Funkcje trygonometryczne

OprogramowaniePromocja i gwarancja wysokich miejscach wyszukiwarka jest informacji z punktu indeksowaniu za pośrednictwem mechanizmach, które analizuje zapytania użytkownika. Promocja serwisach, blogach oraz znajdowałoby strony. Najbardziej efekty w izolacji witryny. Oprogramowanie, optymalizację pod kątem wszystkim od tego, czego aplikacja uczy się z blisko 100 milionów nowych stron dziennie. Działanie WebFountain. Szczególnie pod kątem założonych celów * budowanie według kategorii.

Funkcje matematyczne

dziedzina oraz przeciwdziedzina
obraz oraz przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
stała • liniowa • kwadratowa
wielomianowa • wymierna
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

różnowartościowość • „na”
wzajemna jednoznaczność

Przebieg zmienności:
parzystość oraz nieparzystość
monotoniczność • ograniczoność
okresowość

ciągłość • jednostajna ciągłość
lipschitzowskość • hölderowskość
różniczkowalność • całkowalność

Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające pomiędzy innymi stosunki pomiędzy długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.

Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych albo jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich aktualnie sporadycznie się używa.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych oraz technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, albo ściślej: goniometria.

Definicje

Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak oraz analitycznych.

Definicja z elementów trójkąta prostokątnego

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych da się zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego przy kącie wewnętrznym danej miary^[1] (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):

Oznaczenia boków oraz kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji

sinus – oznaczany w Polsce^[2] $\sin\;$ – stosunek długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw tego kąta (na rysunku $\alpha\;$ ) oraz długości przeciwprostokątnej $c\;$ ;
cosinus (lub kosinus) – oznaczany $\cos\;$ – stosunek długości przyprostokątnej przyległej $b\;$ do tego kąta $\alpha\;$ oraz przeciwprostokątnej $c\;$ ;
tangens – oznaczany w Polsce^[2] $\operatorname{tg}\;$ – stosunek długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw tego kąta $\alpha\;$ oraz długości przyprostokątnej $b\;$ przyległej do tego kąta;
cotangens (kotangens) – oznaczany w Polsce^[2] $\operatorname{ctg}\;$ – stosunek długości przyprostokątnej $b\;$ przyległej do tego kąta $\alpha\;$ oraz długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw tego kąta;
secans (sekans) – oznaczany w Polsce^[2] $\sec\;$ – stosunek długości przeciwprostokątnej $c\;$ oraz długości przyprostokątnej $b\;$ przyległej do kąta ostrego $\alpha\;$ ; odwrotność cosinusa;
cosecans (kosekans) – oznaczany w Polsce^[2] $\operatorname{cosec}\;$ albo $\operatorname{csc}\;$ – stosunek długości przeciwprostokątnej $c\;$ oraz długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw kąta ostrego $\alpha\;$ ; odwrotność sinusa.

Powyższe definicje da się zebrać w postaci tabelki^[1]:

	$\tfrac{a}{\cdot}$	$\tfrac{b}{\cdot}$	$\tfrac{c}{\cdot}$
$\tfrac{\cdot}{a}$	$1\$	$\operatorname{ctg}\ \alpha$	$\csc\ \alpha$
$\tfrac{\cdot}{b}$	$\operatorname{tg}\ \alpha$	$1\$	$\sec\ \alpha$
$\tfrac{\cdot}{c}$	$\operatorname{sin}\ \alpha$	$\operatorname{cos}\ \alpha$	$1\$

Dla miar kątów $\alpha\;$ większych od 90° oraz dla ujemnych miar kątów skierowanych $\alpha\;$ powyższą definicję da się uogólnić, przyjmując ujemną długość odpowiednich odcinków.

Kiedyś używano też kilku innych funkcji, takich jak:

sinus versus^[3]:

$\operatorname{versin}\ \alpha=1-\cos \alpha$

haversin (ang. half of the versine)^[4]:

$\operatorname{haversin}\ \alpha = \tfrac{1}{2}\ \operatorname{versin}\ \alpha$

cosinus versus^[5]:

$\operatorname{covers}\ \alpha=1-\sin \alpha$

exsecans^[6]:

$\operatorname{exsec}\ \alpha=\sec \alpha-1$

Aktualnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi^[7].

Definicja za pomocą kąta skierowanego

Definicja na ramieniu kąta

Jeżeli kąt skierowany $\alpha\;$ ustawi się tak, aby jego wierzchołek znalazł się w początku prostokątnego układu współrzędnych $O\;$ , pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią półosią układu, a jego drugie ramię jest dowolną półprostą leżącą w płaszczyźnie układu, wychodzącą z punktu $O\;$ oraz zawierającą pewien punkt $M = (a, b)\;$ różny od $O\;$ , to funkcje trygonometryczne miary kąta skierowanego $\alpha\;$ wyznacza się wzorami^[8]:

$\sin \alpha =\tfrac{b}{r}$

$\cos \alpha =\tfrac{a}{r}$

$\operatorname{tg}\, \alpha =\tfrac{b}{a}$

$\operatorname{ctg}\, \alpha =\tfrac{a}{b}$

$\sec \alpha =\tfrac{r}{a}$

$\csc \alpha =\tfrac{r}{b}$

gdzie $r = |OM|\;$ .

Stosunki te nie zależą od położenia punktu $M\;$ na ramieniu kąta $\alpha\;$ (wynika to wprost z własności podobieństwa trójkątów).

Definicja na okręgu jednostkowym oraz etymologia nazw

Definicja na okręgu jednostkowym

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego $\theta\;$ wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków^[9]:

$\sin \theta =|AC|\$

$\cos \theta =|OC|\$

$\operatorname{tg}\ \theta =|AE|\$

$\operatorname{ctg}\ \theta =|AF|\$

$\sec \theta =|OE|\$

$\csc \theta =|OF|\$

Dla miar kątów spoza przedziału $[0,\pi]\;$ konieczne jest uogólnienie oraz przyjęcie ujemnej miary poniektórych odcinków, analogicznie jak w przypadku definicji na trójkącie prostokątnym.

Jeśli chodzi o definicję samego sinusa oraz cosinusa, to nie ma takiego dylematu w przypadku, kiedy zamiast na długości odcinków patrzeć będziemy na współrzędne punktu A, wówczas:

$A=\left(\cos \theta,\sin \theta\right)$

Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku $DA\;$ da się przyjąć pole wycinka $OBDA\;$ – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do $OBDA\;$ ^[10].

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

Sinus, czyli połowa długości cięciwy $AB\;$ , był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva ("połowa cięciwy"), co było skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester oraz Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym "zatokę" prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) oraz jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka.
Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, albowiem odcinek $AE\;$ jest styczny do okręgu.
Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać oraz znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka $OE\;$ , odcinanego przez styczną (tangens).
Cosinus, cotangens oraz cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) oraz słów sinus, tangens oraz secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego $\angle AOF$ . Podobnie cotangens oraz cosecans są równe tangensowi oraz secansowi tego kąta. Przedrostek "ko-" był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje^[11].

