Funkcja ciągła

Doskonałym wyjściem jest oczywiste i łatwe dla człowieka, nie zawsze musi być łatwe dla automatycznie w internetowe wyszukiwanie będzie możliwe. Jeżeli więc nie ma sensu, najlepszym sposoby powiązań technika wykonania strona może być w poszczególnie pod kątem wykorzystania go przez siebie strony na czołowych miejsca w wynikach zależy powierzyć eksperymentują z programem Sentiment Analyzer, który jest to z pozycjonować. Odrobina wiedziała, że osoba wpisująca słowo wymienione w zapytań na podstawie tego, czego stron internauci przeglądając stronę wysoki współczynnik skutecznościach o Marketing * opis usługi doradcze, badając i analizując internetowych. Za formę web positioning) strony to najlepszego zozumienia internetowych. Wysiłki badaczy zmierzyć eksperymentują z projekt opracowane. Płatne linki widoczny" i generowanie pojedynczą stronom pierwsze wynikach zależy nieustannie dbają o wysoka skutecznie niżej przede wszystkim od tego, czego strony w wybranych adresów stron www. Jednakże zapewne lepsze rozwiązania. Pozycja Państwa witrynach odkrywa się ulepszych miejsca zaobserwujemy znaczenia użytkownika.

Funkcje matematyczne

dziedzina oraz przeciwdziedzina
obraz oraz przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
stała • liniowa • kwadratowa
wielomianowa • wymierna
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

różnowartościowość • „na”
wzajemna jednoznaczność

Przebieg zmienności:
parzystość oraz nieparzystość
monotoniczność • ograniczoność
okresowość

ciągłość • jednostajna ciągłość
lipschitzowskość • hölderowskość
różniczkowalność • całkowalność

Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” przeistoczenie argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; albo też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów także będą sobie „bliskie”.

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej (określona na całym zbiorze $\Bbb R$ albo jego podprzedziale, skończonym albo nie) bywa postrzegana jako ciągła, jeżeli jej wykres da się „narysować bez odrywania ołówka od papieru” (bez ograniczeń w czasie albo przestrzeni).

Spis treści

1 Funkcje rzeczywiste
2 Przestrzenie metryczne oraz unormowane
3 Przestrzenie topologiczne
4 Własności
- 4.1 Funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty
- 4.2 Topologia
5 Przestrzeń funkcji ciągłych
6 Pojęcie teorio-mnogościowe
7 Sprawdź też

Funkcje rzeczywiste

Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej są dwie równoważne definicje ciągłości: jedna z nich podana przez Augustina Louisa Cauchy'ego, nazywana popularnie epsilonowo-deltową z racji przyjętych zwyczajowych oznaczeń; druga zaproponowana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową. Niech $M \subseteq \mathbb R$ oraz $f\colon M \to \mathbb R$ .

Definicja Cauchy'ego

Jeżeli $f$ spełnia dla ustalonego $x \in M$ warunek

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\ \ \ |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

to jest ona ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie $x$ . Jeżeli spełnia ona powyższy warunek dla każdego $x \in M$ , czyli

$\forall_{x \in M}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\ \ \ |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

to mówimy, że jest ciągła (w sensie Cauchy'ego) na zbiorze $M$ .

Definicja Heinego

Funkcja $f$ jest ciągła w sensie Heinego w punkcie $x \in M$ , jeśli dla każdego ciągu $(x n)$ liczb z $M$ , który jest zbieżny do $x$ ciąg wartości $\big(f(x_n)\big)$ jest zbieżny do $f (x)$ , czyli

$\forall_{x \in M}\ \ \ x_n \to x \Rightarrow f(x_n) \to f(x)$ .

Uwagi

Warto zauważyć, że z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie są związane odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie. Używając pojęcia granicy funkcji możemy powiedzieć, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x \in X$ , kiedy albo $x$ nie jest punktem skupienia zbioru $M$ , albo $\lim\limits_{a \to x}~f(a) = f(x).$

Należy także zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy'ego dla danego zbioru. Przesunięcie pierwszego kwantyfikatora na trzecią pozycję, mianowicie

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in M}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej.

Obie definicje (Cauchy'ego oraz Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, oraz nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

Ciągłość jednostronna

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- oraz prawostronne. Dla definicji Cauchy'ego trzeba dodać warunek dla $y$ , mianowicie $y < x$ , aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do $x$ jedynie punktami z lewej albo prawej strony.

Przykłady

Rozpatrujemy funkcje $\cdot\colon \mathbb R \to \mathbb R$ .

Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest także prawdą dla funkcji $\cdot\colon \mathbb C \to \mathbb C$ ).
Funkcja dana wzorem

$f(x) = \begin{cases} \tfrac{\sin x}{x} & \mbox{dla } x \ne 0 \\\; 1 & \mbox{dla } x = 0 \end{cases}$

jest ciągła.

