Funkcjonał dwuliniowy

Ten artykuł trzeba dopracować zgodnie z zaleceniami edycyjnymi: napisać/poprawić definicję, usunąć nieencyklopedyczne treści, usunąć/zweryfikować prawdopodobną twórczość własną, zweryfikować treść oraz dodać źródła, poprawić styl – powinien posiadać encyklopedyczną formę, styl jest mętnym esejem nie mającym nic wspólnego z matematyką, a tym bardziej podręcznikiem podanym jako źródło. Po wyeliminowaniu niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Ten artykuł od 2012-02 wymaga uzupełnienia źródeł podanych informacji. Informacje nieweryfikowalne potrafią zostać zakwestionowane oraz usunięte. Aby uczynić artykuł weryfikowalnym, trzeba podać przypisy do materiałów opublikowanych w wiarygodnych źródłach.

Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – w algebrze dwuliniowej przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; zróżnicowane utożsamienia wprowadzają zróżnicowane geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową składają się na przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym).

Teoria form dwuliniowych znajduje zastosowanie w wielu działach matematyki: w analizie wielowymiarowej formą dwuliniową jest druga pochodna w przestrzeni euklidesowej − przy odpowiednich założeniach (twierdzenie Clairaut bądź Schwarza) jest ona symetryczna (a jej macierzą w ustalonej bazie jest macierz Hessego); w rachunku wariacyjnym określoność tej formy dwuliniowej mówi o kształcie hiperpowierzchni (ekstremum, siodło) wokół punktu krytycznego danej formy (funkcjonału); w geometrii rzutowej formy dwuliniowe służą ustaleniu dualności oraz dopuszczają zdefiniowanie kolineacji, a przede wszystkim korelacji (konstrukcja dopełnienia ortogonalnego dla niezdegenerowanej formy dwuliniowej stanowi jej uogólnienie), dodanie warunku inwolutywności korelacji dopuszcza na badanie biegunowości; w analizie funkcjonalnej ograniczone oraz eliptyczne (koercywne) formy dwuliniowe na przestrzeni Hilberta występujące w twierdzeniu Laxa-Milgrama mówią o jednoznaczności słabych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), w tym równania Poissona pojawiającego się w m.in. elektrostatyce, czy innych problemach mechaniki ośrodków ciągłych.

Artykuł traktuje o formach, której argumenty należą do jednej przestrzeni; formy określone na dowolnej ich parze opisano w artykule o parze dualnej.

Definicja

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Przekształcenie nazywa się formą dwuliniową albo funkcjonałem dwuliniowym na jeżeli jest:

• liniowe ze względu na pierwszą zmienną, tzn. addytywne oraz jednorodne względem pierwszego argumentu,

  oraz

• liniowe ze względu na drugą ze zmiennych, tzn. addytywne oraz jednorodne względem drugiej współrzędnej,

  oraz

Na formę dwuliniową da się nałożyć dodatkowe warunki:

• refleksywności,

  

• alternacyjności,

  

• symetryczności,

  

• antysymetryczności (lub symplektyczności),

  

Forma dwuliniowa jest refleksywna wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jest symetryczna albo alternująca^[1]. Dodatkowo dwuliniowa forma antysymetryczna to inna nazwa dwuliniowej formy symetrycznej albo alternującej: alternacyjność pociąga antysymetryczność w ciele dowolnej charakterystyki^[2]; z drugiej strony w ciele charakterystyki różnej od 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jest alternująca, a w ciele charakterystyki 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jest symetryczna^[3]. Choć w przypadku ciała liczb rzeczywistych pojęcia alternacyjności oraz antysymetryczności pokrywają się, to w tym kontekście nazwa „antysymetryczna” jest nadal żywa, dodatkowo pojęcia te rozważa się także w modułach nad pierścieniami, gdzie żadne z nich nie musi pociągać pozostałych.

Własności

W ciele charakterystyki różnej od 2 każdą formę dwuliniową da się przedstawić jednoznacznie w postaci sumy formy symetrycznej oraz formy alternującej (antysymetrycznej) ^[4]; w przypadku ciała charakterystyki 2 alternujące formy dwuliniowe są podzbiorem symetrycznych form dwuliniowych^[5] W ciele charakterystyki różnej od 2 symetryczna forma dwuliniowa wyznaczona jest całkowicie przez wartości „na przekątnej”^[6] – własność tę nazywa się polaryzacją (w szczególności Oznacza to, że badanie tego rodzaju form dwuliniowych sprowadza się do badania form kwadratowych.

Z formą dwuliniową da się związać dwa przekształcenia liniowe z przestrzeni w przestrzeń dualną dane wzorami

oraz

oznaczane wielokrotnie odpowiednio oraz gdzie kropka oznacza miejsce przyłożenia argumentu dla powstałej formy liniowej (por. currying w rachunku lambda).

Przekształcenie jest transpozycją (sprzężeniem) na obrazie w drugiej przestrzeni dualnej (i na odwrót). Jeżeli jest skończeniewymiarowa, to istnieje naturalny izomorfizm pomiędzy a jej drugą dualną dzięki czemu da się uważać za transpozycję na W wyniku tego dla danej formy dwuliniowej da się zdefiniować jej transpozycję (sprzężenie) wzorem

Rząd jest równy rzędowi nazywa się go rzędem formy dwuliniowej Jeśli rząd tych przekształceń jest pełny (tzn. równy wymiarowi przestrzeni), to oraz są izomorfizmami liniowymi Wówczas formę dwuliniową nazywa się niezdegenerowaną albo nieosobliwą (w przeciwnym przypadku nazywa się ją zdegenerowaną albo osobliwą); analogicznie nazywa się wtedy samą przestrzeń dwuliniową Gdy jest skończeniewymiarowa, na mocy twierdzenia o rzędzie jest to równoważne trywialności jądra Wówczas jest niezdegenerowana wtedy oraz tylko wtedy, kiedy dla wszystkich zachodzi

bądź (na mocy kontrapozycji) kiedy dla każdego niezerowego wektora istnieje taki wektor dla którego Własność tę przyjmuje się wielokrotnie jako definicję niezdegenerowania w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru^[7].

Dla dowolnego przekształcenia wzór

definiuje formę dwuliniową na przestrzeni Jest ona niezdegenerowana wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jest izomorfizmem.

Formy dwuliniowe oraz określone odpowiednio na oraz nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm który spełniałby

Zapisanie obu form dwuliniowych we współrzędnych oznacza przejście do przestrzeni współrzędnych; powyższa definicja mówi wtedy, że za równoważne uważa się te formy dwuliniowe, dla których istnieje liniowa zamiana zmiennych pomiędzy ich przedstawieniami (w przypadku form symetrycznych wystarczy zadbać o przejście wartości „na przekątnych”; zob. kolejną sekcję).

Przestrzeń liniową z formą dwuliniową tworzy przestrzeń dwuliniową przestrzeń liniowa z symetryczną formą dwuliniową (tzw. „uogólnionym iloczynem skalarnym”) nazywa się przestrzenią ortogonalną, jeśli jest ona dodatkowo niezdegenerowana, to nazywa się ją przestrzenią unitarną; zaś przestrzeń z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą to przestrzeń symplektyczna. Z kolei dwie przestrzenie liniowe związane (zwykle niezdegenerowaną) formą dwuliniową składają się na parę dwoistą.

Macierz formy

W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru powyższe własności da się przetłumaczyć na język macierzy. Ustalenie bazy w oznacza wybranie izomorfizmu odwzorowującego wektor w wektor współrzędnych którego współrzędne da się zapisać w macierzy jednokolumnowej (tzw. wektorze kolumnowym) Dzięki temu w całkowicie analogiczny sposób jak ma to miejsce dla przekształceń liniowych oraz ich macierzy działanie formy dwuliniowej da się zapisać w standardowej notacji macierzowej jako gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny przestrzeni współrzędnych Macierz kwadratową

stopnia nazywa się wtedy macierzą formy dwuliniowej (macierzą funkcjonału dwuliniowego) w bazie (w przypadku przestrzeni unitarnej jest to odpowiednik macierzy Grama iloczynu skalarnego wyrażonego w tej bazie)^[8]. Jest ona macierzą przekształcenia przy czym wybór ten jest arbitralny: macierz jest macierzą przy wyborze działania Przekształceń w przeciwieństwie do ich macierzy, nie da się składać − podejście tłumaczące wynik złożenia macierzy na przekształcenia, a przy tym niewyróżniające żadnego z nich opisano dalej.

W przestrzeni z ustaloną bazą równoważność przedstawień (macierzy) form dwuliniowych wyraża się następująco: jeśli są dwiema bazami to macierze oraz przekształcenia dwuliniowego są przystające, tzn.

gdzie oznacza macierz zamiany współrzędnych od do Ogólniej: macierze oraz są przystające, tzn.

dla pewnej macierzy odwracalnej kiedy są macierzami tej samej formy dwuliniowej.

Wprost z definicji wynika, że forma dwuliniowa jest symetryczna bądź antysymetryczna wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jej macierz jest macierz symetryczna bądź antysymetryczna. Forma dwuliniowa jest alternująca wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jej macierz jest antysymetryczna oraz wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe zeru (co wynika z antysymetryczności dla ciał o charakterystyce różnej od 2).

Jeśli macierz formy dwuliniowej jest nieosobliwa (odwracalna), to samą formę nazywa się niezdegenerowaną albo także nieosobliwą (podobnie powiada się wtedy o samej przestrzeni ); w przeciwnym przypadku formę (lub przestrzeń dwuliniową) nazywa się zdegenerowaną albo osobliwą. Rzędem formy dwuliniowej bądź przestrzeni nazywa się rząd macierzy tej formy (jest on dobrze określony, albowiem nie zależy od wyboru bazy ze względu na fakt, iż macierze przystające posiadają równe rzędy).

Przykłady

• Przestrzeń trywialna (zerowymiarowa) ma jedną formę dwuliniową, która nie ma macierzy (ma macierz pustą, tzn. typu ).
• Jeśli jest przestrzenią współrzędnych z bazą standardową to każda forma dwuliniowa na tej przestrzeni liniowej jest postaci

gdzie

• Jeśli jest ustalonym punktem przestrzeni liniowej form (funkcjonałów) na to wzór

zadaje formę dwuliniową na tej przestrzeni.

• Jeśli jest przestrzenią dwuliniową, zaś jest podprzestrzenią to zawężenie do daje podprzestrzeń dwuliniową oznaczaną też po prostu podprzestrzeń dziedziczy własności refleksywności, alternacyjności, symetryczności oraz antysymetryczności z przestrzeni wyjściowej. Konstrukcję tę da się także przeprowadzić za pomocą przestrzeni ilorazowej.
• Jeżeli oraz są przestrzeniami dwuliniowymi na tym samym ciałem, to suma prosta wraz z formą dwuliniową staje się podprzestrzenią dwuliniową; jeśli obie formy oraz są równocześnie symetryczne, alternujące, antysymetryczne bądź refleksywne, to także ma tę samą własność. Konstrukcję tę nazywa się ortogonalną sumą prostą przestrzeni oraz ^[9]
• Jeśli oznacza przestrzeń liniową funkcji ciągłych to funkcja dana wzorem

definiuje zdegenerowaną formę dwuliniową na tej przestrzeni: nie jest ona surjektywna, albowiem np. forma delta Diraca trzeba do jej przestrzeni sprzężonej (topologicznie), ale nie ma wymaganej postaci; z drugiej strony forma spełnia skończeniewymiarową definicję niezdegenerowania.

• Każdy iloczyn skalarny na przestrzeni unitarnej jest niezdegenerowaną formą dwuliniową, albowiem jego macierz w dowolnej bazie (macierz Grama) jest odwracalna: wyznacznik układu liniowo niezależnego jest różny od zera bądź wynika to wprost z dodatniej określoności iloczynu skalarnego. Z definicji jest on także symetryczny.
• Niech dla przestrzeni dobrane będą nieujemne liczby całkowite spełniające Wzór

gdzie oraz dany jest w notacji macierzowej jako

gdzie oraz zaś oznacza kwadratową podmacierz jednostkową stopnia a oznacza podmacierz zerową, definiuje formę dwuliniową, która czyni z przestrzeni euklidesowej tzw. przestrzeń pseudoeuklidesową Przypadki oraz to modele przestrzeni Minkowskiego^[10]. Z twierdzenia Sylvestera o bezwładności form kwadratowych wynika, że każda niezdegenerowana (rezygnując z nieosobliwości dopuszcza się zera na przekątnej), symetryczna forma dwuliniowa ma w pewnej bazie (przestrzeni liniowej nad ciałem charakterystyki różnej od 2) powyższą postać.

Ortogonalność

Za pomocą formy dwuliniowej da się przeistoczenie pojęcie (uogólnionej) ortogonalności: wektory oraz są ortogonalne, co zapisuje się względem dwuliniowej formy wtedy oraz tylko wtedy, gdy

Dla podprzestrzeni oraz wektora przestrzeni pisze się jeżeli dla wszystkich z przestrzeni analogicznie oraz gdzie jest pewną podprzestrzenią liniową (definicje te rozszerza się wielokrotnie na dowolne podzbiory). Relacja nie musi pociągać, ani być pociągana przez Najważniejszymi formami dwuliniowymi są te, dla których relacja jest symetryczna, tzn.

co ma miejsce wtedy oraz tylko wtedy, kiedy forma ją definiująca jest refleksywna (tzn. symetryczna bądź alternująca^[1]). Wówczas dla dowolnej podprzestrzeni da się zdefiniować zbiór

^[11]

tworzący przestrzeń liniową (gdyż jest to jądro bądź na mocy symetryczności) nazywaną dalej podprzestrzenią ortogonalną^[12]; w literaturze częściej spotyka się nazwę „dopełnienie ortogonalne”, choć w ogólnym przypadku wcale nie musi być dopełnieniem, albowiem może się zdarzyć, iż Wektory należące do tej części wspólnej (tzw. podprzestrzeni izotropowej), tzn. wektory spełniające (prostopadłe do samych siebie), nazywa się izotropowymi; wektory niespełniające tego warunku nazywane są czasem nieizotropowymi bądź anizotropowymi. Zachodzi wzór ^[13] Podprzestrzeń ortogonalna jest trywialna (czyli dana przestrzeń nie ma niezerowych wektorów izotropowych), tzn. przestrzeń jest sumą prostą wtedy oraz tylko wtedy, kiedy forma dwuliniowa jest niezdegenerowana (jedynym anizotropowym wektorem przestrzeni unitarnej jest zero, albowiem dodatnia określoność iloczynu skalarnego pociąga jego niezdegenerowanie, zob. przedostatni przykład). Wówczas dla dowolnych podprzestrzeni przestrzeni jest oraz oraz zachodzi także zaś podprzestrzeń jest niezdegenerowana wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jest niezdegenerowana.

Układ wektorów przestrzeni nazywa się ortogonalnym, jeżeli dla dowolnych zachodzi Dowolny układ ortogonalny wektorów anizotropowych jest liniowo niezależny^[14]. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru wyposażonej w symetryczną formę dwuliniową jej bazę nazywa się ortogonalną, jeżeli tworzy ona układ ortogonalny; niech oznacza bazę ortogonalną przestrzeni Geometrycznie stanowi ona rozkład na ortogonalną sumę prostą prostych Pojęcie bazy ortonormalnej, czyli takiej bazy ortogonalnej, dla której (znanej z przestrzeni euklidesowych) nie znajduje właściwie zastosowań w ogólnej sytuacji, albowiem może ona po prostu nie istnieć^[15]. Każda skończeniewymiarowa przestrzeń ortogonalna nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę ortogonalną (wynika stąd, że każda macierz symetryczna przystaje do macierzy diagonalnej, zob. ostatni przykład; ponadto jest niezdegenerowana wtedy oraz tylko wtedy, kiedy dla każdego ^[16], tzn. wektor anizotropowy nie bywa elementem bazy ortogonalnej przestrzeni). Obserwacja ta, czasem formułowana z wykorzystaniem formy kwadratowej zamiast symetrycznej formy dwuliniowej, nazywana jest nieraz twierdzeniem Lagrange'a.

Jeśli podprzestrzeń ortogonalna przestrzeni nad ciałem charakterystyki różnej od 2 jest trywialna, to przekształcenie dane wzorem gdzie oznacza zbiór wszystkich podzbiorów przestrzeni tworzący przestrzeń rzutową, nazywa się biegunowością ortogonalną na przestrzeni W wyniku tego powstają wszystkie biegunowości ortogonalne, a dwie symetryczne formy dwuliniowe indukują tę samą biegunowość wtedy oraz tylko wtedy, kiedy są równe co do mnożenia przez skalar.

Symplektyczność

Zamieniając warunek symetryczności formy dwuliniowej na alternacyjność da się przeistoczenie analogon baz ortogonalnych w postaci tzw. baz symplektycznych. Niech dana będzie przestrzeń z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą. Wówczas jej wymiar jest dodatnią liczbą parzystą. Bazą symplektyczną przestrzeni nazywa się układ wektorów który spełnia oraz dla której płaszczyzny są ortogonalne. Ponadto z alternacyjności wynika Dowolne dwie przestrzenie z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą są równoważne; w szczególności w przestrzeni ustalonego parzystego wymiaru istnieje tylko jedna niezdegenerowana, alternująca forma dwuliniowa. Formę dwuliniową na która ma w bazie standardowej macierz złożoną z klatek postaci ^[17] na głównej przekątnej oraz podmacierzy zerowych w pozostałych miejscach, nazywa się standardową formą alternującą bądź formą objętości na tej przestrzeni. W bazie Darboux ma ona postać

gdzie jest podmacierzą jednostkową stopnia

Jak wspomniano wyżej, pojęcie podprzestrzeni ortogonalnej da się także zdefiniować dla form alternujących; podprzestrzeń nazywa się