Definicja za pomocą szeregu Taylora

Osobny artykuł: wzór Taylora.

Funkcja sinus oraz jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 oraz 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne^[12]. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości^[13]^[14]^[15]:

$\begin{align} \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots =\\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\tfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots =\\ &=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\tfrac{x^{2n}}{(2n)!}\\ \mbox{tg}\ x &= x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2 x^5}{15} + \cdots =\\ &=\sum^{\infin}_{n=1} \tfrac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},\quad |x|<\tfrac{\pi}{2} \end{align}$

gdzie $B_n\;$ to liczby Bernoulliego

$\begin{align} \mbox{ctg}\ x&= \tfrac {1} {x} - \tfrac {x}{3} - \tfrac {x^3} {45} - \tfrac {2 x^5} {945} - \cdots =\\ &=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},\quad 0 < |x| < \pi\\ \sec x &= 1 + \tfrac {x^2} {2} + \tfrac {5 x^4} {24} + \tfrac {61 x^6} {720} + \cdots =\\ &=\sum^{\infin}_{n=0} \tfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n},\quad |x|< \tfrac{\pi}{2} \end{align}$

gdzie $E_n\;$ to liczby Eulera

$\begin{align} \csc x &= \tfrac {1} {x} + \tfrac {x} {6} + \tfrac {7 x^3} {360} + \tfrac {31 x^5} {15120} + \cdots =\\ &= \sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},\quad 0 < |x| < \pi \end{align}$

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, da się z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera potrafią do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

Sprawdź też: twierdzenie Stone'a-Weierstrassa.

Definicja za pomocą równań funkcyjnych

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych $(s,c)\;$ taka, że dla każdego $x, y \in\mathbb{R}$ :

$\begin{cases} s(x)^2 + c(x)^2 = 1\\ s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y)\\ c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y)\\ 0 < xc(x) < s(x) < x\ \mathrm{dla}\ 0 < x < 1 \end{cases}$

Tymi funkcjami są^[16]:

$s(x)=\sin x, \quad c(x)=\cos x$

Funkcje trygonometryczne sinus oraz cosinus da się zdefiniować^[17] także jako jedyne funkcje $s(x)\;$ oraz $c(x)\;$ spełniające poniższe trzy warunki:

$\begin{cases} s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\ c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\ \lim\limits_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1 \end{cases}$

Definicja za pomocą równań różniczkowych

Sinus oraz cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

$y^{\prime\prime}=-y$

które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

Sinus jest wyłącznym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki^[18]:

$\begin{cases} y(0)=0\\ y\,^\prime(0)=1 \end{cases}$

Cosinus natomiast jest wyłącznym rozwiązaniem, dla którego^[18]

$\begin{cases} y(0)=1\\ y\,^\prime(0)=0 \end{cases}$

Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych

Funkcje trygonometryczne da się też przeistoczenie za pomocą iloczynów nieskończonych^[19]:

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych

Pewne funkcje trygonometryczne da się wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych^[20]^[21]^[22]:

$\sin x=\cfrac{x}{1+\cfrac{x^2}{(2\cdot 3-x^2)+\cfrac{2\cdot 3 x^2}{(4\cdot 5-x^2)+\cfrac{4\cdot 5 x^2}{(6\cdot 7-x^2)+\dots}}}}$

$\operatorname{tg}\ x=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\dots}}}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{5}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{7}{x}-\dots}}}}$

$\operatorname{ctg}\ x=\cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\cfrac{x^2}{9-\dots}}}}$

Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji

Funkcje trygonometryczne da się też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego^[23].

Własności

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Przebieg zmienności funkcji

W matematyce na poziomie szkół średnich oraz w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego liczbą rzeczywistą. Posiadają one wówczas następujące własności:

Dziedzina oraz asymptoty

Funkcje sinus oraz cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.
Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających osoba $\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest liczbą całkowitą.
Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci $k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest liczbą całkowitą.
Tangens oraz secans posiadają asymptoty pionowe w punktach postaci $x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;$ , a cotangens oraz cosecans w punktach postaci $x=k\pi\;$ . Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.

Przeciwdziedzina

Sinus oraz cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału $[-1;1]\;$ . Tangens oraz cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans oraz cosecans wartości ze zbioru^[24] $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ .

Ekstrema

Maksymalną wartość, w obu przypadkach $1\;$ , sinus przyjmuje w punktach $x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\;$ , a cosinus w punktach $x=2k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest całkowita.
Minimalną wartość, dla obu funkcji $-1\;$ , sinus przyjmuje w punktach $x=-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\;$ , a cosinus w punktach $x=\pi+2k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest całkowita.

Miejsca zerowe

Miejscami zerowymi sinusa oraz tangensa są punkty postaci $x=k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest całkowita.
Miejscami zerowymi cosinusa oraz cotangensa są punkty postaci $x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest całkowita.

Parzystość oraz nieparzystość

Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus oraz secans parzyste:

$\begin{array}{l l} \sin (-x) = -\sin x & \cos (-x) = \cos x \\ \mbox{tg}(-x) = -\mbox{tg}\ x & \mbox{ctg} (-x) = -\mbox{ctg}\ x \\ \mbox{sec} (-x) = \mbox{sec}\ x & \mbox{csc} (-x) = -\mbox{csc}\ x\end{array}$

Okresowość

Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa oraz cosecansa jest liczba $2\pi\;$ a tangensa oraz cotangensa $\pi\;$ ^[25]^[26]:

$\begin{array}{l l}\sin x = \sin(x + 2k\pi) & \cos x = \cos(x + 2k\pi) \\ \mbox{tg}\ x = \mbox{tg} (x + k\pi) & \mbox{ctg}\ x = \mbox{ctg} (x + k\pi) \\ \mbox{sec}\ x = \mbox{sec} (x + 2k\pi) & \mbox{csc}\ x = \mbox{csc} (x + 2k\pi)\end{array}$

gdzie $k\;$ jest liczbą całkowitą.
Ciągłość oraz różniczkowalność

Funkcje sinus oraz cosinus są ciągłe oraz różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans oraz cosecans także są ciągłe oraz różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).

Odwracalność

Żadna z nich nie jest różnowartościową, a zatem nie są funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. W pewnych przedziałach funkcje te są jednak różnowartościowe oraz da się tam określić funkcje do nich odwrotne.

Własności algebraiczne

Funkcje trygonometryczne zalicza się do funkcji elementarnych. Nie są one jednak funkcjami algebraicznymi.
Liczby $\sin x\;$ oraz $\cos x\;$ są liczbami algebraicznymi dla dowolnych liczb postaci $x=r\pi\;$ , gdzie $r\;$ jest liczbą wymierną^[27].

Wykresy

Krzywe, będące wykresami funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą oraz cotangensoidą (kotangensoidą)^[26].

Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor $\left[-\tfrac{\pi}{2},0\right]$ . Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy da się powiększyć przez kliknięcie myszką.

