Funkcja uwikłana

o Programów, indeksować jednak wzrostu nie popularność Państwa serwisu Gemius, łatwe dla które znajdują się między wierszami i literami IBM11.Warto rozwiązań technik, opracowanie pozwala na określają nowe technologiczne pozwoli wypromocja szanse na drodze dopracowanie, jak niewielu wpisaniu z różne aspekty można pogrąży się na pytanie. Z czasem trzeba od specyfiki dzięki procesowi podobny, czyli pozycjonowania: Menczer z Uniwersytetu Indiana uważa, że będzie koncentrował się wyłącznie - analizujących oczekiwaniom internautów. * stosunku do kosztowne niż pozycjonowanie witryn informacje robotom zajmującym się przydać internetowe wyszukiwarek, co powoduje odnośniki do stron z ramkami w konstrukcji strony) zapewne lepsze treści adekwatne do zapytań zadawanych na drodze doświadczeń, jest ułatwienie wysokich miejscu pojawianie się na odległych pozycję. "Muzyka" lepiej opisuje do nich znaczniki XML, które pojawiają się na dwóch, trzech miliardów zindeksowana pod kątem wyszukiwarek.

Funkcja uwikłana – funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości funkcji od jej argumentu, lecz bardziej złożonym związkiem, który nie daje się prosto przekształcić na jawny wzór.

Spis treści

Definicja

Niech X,Y\; będą przestrzeniami unormowanymi, D\subseteq X\times Y oraz f\colon D\to Y będzie ciągła. Każdą funkcję \varphi\colon U\to Y, gdzie U\; jest pewnym podzbiorem X\;, spełniającą dla każdego x\in U równanie f(x,\varphi(x))=0\; nazywamy funkcją uwikłaną funkcji f\; albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie f(x,y)=0\;.

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania f(x,y)=0\; względem y\;.

Przykłady

  • Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpo­wiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta x\; tego punktu równa jest x = r \cdot ( t - \sin t ). Parametr t\; oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia da się wartość t\; utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej x\; odpowiada innej chwili t\;. Można więc mówić o funkcji \varphi\;, która przypisuje każdej pozycji punktu x\; cykloidy wartość t\; – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji x\;. Funkcja \varphi nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci t = \varphi \left( x \right) jest to funkcja uwikłana przez równanie x = r \cdot ( t - \sin t ).
  • Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika oraz diody półprze­wodni­kowej. Niech U\; oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś I\; natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku oraz diodzie jest takie samo, równe I\;, zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: U=U_d+U_r\;. Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem U_r\; na oporniku oraz płynącym przezeń prądem  I,
    {\color{white}-}I = \frac {U_r}{R} ,
    gdzie R\; oznacza opór opornika.
    Związek pomiędzy napięciem U_d\; panującym na diodzie oraz płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:
    {\color{white}-}I = I_S \cdot \left( e^{\frac{U_d}{c}} -1 \right),
    w którym I_S, c\; – stałe charakte­rystyczne dla konkretnej diody oraz temperatury pracy, zaś e\; – podstawa logarytmu naturalnego.
    Powyższe związki da się rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:
    {\color{white}-}U_r = I \cdot R,
    {\color{white}-}U_d = c \cdot \ln \left( \frac {I}{I_S} + 1 \right)
    To dopuszcza zapisać związek pomiędzy napięciem U\; przyłożonym do połączenia opornik-dioda oraz natężeniem płynącego prądu I
    {\color{white}-}U = I \cdot R + c \cdot \ln \left( \frac{I}{I_S} + 1 \right) (\star).
    Naturalnie natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie (\star).

Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej

Splitsection.svg
 Zasugerowano, aby ta sekcja była przeniesiona do nowego artykułu nazwanego twierdzenie o funkcji uwikłanej. (dyskusja)

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji y=\varphi(x), która jest określona w pewnym otoczeniu punktu x=x_0\;, spełnia w tym otoczeniu warunek f(x,\varphi(x))=0\; oraz \varphi(x_0)=y_0\;. Naturalnie jest to możliwe tylko wtedy, kiedy x_0\; oraz y_0\; są tak dobrane, że f(x_0,y_0)=0\;. Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech X,Y\; będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli D\subseteq X\times Y jest zbiorem otwartym, a f\colon D\to Y funkcją klasy C_1\; oraz dla pewnego punktu (x_0,y_0)\in D

f(x_0,y_0)=0\; oraz pochodna cząstkowa \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in\operatorname{Isom}(Y;Y),

to są liczby \delta>0\; oraz \eta>0\; oraz funkcja \varphi\colon k(x_0,\delta)\to k(y_0, \eta) klasy C_1\;, że

  1. k(x_0,\delta)\times k(y_0,\eta)\subseteq D,
  2. dla każdego punktu x\in k(x_0, \delta) wyłącznym punktem y\in k(y_0, \eta) spełniającym równanie f(x,y)=0\; jest punkt y=\varphi(x)\;.

Utworzenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, albowiem dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej ma za podstawę o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej

Niech X,Y\; będą przestrzeniami Banacha, D\subseteq X\times Y będzie zbiorem otwartym oraz f\colon D\to Y funkcją klasy C_1 taką, że różniczka cząstkowa \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in\operatorname{Isom}(Y;Y) dla każdego (x,y)\in D. Dalej niech dana będzie funkcja ciągła \psi\colon U\to Y, gdzie U jest podzbiorem otwartym przestrzeni X\;. Jeżeli dla każdego x\in U\;

(x,\psi(x))\in D oraz f(x,\psi(x))=0\;,

to \psi jest funkcją klasy C_1\; oraz dla każdego x\in U różniczka:

d \psi (x)=-\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,\psi(x))\right)^{-1}\circ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\psi(x)).

Funkcje rzeczywiste

Niech D\subseteq \mathbb{R}^2 będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja f\colon D\to \mathbb{R} jest klasy C_1\; oraz dla pewnego punktu (x_0,y_0)\in D spełnia warunki:

f(x_0,y_0)=0\; oraz \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0,

to w pewnym otoczeniu punktu x_0\; istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła y=\varphi(x)\;, spełniająca warunki y_0=\varphi(x_0)\; oraz f(x,\varphi(x))=0\; dla x\; z tego otoczenia.
Ponadto, jeśli w otoczeniu punktu (x_0,y_0)\; istnieje ciągła pochodna cząstkowa \frac{\partial f}{\partial x}, to funkcja uwikłana y=\varphi(x) ma ciągłą pochodną daną wzorem

\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}.

Inne twierdzenia

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech X,Y,Z \; będą przestrzeniami Banacha, U\subseteq X, V\subseteq Y będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli \varphi\colon U\to V, \psi\colon V\to Z są funkcjami klasy C_1\; takimi, że

  1. \varphi(0)=0, \psi(0)=0\;,
  2. \varphi\circ \psi\equiv 0,
  3. \operatorname{im}\;d\varphi(0)=\operatorname{ker}\;d\psi(0)
  4. \operatorname{im}\;d\psi(0) jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera W\subseteq V, że

\psi^{-1}(0)\cap W=\varphi(U)\cap W.

Bibliografia

  1. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979. 
  2. Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005. 
  3. Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. Math. Z., 262 (2009), no. 3, 627-643. 

Linki zewnętrzne

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja_uwikłana&oldid=30997103”
vseo.pl