• symplektyczną, jeżeli co ma miejsce wtedy oraz tylko wtedy, kiedy zawężona do jest niezdegenerowana.
• izotropową, jeśli co zachodzi wtedy oraz tylko wtedy, kiedy zawężona do jest tożsamościowo równa zeru (każda podprzedstrzeń jednowymiarowa jest izotropowa).
• koizotropową, kiedy czyli wtedy oraz tylko wtedy, kiedy przeniesiona na przestrzeń ilorazową jest niezdegenerowana, co jest równoważne izotropowości (każda podprzestrzeń kowymiaru 1 jest koizotropowa).
• Lagrange'a, jeżeli tzn. kiedy jest równocześnie izotropowa oraz koizotropowa; w przestrzeniach skończonego wymiaru podprzestrzenie te posiadają wymiar równy połowie wymiaru każdą podprzestrzeń izotropową da się rozszerzyć tak, by była Lagrange'a (zob. grassmannian Lagrange'a).

Wyznacznik dowolnej nieosobliwej macierzy alternującej (antysymetrycznej) nad ciałem jest kwadratem pewnej liczby z ^[18], nazywa się go pfaffianem tej macierzy – jest to zatem uniwersalna konstrukcja pierwiastka odwracalnych macierzy alternujących (z dokładnością do znaku^[19]). Dla dowolnych macierzy kwadratowych oraz parzystego stopnia zachodzi ponadto

gdzie jest macierzą alternującą^[20]. Dodatkowo Jeżeli jest nieodwracalna, to jeśli jest macierzą zamiany współrzędnych do bazy standardowej odwracalnej macierzy (tzn. oraz są takimi macierzami odwracalnymi, że jest standardową formą alternującą na przestrzeni), to

Iloczyny tensorowe

 Osobny artykuł: iloczyn tensorowy.

O formach dwuliniowych na przestrzeni liniowej da się myśleć jak o przekształceniach liniowych danej przestrzeni w przestrzeń dualną, co opisano w sekcji o macierzy formy; konstrukcja iloczynu tensorowego dopuszcza traktowanie form dwuliniowych jako przekształceń liniowych: na mocy własności uniwersalnej iloczynu tensorowego forma dwuliniowa na przestrzeni liniowej nad ciałem pozostaje we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z formą liniową daną wzorem

Z definicji formy liniowe składają się na przestrzeń dualną; w ten sposób przestrzeń form dwuliniowych na jest naturalnie izomorficzna z którą da się z kolei w naturalny sposób utożsamiać z poprzez odwzorowanie Spojrzenie to tłumaczy zatem, złożeniem których przekształceń liniowych jest mnożenie macierzy form dwuliniowych.

Niech oznacza przestrzeń liniową przekształceń liniowych Przekształceniu dwuliniowemu gdzie są dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem odpowiada przekształcenie liniowe przy czym zachodzą następujące izomorfizmy naturalne:

oraz

Pierwszy z nich przekształca w drugi zaś w Jeśli a (ciało taktowane jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa nad sobą), to stają się one dwoma różnymi izomorfizmami na mianowicie oraz

Dwie szczególne klasy form dwuliniowych, formy symetryczne oraz alternujące, da się opisać w języku potęg symetrycznej oraz zewnętrznej. Forma symetryczna postrzegana jako forma liniowa jest symetryczna, jeżeli znikają dla niej wszystkie tensory postaci oraz alternująca, jeśli znikają dla niej tensory postaci W wyniku tego forma dwuliniowa symetryczna bywa traktowana jako forma liniowa odwzorowująca gdzie kropka oznacza iloczyn symetryczny (wewnętrzny) w formy alternujące utożsamia się z kolei z przekształceniami danymi wzorem gdzie oznacza iloczyn alternujący (zewnętrzny). Gdyż formy liniowe składają się na przestrzeń dualną, to symetryczne formy dwuliniowe są elementami zaś alternujące formy dwuliniowe to elementy przy czym da się utożsamić te przestrzenie odpowiednio z drugą potęgą symetryczną oraz drugą potęgą zewnętrzną przestrzeni

Gdyż oraz są dobrze określone jako przestrzenie ilorazowe to poza ciałem charakterystyki 2 da się je utożsamiać z odpowiednimi podprzestrzeniami mianowicie pisząc zamiast oraz w miejsce W wyniku tego na mocy wzoru Zamieniając na otrzymuje się poza ciałem charakterystyki 2, czyli przedstawienie ogólnej formy dwuliniowej w postaci jednoznacznej sumy form dwuliniowych symetrycznej oraz antysymetrycznej (zob. własności)^[4].

Sprawdź też

• forma kwadratowa
• forma półtoraliniowa

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. 

Przypisy