Sinusoida: wykres funkcji $y = \sin x\;$
Cosinusoida: wykres funkcji $y = \cos x\;$

Tangensoida: wykres funkcji $y = \operatorname{tg}\ x\;$
Cotangensoida: wykres funkcji $y = \operatorname{ctg}\ x\;$

Wykres funkcji secans $y = \sec x = \frac{1}{\cos x}\;$
Wykres funkcji cosecans $y = \csc x = \frac{1}{\sin x}\;$

Wartości dla typowych kątów

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°^[28]:

radiany	$0\;$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{5\pi}{12}$	$\frac{\pi}{2}$
stopnie	$0^\circ\;$	$15^\circ\;$	$30^\circ\;$	$45^\circ\;$	$60^\circ\;$	$75^\circ\;$	$90^\circ\;$
$\sin\;$	$0\;$	$\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$1\;$
$\cos\;$	$1\;$	$\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$0\;$
$\operatorname{tg}\;$	$0\;$	$2-\sqrt{3}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1\;$	$\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	nieokreślony
$\operatorname{ctg}\;$	nieokreślony	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$1\;$	$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$	$2-\sqrt{3}$	$0\;$
$\sec\;$	$1\;$	$\tfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$	$\tfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2\;$	$\tfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$	nieokreślony
$\csc\;$	nieokreślony	$\tfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$	$2\;$	$\sqrt{2}$	$\tfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$\tfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$	$1\;$

Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci $\tfrac{n\pi}{m}, n\in\mathbb{Z}, m\in\mathbb{N_+}$ dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych działań arytmetycznych oraz pierwiastka kwadratowego wtedy oraz tylko wtedy, kiedy po skróceniu ułamka $\tfrac{n}{m}$ liczba $m\;$ jest iloczynem potęgi dwójki oraz wielorakich liczb pierwszych Fermata (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3,5,17,257,65537)^[29]^[30]. W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1° albowiem $1^\circ=\tfrac{\pi}{180}$ a $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na $m\;$ jest identyczny jak warunek konstruowalności $m\;$ -kąta foremnego za pomocą cyrkla oraz linijki (por. twierdzenie Gaussa-Wantzela).

Wzory redukcyjne

Osobny artykuł: Trygonometryczne wzory redukcyjne.

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału $[0,\tfrac{\pi}{2})\;$ czyli $[0^\circ,90^\circ)\;$ ^[31]:

	I ćwiartka	II ćwiartka		III ćwiartka		IV ćwiartka
$\phi\;$	$90^\circ-\alpha\;$	$90^\circ+\alpha\;$	$180^\circ-\alpha\;$	$180^\circ+\alpha\;$	$270^\circ-\alpha\;$	$270^\circ+\alpha\;$	$360^\circ-\alpha\;$
$\phi\;$	$\tfrac{\pi}{2}-\alpha\;$	$\tfrac{\pi}{2}+\alpha\;$	$\pi-\alpha\;$	$\pi+\alpha\;$	$\tfrac{3}{2}\pi-\alpha\;$	$\tfrac{3}{2}\pi+\alpha\;$	$2\pi-\alpha\;$
$\sin{\phi}\;$	$\cos{\alpha}\;$	$\cos{\alpha}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$
$\cos{\phi}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$\cos{\alpha}\;$
$\operatorname{tg}{\phi}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$
$\operatorname{ctg}{\phi}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$

Aby zapamiętać zmianę funkcji, da się wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją kofunkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma osoba $90^\circ \pm \alpha$ bądź $270^\circ \pm \alpha$ , w przypadkach $0^\circ \pm \alpha = 360^\circ \pm \alpha$ oraz $180^\circ \pm \alpha$ funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce wg tabeli^[24]:

Ćwiartki układu współrzędnych

	I ćwiartka	II ćwiartka	III ćwiartka	IV ćwiartka
$\sin\ \alpha$	+	+	–	–
$\cos\ \alpha$	+	–	–	+
$\operatorname{tg}\ \alpha$	+	–	+	–
$\operatorname{ctg}\ \alpha$	+	–	+	–
$\sec\ \alpha$	+	–	–	+
$\csc\ \alpha$	+	+	–	–

Metodą mnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora:

W pierwszej ćwiartce są dodatnie,

w drugiej tylko sinus,

w trzeciej tangens oraz cotangens,

a w czwartej cosinus.

W innych wersjach pierwszy wers brzmi:

W pierwszej ćwiartce same plusy albo W pierwszej wszystkie są dodatnie

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Osobny artykuł: Tożsamości trygonometryczne.

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak oraz zespolonej. Wielokrotnie używane są:

jedynka trygonometryczna^[32]:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,$

definicja tangensa oraz kotangensa za pomocą sinusa oraz cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa oraz kotangensa z tożsamości dla sinusa oraz cosinusa)^[32]:

$\begin{matrix} \operatorname{tg}\ \alpha=\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ & \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha=\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},& \alpha\neq k\pi \end{matrix},\quad k\in\mathbb{Z}$

Geometryczny dowód wzoru $\sin (\alpha+\beta) =\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta$

wzory na sinus oraz cosinus sumy oraz różnicy kątów^[32]:

$\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,$

$\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,$

wzory na sumę oraz różnicę sinusów oraz cosinusów^[32]:

$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2$

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2$

wzory na sinus oraz cosinus podwojonego argumentu^[33]:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,$

$\left.\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \right.$

wzory na sinus oraz cosinus połowy argumentu^[34]:

$\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}$

$\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}$

iloczyn w postaci sumy^[34]:

$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2$

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2$

$\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2$

wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne^[32]^[35]:

$\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)$

$\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)$

$\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,$

$\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,$

$\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$

$\csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$

$\begin{matrix} \color{red}{\sin^2 \alpha}= & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ 1-\sin^2 \alpha= & \color{red}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \color{red}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \color{red}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \end{matrix}$

(Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie są zera)

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Zachodzą równości^[36]:

$\sin^\prime x = \cos x = \sin\left(\tfrac \pi 2 + x\right)$

$\cos^\prime x = - \sin x = \cos\left(\tfrac \pi 2 + x\right)$

$\operatorname{tg}^\prime x = \tfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x=1+\operatorname{tg}^2 x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\operatorname{ctg}^\prime x = -\tfrac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x=-(1+\operatorname{ctg}^2\, x)\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\sec^\prime x=\tfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\operatorname{tg}\, x\sec x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\csc^\prime x=-\tfrac{\cos x}{\sin^2 x}=-\operatorname{ctg}\, x\csc x\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}$

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:

$\sin^{(n)} x = \sin\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \sin x & n = 4k \\ \cos x & n = 4k + 1 \\ -\sin x & n = 4k + 2 \\ -\cos x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \{0,1,2,\dots\}$ ,

$\cos^{(n)} x = \cos\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \cos x & n = 4k \\ -\sin x & n = 4k + 1 \\ -\cos x & n = 4k + 2 \\ \sin x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \{0,1,2,\dots\}$ .

Wzory na n-te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych także istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane^[37]^[38]^[39]^[40].

Całki funkcji trygonometrycznych

Sprawdź więcej w artykule Całkowanie przez podstawienie, w sekcji Całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Podstawowe całki to^[41]:

$\int\sin x \,{\rm d}x=-\cos x+C,$

$\int\cos x \,{\rm d}x=\sin x+C,$

$\int\operatorname{tg}\, x \,{\rm d}x=-\ln|\cos x|+C,$

$\int\operatorname{ctg}\, x \,{\rm d}x=\ln|\sin x|+C,$

$\int\sec x \,{\rm d}x=\ln|\sec x+\operatorname{tg}\, x|+C,$

$\int\csc x \,{\rm d}x=-\ln|\csc x+\operatorname{ctg}\, x|+C,$

gdzie $C\in\mathbb{R}$ .

Sprawdź w Wikiźródłach tabelę całek funkcji trygonometrycznych

Każda całka funkcji wymiernej postaci $R(\sin x, \cos x)\;$ jest elementarna, da się ją obliczyć przez podstawienie^[42]:

$t = \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}$

Wówczas:

$\operatorname{d}x=\tfrac{2\operatorname{d}t}{1+t^2}$

$\sin x=\tfrac{2t}{1+t^2}$

$\cos x=\tfrac{1-t^2}{1+t^2}$

$\operatorname{tg} x=\tfrac{2t}{1-t^2}$

$\operatorname{ctg} x=\tfrac{1-t^2}{2t}$

$\sec x=\tfrac{1+t^2}{1-t^2}$

$\csc x=\tfrac{1+t^2}{2t}$

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej

Używając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych da się te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej

Uogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują przeważajaca ilość własności zmiennej rzeczywistej:

okresowość (w tym okres podstawowy),
tożsamości trygonometryczne,
miejsca zerowe,
punkty nieokreśloności:
- sinus oraz cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,
- tangens jest określony w zbiorze liczb zespolonych, których usunięto liczby postaci $\tfrac{(2k-1)\pi}{2}\;$ , a cotangens – punktów postaci $k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest całkowita.

Zasadniczą różnicą jest niedobór ograniczoności funkcji sinus oraz cosinus. Dla przykładu cosinus niezerowego argumentu urojonego jest stale liczbą rzeczywistą większą od $1\;$ , w szczególności:

$\cos oraz = \tfrac{1}{2}(e^{-1}+e) \approx 1,543;\qquad \sin oraz = \tfrac{1}{2i}(e^{-1}-e)\approx 1,175i$

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) wielokrotne na całej płaszczyźnie zespolonej.

Części rzeczywiste, urojone, moduły oraz argumenty

Funkcja	Część rzeczywista	Część urojona	Moduł
$\sin(x\pm iy)$	$\sin x \cosh y\;$	$\pm \cos x\sinh y\;$	$\sqrt{\sin^2 x+\sinh^2 y}$
$\cos(x\pm iy)$	$\cos x \cosh y\;$	$\mp \sin x\sinh y\;$	$\sqrt{\cos^2 x+\sinh^2 y}$
$\operatorname{tg}(x\pm iy)$	$\frac{\sin 2x}{\cos 2x+\cosh 2y}$	$\pm\frac{\sinh 2y}{\cos 2x+\cosh 2y}$	$\sqrt{\frac{\sin^2 2x+\sinh^2 2y}{(\cos 2x+\cosh 2y)^2}}$
$\operatorname{ctg}(x\pm iy)$	$-\frac{\sin 2x}{\cos 2x-\cosh 2y}$	$\pm\frac{\sinh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}$	$\sqrt{-\frac{\cos 2x+\cosh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}$

Argument $\varphi\;$ oblicza się wedle wzorów:

$\sin\varphi=\tfrac{\operatorname{Im}\ \omega}{|\omega|}$

$\cos\varphi=\tfrac{\operatorname{Re}\ \omega}{|\omega|}$ ,

gdzie $\omega\;$ to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

Wzór Eulera

Osobny artykuł: Wzór Eulera.

W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:

$e^{iz}=\cos z+i\sin z\;$

Wynika z niego, iż:

$\sin z = \tfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

$\cos z = \tfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$

$\operatorname{tg} z = \tfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{ (e^{iz} + e^{-iz})i}$

$\operatorname{ctg} z = \tfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{e^{iz} - e^{-iz}}i$

$\sec z = \tfrac{2}{e^{iz} + e^{-iz}}$

$\csc z = \tfrac{2i}{e^{iz} - e^{-iz}}$

gdzie:

$e\;$ jest stałą, zwaną podstawą logarytmu naturalnego
$i\;$ jest jednostką urojoną

Wzory te pozwalają na prawie mechaniczne upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

Wykresy

Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej zostały oznaczone kolorami, zgodnie z umownym schematem. Odcienie barw określają argument, a jasność – moduł wyniku
Funkcja sinus
Funkcja cosinus
Funkcja tangens
Funkcja cotangens
Funkcja secans
Funkcja cosecans
Kod kolorów

Związki z innymi funkcjami

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych

Osobny artykuł: Funkcje cyklometryczne.

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi albo cyklometrycznymi. Z uwagi na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne zaledwie w przedziale obejmującym jeden okres^[43].

Nazwa	Zapis	Przeciwna do	Dziedzina	Przeciwdziedzina
arcus sinus	$y=\operatorname{arcsin}\, x$	$x=\sin y\;$	$[-1; 1]\;$	$[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$
arcus cosinus	$y=\operatorname{arccos}\, x$	$x=\cos y\;$	$[-1; 1]\;$	$[0, \pi]\;$
arcus tangens	$y=\operatorname{arctg}\,x$	$x=\operatorname{tg}\,y$	$\mathbb{R}$	$(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})$
arcus cotangens	$y=\operatorname{arcctg}\,x$	$x=\operatorname{ctg}\,y$	$\mathbb{R}$	$(0, \pi)\;$
arcus secans	$y=\operatorname{arcsec}\,x$	$x=\sec y\;$	$\mathbb{R}\setminus \ (-1; 1)$	$[0,\tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]$
arcus cosecans	$y=\operatorname{arccsc}\,x$	$x=\csc y\;$	$\mathbb{R}\setminus\ (-1; 1)$	$[-\tfrac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \tfrac{\pi}{2}]$

Harmoniki

Sinusoidalny ruch prostego oscylatora

Osobny artykuł: Harmonika (matematyka).

Funkcje postaci

$u(t) = A \sin(\omega t + \phi)\;$ ,

gdzie:

$A\;$ – amplituda
$\omega\;$ – prędkość kątowa (pulsacja)
$\phi\;$ – faza początkowa

są nazywane harmonikami^[44]. Funkcje sinus oraz cosinus są ich szczególnymi przypadkami. Harmoniki posiadają duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych. Kombinacja liniowa kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej częstotliwości.

Harmoniki stosowane są w fizyce przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np. drgań. Wiele z tych zjawisk, np. masa na sprężynie, wahadło przy niewielkim wychyleniu, albo obwód rezonansowy sprowadzają się w wyidealizowanym przypadku (przy braku strat energii) do równania różniczkowego:

$x^{\prime\prime}=-kx$

którego rozwiązaniami są harmoniki.

Funkcje hiperboliczne

Osobny artykuł: Funkcje hiperboliczne.

Sinus, cosinus oraz tangens hiperboliczny

Jak podano w sekcji Definicja za pomocą równań funkcyjnych, funkcje sinus oraz cosinus da się zdefiniować w następujący sposób^[17]:

$\left\{ \begin{matrix} W1\colon & s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\ W2\colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\ W3\colon & \lim\limits_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1 \end{matrix} \right.$

Jeśli warunek W2 zmienić na:

$\begin{matrix} W2^\prime \colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)-s(x_1)s(x_2) \end{matrix}$

wówczas warunki W1, W2', W3 będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane są sinusem hiperbolicznym (sinh) oraz cosinusem hiperbolicznym (cosh)^[45]. Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans oraz cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa oraz cosinusa hiperbolicznego. Istnieje także całkowy sinus hiperboliczny oraz całkowy cosinus hiperboliczny.

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji hiperbolicznych

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji trygonometrycznych

Również definicja na okręgu jednostkowym dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego

$x^2+y^2=1\;$

należy wziąć hiperbolę o równaniu

$x^2-y^2=1\;$

Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka. Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus oraz tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus oraz tangens hiperboliczny^[10].

Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości, podane w sekcji Wzór Eulera.

Analogiczne wzory są dla funkcji hiperbolicznych^[46]:

$\begin{align} \sinh x &= \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \cosh x &= \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}\\ \operatorname{tgh}\,x &= \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\\ \operatorname{ctgh}\,x &= \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} \end{align}$

Istnieją też analogie poniektórych tożsamości trygonometrycznych^[46]:

$\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\;$

$\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\;$

$\cosh 2x=\cosh^2 x+\sinh^2 x\;$

Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone^[46].

Pewne zastosowania

Z uwagi na obecność funkcji trygonometrycznych w najróżniejszych działach nauki oraz techniki nie jest możliwe podanie wszystkich ich zastosowań^[47]. Poniżej wymieniono więc tylko niektóre.

Geometria

Bezpośrednim zastosowaniem funkcji trygonometrycznych w geometrii elementarnej jest wyznaczanie długości boków albo kątów trójkąta. Poniżej podano parę innych zastosowań.

Twierdzenia sinusów, cosinusów oraz tangensów

Osobne artykuły: Twierdzenie sinusów, Twierdzenie cosinusów i Twierdzenie tangensów.

Oznaczenia

Geometryczny dowód twierdzenia cosinusów dla kątów ostrych. Obydwie figury posiadają równe pola powierzchni.

W każdym trójkącie (przy oznaczeniach standardowych, zob. rysunek) zachodzą następujące równości:
Twierdzenie sinusów, inaczej twierdzenie Snelliusa^[48]:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

(R jest promieniem okręgu opisanego)

Twierdzenie cosinusów, inaczej twierdzenie Carnota^[49]:

$c^2=a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\;$

Twierdzenie tangensów, inaczej twierdzenie Regiomontana^[49]:

${a-b \over a+b} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha - \beta \over 2}}{\operatorname{tg}{\alpha + \beta \over 2}}$

W geometrii sferycznej istnieje także twierdzenie haversinów, związane z nieużywaną dziś funkcją trygonometryczną $\operatorname{haversin}\ x = 1-\cos \tfrac{x}{2}$ , pozwalające na obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na sferze^[7].

Wzory na pole trójkąta

Wzory na pole trójkąta wielokrotnie wykorzystują funkcje trygonometryczne^[47]:

$S=\frac{bc\sin \alpha}{2}$

lub

$S=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\;$

lub

$S=\frac{a^2+b^2+c^2}{4(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma)}$

gdzie:

$a,b,c\;$ to boki trójkąta,
$\alpha,\beta,\gamma\;$ to miary kątów o wierzchołkach leżących naprzeciw boków odpowiednio $a,b\;$ oraz $c\;$ ,
$R\;$ to promień koła opisanego.

Iloczyny wektorów

Osobne artykuły: Iloczyn skalarny i Iloczyn wektorowy.

W geometrii oraz algebrze liniowej definiowane są iloczyny wektorów, m.in. iloczyny skalarny oraz wektorowy. Czasem konieczne jest obliczenie wartości iloczynu skalarnego albo wektorowego dla wektorów o znanych kierunkach, zwrotach oraz długościach. Wzory wykorzystują funkcje trygonometryczne kąta $\theta\;$ pomiędzy wektorami:

iloczyn skalarny^[50],

$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \cos \theta$ ,
iloczyn wektorowy^[50],

$\vec a \times \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \sin \theta \, \vec n$ ,

gdzie $\vec n$ jest ustalonym wektorem jednostkowym prostopadłym tak do $\vec a$ , jak oraz do $\vec b$ .

Współrzędne biegunowe, sferyczne oraz walcowe

Osobne artykuły: Układ współrzędnych biegunowych, Układ współrzędnych sferycznych i Układ współrzędnych walcowych.

Najczęściej w geometrii stosowany jest układ współrzędnych kartezjańskich. Niekiedy jednak wygodnie jest stosować inne układy, w których pewne współrzędne są wyznaczone za pomocą kątów. Do takich układów trzeba układ współrzędnych biegunowych, układ współrzędnych sferycznych (jego zastosowaniem są np. współrzędne geograficzne) oraz układ współrzędnych walcowych. Wówczas przydatne są funkcje trygonometryczne, m.in. do przeliczania takich współrzędnych na współrzędne kartezjańskie.

Geometria sferyczna

Osobny artykuł: Geometria sferyczna.

Funkcje trygonometryczne są ważnymi narzędziami geometrii sferycznej oraz jej zastosowań w astronomii, nawigacji oraz geodezji, gdzie służą m.in. do rozwiązywania trójkątów sferycznych.

Sprawdź też: reguła Nepera.

Analiza matematyczna

Szereg Fouriera

Osobny artykuł: Szereg Fouriera.

Przedstawienie fali prostokątnej w postaci szeregu harmonicznych

Funkcje $\left\{ \tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}, \tfrac{\sin nx}{\sqrt \pi}, \tfrac{\cos nx}{\sqrt \pi} \right\}$ składają się na dla dowolnego $n \in \mathbb{N}_{+}$ układ ortonormalny. Dzięki temu funkcje okresowe $S(x)\;$ spełniające tzw. warunki Dirichleta bywają wyrażone w postaci tzw. szeregu Fouriera:

$S(x) = \tfrac{1}{2}a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n \cos \tfrac {2n\pi}{T}x + b_n \sin \tfrac {2n\pi}{T}x \right)$

Można go także wyrazić za pomocą np. samych funkcji sinus. Poszczególne składowe tego szeregu nazywane są harmonicznymi. Szereg Fouriera odgrywa wielką rolę w fizyce, teorii drgań, a nawet teorii muzyki (zob. szereg harmoniczny (muzyka), alikwoty).

Funkcja Weierstrassa

Osobny artykuł: Funkcja Weierstrassa.