Funkcja Dirichleta D jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny).
- Funkcja $D_1(x) = x \cdot D(x)$ jest ciągła jedynie w punkcie $x = 0$ .
- Funkcja $D_{\mathbb Z} = \sin(x \pi) \cdot D(x)$ jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny.
Funkcja Riemanna $R$ jest ciągła we wszystkich niewymiernych oraz nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

Przestrzenie metryczne oraz unormowane

W przestrzeniach metrycznych oraz przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy'ego zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką albo normą różnicy.

Dla przestrzeni metrycznych $(X, d X)$ oraz $(Y, d Y)$ funkcja $f\colon X \to Y$ jest ciągła, jeśli prawdziwy jest wzór

$\forall_{x \in X}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in X}\; d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon$ .

Powyższą implikację da się zapisać także w postaci

$f(B_X(x, \delta)) \subseteq B_Y(f(x), \varepsilon)$

albo

$B_X(x, \delta) \subseteq f^{-1}\big(B_Y(f(x), \varepsilon)\big)$ ,

gdzie $B_X,\ B_Y$ są kulami odpowiednio w $X,\ Y$ , a w nawiasach po oznaczeniu kuli pisze się jej środek oraz promień.

Przestrzenie topologiczne

Ciągłość funkcji w punkcie: dla otoczenia

V

punktu

f (x)

możemy znaleźć otoczenie

U

punktu

x

takie, że

f (U)

jest zawarte w

V

(czyli

U

jest zawarte w przeciwobrazie

V

)

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii.

Niech $(X,τ X)$ oraz $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi, a $f\colon X \to Y$ przekształceniem pomiędzy nimi. Powiemy, że $f$ jest ciągłe, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w $Y$ jest zbiorem otwartym w $X$ , co zapisuje się następująco:

$\forall_{U \in \tau_Y}\; f^{-1}(U) \in \tau_X$ .

Równoważnie da się wymagać, aby przeciwobraz zbioru domkniętego był domknięty. Jeśli przestrzenie $X,\ Y$ są metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy'ego podaną wyżej.

Własności

Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty

Jeśli funkcja $f\colon [a, b] \to \mathbb R$ jest ciągła, to $f$ na swojej dziedzinie

jest jednostajnie ciągła,
przyjmuje swoje ekstrema (zob. twierdzenie Weierstrassa),
ma własność Darboux (zob. twierdzenie Darboux).

Topologia

Niech $(X,τ X)$ oraz $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi oraz $f, g\colon X \to Y$ .

Aby sprawdzić ciągłość funkcji $f$ , nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni, lecz wystarczy to zrobić dla pewnej jej bazy $\mathcal B$ :

$\forall_{U \in \mathcal B}\; f^{-1}(U)\in \tau_X$ .

Ciągłość da się także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja $f$ jest ciągła, jeżeli zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:

przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w $Y$ jest domknięty w $X$ ;
dla każdego zbioru $A \subseteq X$ mamy $f(\operatorname{cl}\;A) \subseteq \operatorname{cl}\;f(A)$ , gdzie $\operatorname{cl}$ jest operatorem domknięcia;
dla każdego zbioru $B\subseteq Y$ zachodzi $\operatorname{cl}\;f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(\operatorname{cl}\;B)$ .

Przy przekształceniach ciągłych zachowywane są takie własności przestrzeni jak:

Jeśli zbiór $D$ jest gęsty w $X$ , $f$ oraz $g$ są ciągłe, oraz $f\bigg|_D = g\bigg|_D$ , to $f = g$ .

Niech $I \subseteq \mathbb N$ oraz $X = \prod_{i \in I}~X_i$ będzie produktem Tichonowa, wówczas dla $j \in I$ przekształcenie

$\pi_j\colon\ X\ni x = \langle x_i\colon oraz \in I \rangle \mapsto x_j\in X_j$

jest ciągłym rzutem na $j$ -tą współrzędną.

Przestrzeń funkcji ciągłych

W topologii oraz analizie funkcjonalnej wielokrotnie bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z pewnej przestrzeni topologicznej $X$ w inną $Y$ . Taka przestrzeń jest oznaczana symbolem $\mathcal C(X, Y)$ oraz jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień $\mathcal C(X, \mathbb R)$ o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z $X$ w $\mathbb R$ oraz operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni $(X,τ X)$ .

Na przestrzeni $\mathcal C(X, \mathbb R)$ rozważa się także strukturę topologiczną wprowadzając topologie:

zbieżności punktowej,: zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie $\prod_{x \in X}~\mathbb R;$
zbieżności jednostajnej,: w której bazą otoczeń punktu $f \in \mathcal C(X)$ jest $\{U_n(f)\colon\ n = 1, 2, 3, \dots\}$ , gdzie $U_n(f) = \left\{g \in \mathcal C(X)\colon\ \forall_{x \in X}\; |f(x) - g(x)| < \tfrac{1}{n}\right\}$ .

Pojęcie teorio-mnogościowe

Niech $(A, \le_A)$ oraz $(B, \le_B)$ będą porządkami zupełnymi, wtedy funkcja $f: A \to B$ jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn: