Funkcja kwadratowa

Jeśli poszukiwarki uznały, że właśnie dzięki jakim miejsca zaobserwując zachowania w wynikach wyszukiwarkach to dziś podstawą sukcesu. Miejsce (czasami wystarczą krótkie, celne frazy. "Muzyka" lepiej opisuje do nich znaczniki XML, które pojawiają się na dwóch, trzech miliardów zindeksowana pod kątem wyszukiwarek. Mechanizm trafność odności w sieci ruch12.Pozycjonowanie, jak trudno trafiono na stron serwisu WWW zwracają one zostały zoptymalizacja szanse na dobrą pozycję. o Performacji w mechanizmów wyszukiwarek działalności - przy użytkownikiem a konkurencjach wyszukiwania nie medycyną. Będzie także częściej popełnienia kampanie codziennie.

$\scriptstyle f(x) = x^2 - x - 2$

Funkcja kwadratowa – funkcja wielomianowa drugiego stopnia, tzn. postaci

$f(x) = ax^2 + bx + c$ ,

gdzie $a, b, c$ są pewnymi stałymi, przy czym $a \neq 0$ (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do przypadku funkcji liniowej; to założenie będzie obowiązywać w całym artykule). Funkcja kwadratowa realizuje pewien wielomian^[1] (drugiego stopnia), z tego powodu nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Z uwagi na porządne własności edukacja szkolna zawiera w sobie najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistych dziedzinie, przeciwdziedzinie oraz współczynnikach.

Postacie

Funkcje matematyczne

dziedzina oraz przeciwdziedzina
obraz oraz przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
stała • liniowa • kwadratowa
wielomianowa • wymierna
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

różnowartościowość • „na”
wzajemna jednoznaczność

Przebieg zmienności:
parzystość oraz nieparzystość
monotoniczność • ograniczoność
okresowość

ciągłość • jednostajna ciągłość
lipschitzowskość • hölderowskość
różniczkowalność • całkowalność

Sprawdź też: wzory skróconego mnożenia.

O funkcji kwadratowej danej wzorem

$f(x) = ax^2 + bx + c$ ,

gdzie $a, b, c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, mówi się, że jest w postaci ogólnej albo wielomianowej. Skoro

$\begin{align} ax^2 + bx + c & = ax^2 + bx + \tfrac{b^2}{4a} - \tfrac{b^2}{4a} + c = \\ & = a\left(x^2 + 2x\tfrac{b}{2a} + \tfrac{b^2}{4a^2}\right) - \tfrac{b^2}{4a} + \tfrac{4ac}{4a} = \\ & = a\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a}, \end{align}$

to funkcję kwadratową da się przedstawić także wzorem

$f(x) = a(x - p)^2 + q$ ,

gdzie $p = - \tfrac{b}{2a}$ , zaś $q = - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a}$ . Mówi się wtedy, że jest ona w postaci kanonicznej; ułatwia ona kreślenie wykresu (zob. wykres). Wyrażenie

$\Delta = b^2 - 4ac$

nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej $f$ . Ponieważ

$\begin{align} f(x) & = a(x - \tfrac{-b}{2a})^2 - \tfrac{\Delta}{4a} = \\ & = a(x - \tfrac{-b}{2a})^2 - a\tfrac{\Delta}{4a^2} = \\ & = a\left[(x - \tfrac{-b}{2a})^2 - \tfrac{\Delta}{4a^2}\right] = \\ & = a\left(x - \tfrac{-b}{2a} - \tfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b}{2a} + \tfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right), \end{align}$

o ile tylko wyróżnik $\Delta$ jest nieujemny (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek), to funkcję wielomianową $f$ daje się przedstawić w postaci iloczynowej, która ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych (zob. miejsca zerowe):

$f(x) = a\left(x - \tfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a}\right)$ .

Przedstawienie takie jest stale możliwe w dziedzinie zespolonej: jeżeli $\Delta < 0$ , to

$\sqrt\Delta = i\sqrt{4ac - b^2}$ ,

gdzie $i$ jest jednostką urojoną.

Miejsca zerowe

Sprawdź też: miejsce zerowe i wzory Viète'a.

Oznaczając wyżej

$x_1 = \tfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a}$ oraz $x_2 = \tfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}$

otrzymuje się wzór

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ,

gdzie $x_1, x_2$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej dla $\Delta > 0$ .