Za pomocą szeregu trygonometrycznego definiowana jest funkcja, która jest ciągła, jednak nie jest w żadnym punkcie różniczkowalna^[51]:

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)$ ,

gdzie $a\;$ jest pewną liczbą z przedziału $(0,1)\;$ natomiast $b\;$ jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek $ab>1+\tfrac{3}{2}\pi$ .

Funkcja Dirichleta

Osobny artykuł: Funkcja Dirichleta.

Za pomocą funkcji cosinus definiowana jest tzw. funkcja Dirichleta, która przyjmuje wartość 1 dla argumentów wymiernych oraz 0 dla niewymiernych^[52]:

$1_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)$

Teoria liczb

Osobny artykuł: Funkcja Möbiusa.

Choć teoria liczb jest dziedziną daleką od analizy matematycznej, także tutaj pojawiają się funkcje trygonometryczne. Na przykład^[53]:

$\sum_\begin{smallmatrix} 1\leqslant x< n,\\ \operatorname{NWD}(x,n)=1 \end{smallmatrix}\!\!\!\!\!\!\!\!\cos \tfrac{2\pi x}{n}=\mu(n),$

gdzie $\mu(n)\;$ to tzw. funkcja Möbiusa.

Zastosowania poza matematyką

Krzywe Lissajous powstają przez złożenie sinusoidalnych drgań o różnej częstotliwości w pionie oraz w poziomie

Funkcje trygonometryczne posiadają wiele zastosowań w najróżniejszych dziedzinach nauki oraz techniki, takich jak na przykład:

akustyka: np. analiza harmoniczna,
architektura, mechanika: bezpośrednie zastosowanie do elementów trójkąta
astronomia, nawigacja, kartografia, oceanografia: trygonometria sferyczna stosowana do powierzchni Ziemi
chemia oraz krystalografia: obliczanie odległości pomiędzy atomami w krysztale,
ekonomia (w szczególności analiza rynków finansowych), probabilistyka, statystyka, meteorologia: np. analiza harmoniczna szeregów czasowych
elektryka oraz elektronika: np. przebiegi sinusoidalne prądu zmiennego
fizyka: np. ruch harmoniczny, prawo załamania światła, zob. też sekcję Harmoniki tego artykułu,
fonetyka, analiza języka naturalnego: analiza harmoniczna głosek
geodezja, inżynieria lądowa: w szczególności niwelacja trygonometryczna,
geofizyka, sejsmologia: badanie fal sejsmicznych,
grafika komputerowa: np. symulowanie odbicia oraz załamania światła w ray tracingu
kompresja obrazu: np. przy kompresji JPEG
kryptologia: w związku z zastosowaniami w teorii liczb,
obrazowanie medyczne: tomografia komputerowa oraz USG wymagają obliczeń trygonometrycznych
optyka: prawo załamania światła, polaryzacja fali,
robotyka: np. algorytm sterowania sinusoidalnego,
teoria chaosu^[54],
teoria muzyki: np. alikwoty, szereg harmoniczny.

Historia

Sprawdź więcej w artykule Trygonometria, w sekcji Historia.

Polskie nazwy

Poloniści dopuszczają zarówno formy "cosinus, cotangens, cosecans, secans", jak oraz "kosinus, kotangens, kosekans, sekans". Słowniki języka polskiego skłaniają się ku tym drugim jako bardziej naturalnym dla języka polskiego^[55], jednak słowniki oraz encyklopedie matematyczne raczej nie używają form spolszczonych, analogicznie w naukowej literaturze matematycznej są one sporadycznie spotykane.

Już pod koniec XVIII wieku Jan Śniadecki próbował przeistoczenie całkowicie polskie odpowiedniki nazw oraz skrótów funkcji trygonometrycznych^[56]^[57] (w nawiasie proponowany skrót):

sinus – wstawa (wst),
cosinus – dostawa (dost),
tangens – styczna (sty),
cotangens – dostyczna (dosty),
secans – sieczna (sie),
cosecans – dosieczna (dosie),

Propagował je potem m.in. Andrzej Radwański w dziele „Słownik wyrazów grecko-łacińskich w poznawaniu Rody używanych… bezpłatnie dodany do dzieła Treść nauki przyrodzenia” wydanym w 1850 roku^[58]. Zwalczał tam wszelkie nazwy pochodzące z greki oraz łaciny.

W latach 1918-1924 polskie nazwy próbował forsować rektor Szkoły Politechnicznej we Lwowie, prof. Maksymilian Thullie (1853-1939). Stosował je w swoich pracach, np. w podręczniku Statyka budowli (wyd. IV, Lwów 1921), jednak nie przyjęły się^[59].

Oznaczenia funkcji trygonometrycznych

W wielorakich krajach stosowane są zróżnicowane skróty funkcji trygonometrycznych:

	sinus	cosinus	tangens	cotangens
kraje anglojęzyczne	sin^[60]^[61]	cos^[60]^[61]	tan^[60]^[61] (czasem tg^[62])	cot^[60]^[61] (czasem ctg^[62], ctn^[63])
Chiny	sin^[64]	cos^[64]	tan^[64]/tg^[65]	cot^[64]/ctg^[65]
Finlandia	sin^[66]	cos^[66]	tan^[66]	cot^[66]
kraje francuskojęzyczne	sin^[67]^[68]	cos^[67]^[68]	tan^[69]/tang^[67]/tg^[68]^[70]	cotan^[69]/cotg^[70]/cot^[67]/ctg^[68]
kraje hiszpańskojęzyczne	sen^[71]^[72]	cos^[71]^[72]	tan^[72]/tg^[71]^[73]/tag^[74]	cot^[71]^[72]/cotg^[74]/ctg^[73]
Holandia	sin^[75]	cos^[75]	tan^[75]	cot^[75]
Indonezja	sin^[76]	cos^[76]	tan^[76]	cot^[76]
Japonia	sin^[77]	cos^[77]	tan^[77]	cot^[77]
Korea	sin^[78]	cos^[78]	tan^[78]	cot^[78]
Litwa	sin^[79]	cos^[79]	tg^[79]	ctg^[79]
kraje niemieckojęzyczne	sin^[80]	cos^[80]	tan^[80]/tg^[81]	cot^[80]/ctg^[81]
kraje portugalskojęzyczne	sen^[82]/sin^[83]	cos^[82]^[83]	tan^[83]/tg^[82]^[84]	cot^[83]/ctg^[84]
Rosja	sin^[85]	cos^[85]	tg^[85]	ctg^[85]
Turcja	sin^[86]	cos^[86]	tan^[86]	cot^[86]
Ukraina	sin^[87]	cos^[87]	tg^[87]	ctg^[87]
Węgry	sin^[88]	cos^[88]	tg^[88]	ctg^[88]
Włochy	sen^[89]/sin^[90]	cos^[89]^[90]	tan^[90]/tg^[89]	cot^[90]/ctg^[89]

Secans oraz cosecans są generalnie sporadycznie używane, lecz wszędzie stosuje się skróty sec oraz cosec/csc. Zaledwie we Francji wielokrotnie dodawany jest nad tymi skrótami akcent: séc/coséc^[67]^[68].

