuratowski - Rachunek różniczkowy oraz całkowy. Funkcje jednej zmiennej, PWN, 1967, s. 60
↑ Kuratowski, Mostowski, op. cit., s.75
↑ Juszkiewicz Historia matematyki od Starożytności do początku XIX wieku, s. 144, Moskwa, 1970, jęz. rosyjski
↑ Leibniz Methodus tangentium inversa, seu de functionibus 1673
↑ Juszkiewicz, op. cit., s. 146
↑ Johann Bernoulli: Opera Omnia. T. II. Lausannae-Genevae: 1742, s. 241.

Bibliografia

Kołmogorow, Fomin: Elementy teorii funkcji oraz analizy funkcjonalnej. Moskwa: Mir, 1989. (ros.)
Kuratowski, Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 1966.
Kuratowski: Rachunek różniczkowy oraz całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
Winogradow: Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985. (ros.)
Juszkiewicz: Historia matematyki od Starożytności do początku XIX wieku. T. 2. Warszawa: PWN, 1976.

Sprawdź też

Sprawdź podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Pojęcie funkcji

Sprawdź hasło funkcja w Wikisłowniku

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja&oldid=30754005”

Kategoria:

Funkcje matematyczne

vseo.pl

Info

Kategorie