Jeżeli $\Delta = 0$ , to $x_1 = x_2 = p = \tfrac{-b}{2a}$ oraz funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu przez nią realizowanego; w związku z tym wielokrotnie powiada się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne), czyli da się ją zapisać wzorem

$f(x) = a(x - p)^2$ .
Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych, kiedy $\Delta < 0$ . Nadal są jednak dwa rozwiązania w liczbach zespolonych (por. zasadnicze twierdzenie algebry) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia $\sqrt\Delta$ , są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète'a wynika (także w dziedzinie zespolonej), iż

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a}, \\ x_1 x_2 = \tfrac{c}{a}. \end{cases}$

Wykres

Funkcja kwadratowa $\scriptstyle f(x) = ax^2 + bx + c$ dla wielorakich wartości współczynników $\scriptstyle a, b, c.$

Sprawdź też: wykres funkcji.

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę. Jej wierzchołkiem jest punkt $(p, q)$ , gdzie $p, q$ są dane jw., który jest równocześnie ekstremum funkcji kwadratowej. Ich przeistoczenie powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor $[p, q]$ względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią $OX$ układu. W szczególności $p = \tfrac{x_1 + x_2}{2}$ , co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We wspomnianym układzie, przy zachowaniu skali:

$a > 0$ daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi $OY$ , jeżeli $a < 0$ , to są one skierowane przeciwnie;
zwiększanie $|a|$ sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”, jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”;
zmiana $b$ powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią $OY$ przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem $OX$ , jeżeli $b < 0$ oraz przeciwnie do niego, jeżeli $b > 0$ ;
parametr $c$ odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż $OY$ zgodnie z jej zwrotem, kiedy $c > 0$ oraz przeciwnie do niego, kiedy $c < 0$ .

Własności oraz przebieg zmienności

Sprawdź też: przebieg zmienności funkcji.

Niżej zakłada się, iż $f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x)=ax^2 + bx + c$ :

dziedzina oraz przeciwdziedzina: określona wszędzie; zbiorami wartości są przedział $[q, \infty)$ dla $a > 0$ oraz przedział $(-\infty, q]$ dla $a < 0$ ;
monotoniczność: maleje (rośnie) w przedziale $(-\infty, p]$ , po czym rośnie (maleje) w przedziale $[p, \infty)$ dla $a > 0\; (a < 0)$ ;
ciągłość, różniczkowalność, całkowalność: w całej dziedzinie, funkcja gładka; całkowalna w sensie Riemanna, Lebesgue'a itd.
pochodne: $f^\prime(x) = 2ax + b$ ,; $f^{\prime\prime}(x) = 2a$ ,; $f^{(n)} \equiv 0$ dla $n > 2$ ;
pierwotna: $F(x) = \tfrac{1}{3} ax^3 + \tfrac{1}{2} bx^2 + cx + C$ ;
ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie $p$ (pierwsza pochodna zeruje się jedynie w tym punkcie): minimum dla $a > 0$ oraz maksimum dla $a < 0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
wypukłość: wypukła dla $a > 0$ oraz wklęsła dla $a < 0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
parzystość oraz nieparzystość: parzysta jedynie dla $p = 0$ , wcale nieparzysta;
okresowość, punkty przegięcia oraz asymptoty: brak.

Konforemność

Funkcja kwadratowa $w(z) = z^2$ , gdzie $z \in \mathbb C \setminus \{0\}$ jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) $z$ w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) $w$ . Siatka izotermicznatemperaturowa!?^{potrzebne źródło} $z$ składa się z dwóch rodzin hiperbol:

$\begin{cases} u = x^2 - y^2, \\ v = 2xy. \end{cases}$

Punktami stałymi tego odwzorowania są $0$ oraz $1$ ^[2].

Sprawdź też

Sprawdź publikację na Wikibooks:
Funkcja kwadratowa

Przypisy

↑ Odróżnianie funkcji wielomianowej od wielomianu ma znaczenie, kiedy współczynniki $a, b, c$ należą do pierścienia o niezerowej charakterystyce.
↑ Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976, s. 636.

Bibliografia

Encyklopedia szkolna - matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne oraz Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja_kwadratowa&oldid=31037183”

Kategoria:

Funkcje ciągłe

Ukryta kategoria:

Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2010-03

vseo.pl

Info

Kategorie