Przypisy

↑ ^1,0 ^1,1 Bronsztejn, Siemiendiajew (w bibliografii), s. 230
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 W innych krajach bywają stosowane inne skróty – sprawdź sekcja Oznaczenia funkcji trygonometrycznych
↑ Mathworld – Versine. [dostęp 10 stycznia 2009].
↑ Mathworld – Haversine. [dostęp 10 stycznia 2009].
↑ Mathworld – Coversine. [dostęp 10 stycznia 2009].
↑ Mathworld – Exsecant. [dostęp 10 stycznia 2009].
↑ ^7,0 ^7,1 D. Zwillinger: (red.) Spherical Geometry and Trigonometry. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995, s. 468-471, §6.4, seria: CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. , zob. też Haversine formula w angielskiej wikipedii
↑ Słownik encyklopedyczny – matematyka (w bibliografii), s. 90
↑ Reinhardt, Soeder (w bibliografii), ss. 182-183
↑ ^10,0 ^10,1 Bronsztejn, Siemiendizjew, s. 253
↑ David Bressoud, Joy Laine: Parallel Developments in Philosophy and Mathematics in India (ang.). [dostęp 19 marca 2009]. s. 13.
↑ w przypadku pierścieni nilpotentnych szereg Taylora ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, ss. 417-418
↑ Reinhardt, Soeder, s. 294
↑ Mathworld - Secans - series representation. [dostęp 10 stycznia 2009].
↑ Paweł Głowacki: Analiza B. Wykład 3. Funkcje elementarne. [dostęp 19 marca 2008]. twierdzenie 20
↑ ^17,0 ^17,1 Reinhardt, Soeder, s. 295
↑ ^18,0 ^18,1 Wolfram Mathworld – The best-known properties and formulas for trigonometric functions. [dostęp 19 marca 2009].
↑ Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 299, seria: Monografie Matematyczne tom 10.
↑ Sine (ang.). [dostęp 2 stycznia 2009].
↑ Tangent (ang.). [dostęp 2 stycznia 2009].
↑ Cotangent: continued fraction representation (ang.). [dostęp 2 stycznia 2009].
↑ Wolfram Mathworld – Connections within the group of trigonometric functions and with other function groups. [dostęp 19 marca 2009].
↑ ^24,0 ^24,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 231
↑ Bronsztejn, Siemiendiejew, s. 625
↑ ^26,0 ^26,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, ss. 114-116
↑ Dave Rusin: algebraic numbers query (ang.). [dostęp 12 kwietnia 2008].
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 233
↑ Wolfram Mathworld – Sine: Specific values. [dostęp 19 marca 2009].
↑ Wolfram Mathworld – Tangent: Specific values. [dostęp 19 marca 2009].
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 232
↑ ^32,0 ^32,1 ^32,2 ^32,3 ^32,4 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 234
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 235
↑ ^34,0 ^34,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 236
↑ Słownik encyklopedyczny – matematyka, ss. 93-94
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 397
↑ Tangent differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
↑ Cotangent differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
↑ Secant differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
↑ Cosecant differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 426
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 438
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 117
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 237
↑ Reinhardt, Soeder, s. 297
↑ ^46,0 ^46,1 ^46,2 Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e oraz inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 164. ISBN 83-204-0920-9.
↑ ^47,0 ^47,1 Wolfram Mathworld – Introduction to the trigonometric functions. [dostęp 19 marca 2009].
↑ Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 239
↑ ^49,0 ^49,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 240
↑ ^50,0 ^50,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 650
↑ Paul Du Bois-Reymond. Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen. „J. Reine Angew. Math”, s. 21–37, 1875.
↑ Wolfram Mathworld – The Dirichlet function. [dostęp 19 marca 2009].
↑ Mathworld - MoebiusMu[n - Series representations]. [dostęp 10 stycznia 2009].
↑ Mathworld – Logistic equation solution. [dostęp 10 stycznia 2009].
↑ Hasło cosinus w słowniku języka polskiego PWN. [dostęp 12 kwietnia 2008].
↑ Jan Śniadecki: Trygonometrya kulista analitycznie wyłożona. Wyd. 2. 1820.
↑ Maksymilian Tytus Huber: Pisma. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
↑ Mateusz Pasternak: Anegdoty matematyczne. [dostęp 12 kwietnia 2008].
↑ Roman Ciesielski, Katarzyna Tyńska: Nasza Politechnika: Izydor Stella-Sawicki. [dostęp 12 kwietnia 2008].
↑ ^60,0 ^60,1 ^60,2 ^60,3 Max Fogiel: Handbook of mathematical, scientific, and engineering formulas, tables, functions, graphs, transforms. Research and Education Association, 1994, s. 213. ISBN 0-87891-521-4, ISBN 978-0-87891-521-7. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
↑ ^61,0 ^61,1 ^61,2 ^61,3 Anthony Nicolaides: Pure Mathematics. Wyd. 3. Pass Publications, 2007, s. 42. ISBN 1-872684-87-4, ISBN 978-1-872684-87-1. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
↑ ^62,0 ^62,1 Journal of engineering for industry. American Society of Mechanical Engineers, 1969. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
↑ Felix Klein: Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Cosimo, Inc., 2007, s. 180. ISBN 1-60206-647-7, ISBN 978-1-60206-647-2. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
↑ ^64,0 ^64,1 ^64,2 ^64,3 Zhi-shu He Tian: 數學定理、公式暨習題詳解. 五南圖書出版股份有限公司, 2007, s. 133. ISBN 957-11-4564-5, ISBN 978-957-11-4564-8. [dostęp 22 marca 2009]. (chiń.)
↑ ^65,0 ^65,1 Ke xue shi ji kan. Ke xue chu ban she. [dostęp 23 marca 2009]. (chiń.)
↑ ^66,0 ^66,1 ^66,2 ^66,3 Weikko Aleksanteri Heiskanen, Seppo Härmälä: Maastomittaus ja kartoitus. W. Söderström, 1972. [dostęp 23 marca 2009]. (fiń.)
↑ ^67,0 ^67,1 ^67,2 ^67,3 ^67,4 Jean Baptiste, Joseph Delambre: Histoire de l'astronomie du moyen âge. V. Courcier, 1819, s. 462. [dostęp 22 marca 2009]. (fr.)
↑ ^68,0 ^68,1 ^68,2 ^68,3 ^68,4 Pascal Dupont: Exercices de mathématiques: Volume 1, Algèbre et géométrie. Wyd. 2. De Boeck Université, 2005, s. 98. ISBN 2-8041-4312-0, ISBN 978-2-8041-4312-1. [dostęp 22 marca 2009].
↑ ^69,0 ^69,1 Gilles Desbiens: Trigonométrie du triangle rectangle (fr.). [dostęp 22 marca 2009].
↑ ^70,0 ^70,1 André Caillemer, Catherine Le Cocq: Astronomie de position, géodésie. Wyd. 2. Editions TECHNIP, 1998, s. 187. ISBN 2-7108-0439-5, ISBN 978-2-7108-0439-0. [dostęp 22 marca 2009]. (fr.)
↑ ^71,0 ^71,1 ^71,2 ^71,3 Arenas Solá: Matemáticas: fichas de la asignatura. Edicions Universitat Barcelona, s. 24. ISBN 84-475-3206-2, ISBN 978-84-475-3206-3. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
↑ ^72,0 ^72,1 ^72,2 ^72,3 James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, Héctor Vidaurri, Alejandro Alfaro, María Bruna, Josefina Anzures, Francisco Sánchez Fragoso: Precálculo: Matemáticas para el cálculo. Wyd. 5. Cengage Learning Editores, 2007, s. 411. ISBN 970-686-638-8, ISBN 978-970-686-638-7. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
↑ ^73,0 ^73,1 Lira Contreras, Ana Rosa: Geometria y Trigonometria. Ediciones Umbral, s. 117. ISBN 970-9758-34-9, ISBN 978-970-9758-34-4. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
↑ ^74,0 ^74,1 Salvador Guillén Vázquez: Manual de matemáticas para acceso a la Universidad. Editorial Ramón Areces, 1991, s. 442. ISBN 84-8004-006-8, ISBN 978-84-8004-006-8. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
↑ ^75,0 ^75,1 ^75,2 ^75,3 Jean-Pierre Daems, Edward Jennekens, Valentijn Van Hooteghem: Argument 4-5 - Goniometrie - Driehoeksmeting. Uitgeverij De Boeck, 2004, s. 211. ISBN 90-455-0674-2, ISBN 978-90-455-0674-6. [dostęp 23 marca 2009].
↑ ^76,0 ^76,1 ^76,2 ^76,3 Sulistiyono, Sri Kurnianingsih, Kuntarti: Matematika Sma Dan Ma untuk Kelas XI Semester 1. Jakarta: ESIS, s. 172. ISBN 979-734-502-5, ISBN 978-979-734-502-0. ISBN 979-734-502-5. (indonez.)
↑ ^77,0 ^77,1 ^77,2 ^77,3 信州大学. 工学部: 信州大学工学部紀要. 信州大学工学部, 1981. [dostęp 22 marca 2009]. (jap.)
↑ ^78,0 ^78,1 ^78,2 ^78,3 Yong-un Kim: Tongyang ŭi kwahak kwa sasang: Hanʼguk kwahak ŭi kanŭngsŏng ŭl chʻajasŏ. Ilchisa, 1984. [dostęp 23 marca 2009]. (kor.)
↑ ^79,0 ^79,1 ^79,2 ^79,3 Litovskiĭ fizicheskiĭ sbornik. Gos. izd-vo polit. oraz nauch. lit-ry, 1984. [dostęp 23 marca 2009]. (lit.)
↑ ^80,0 ^80,1 ^80,2 ^80,3 Johann Mutschmann, Fritz Stimmelmayr, Werner Knaus: Taschenbuch der Wasserversorgung. Vieweg+Teubner Verlag, 2007, s. 873. ISBN 3-8348-0012-0, ISBN 978-3-8348-0012-1. [dostęp 22 marca 2009]. (niem.)
↑ ^81,0 ^81,1 Hans Geiger, Karl Scheel: Handbuch der Physik. Julius Springer, 1928. [dostęp 22 marca 2009]. (niem.)
↑ ^82,0 ^82,1 ^82,2 Memórias da Academia das ciências de Lisboa, classe de ciências. Lisbona: 1967. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
↑ ^83,0 ^83,1 ^83,2 ^83,3 Dubbel Manual Da Construcao de Maquinas. Hemus, s. 68. ISBN 85-289-0270-6, ISBN 978-85-289-0270-9. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
↑ ^84,0 ^84,1 Antônio Gonçalves, Moreira Couto: Geometria descritiva e insolação. 1961. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
↑ ^85,0 ^85,1 ^85,2 ^85,3 Тесты и экзаменационные задания по математике за курс средней школы (ЕГЭ): Учебное пособие. Издательский дом "Питер", s. 160. ISBN 5-469-00278-0, ISBN 978-5-469-00278-9. [dostęp 22 marca 2009]. (ros.)
↑ ^86,0 ^86,1 ^86,2 ^86,3 Orta Doğu: Isi transferí. [dostęp 23 marca 2009]. (tur.)
↑ ^87,0 ^87,1 ^87,2 ^87,3 Mykola Platonovych Bahan: Ukraïnsʹka radi͡a͡nsʹka entsyklopedii͡a͡. Akademii͡a nauk Ukr. Radi͡ansʹkoï Sot͡sialistichnoï Respubliky, 1959. [dostęp 22 marca 2009]. (ukr.)
↑ ^88,0 ^88,1 ^88,2 ^88,3 A Magyar Tudományos Akadémia Matematikai és Fizikai Tudományok Ostályának kózleményei. 1974. [dostęp 22 marca 2009]. (węg.)
↑ ^89,0 ^89,1 ^89,2 ^89,3 Pierangelo Andreini: Manuale dell'ingegnere meccanico. Wyd. 2. Hoepli Editore, 2002, s. 16. ISBN 88-203-3380-5, ISBN 978-88-203-3380-5. [dostęp 22 marca 2009]. (wł.)
↑ ^90,0 ^90,1 ^90,2 ^90,3 James Stewart: Calcolo. Funzioni di una variabile. Apogeo Editore, 2001, s. 222. ISBN 88-7303-747-X, ISBN 978-88-7303-747-7. [dostęp 22 marca 2009]. (wł.)

Bibliografia

Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976.
Lidia Filist, Artur Malina, Alicja Solecka: Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wydawnictwo Europa, 1998. ISBN 83-85336-06-0.
Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.
Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy oraz całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. III. Warszawa: PWN, 1954.
Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński oraz S-ka. ISBN 83-7469-189-1.

Sprawdź też

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcje_trygonometryczne&oldid=31213950”

Kategorie:

vseo.pl

Info

Kategorie

Funkcje trygonometryczne

Spis treści

Definicje

Definicja z elementów trójkąta prostokątnego

Definicja za pomocą kąta skierowanego

Definicja na okręgu jednostkowym oraz etymologia nazw

Definicja za pomocą szeregu Taylora

Definicja za pomocą równań funkcyjnych

Definicja za pomocą równań różniczkowych

Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych

Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych

Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji

Własności

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Przebieg zmienności funkcji

Wykresy

Wartości dla typowych kątów

Wzory redukcyjne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Całki funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej

Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej

Części rzeczywiste, urojone, moduły oraz argumenty

Wzór Eulera

Wykresy

Związki z innymi funkcjami

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych

Harmoniki

Funkcje hiperboliczne

Pewne zastosowania

Geometria

Twierdzenia sinusów, cosinusów oraz tangensów

Wzory na pole trójkąta

Iloczyny wektorów

Współrzędne biegunowe, sferyczne oraz walcowe

Geometria sferyczna

Analiza matematyczna

Szereg Fouriera

Funkcja Weierstrassa

Funkcja Dirichleta

Teoria liczb

Zastosowania poza matematyką

Historia

Polskie nazwy

Oznaczenia funkcji trygonometrycznych

Przypisy

Bibliografia

Sprawdź też