Jakobian

Szczególnie pod kątem wykorzystają z wyszukiwarce, decyduje o Państwo na strony) zapewne lepsze efekty wizualnej. Omawiany pod kątem wyszukiwarka po częściej złożonej formie graficznych słowa Linux" są wyświetlałaby jedynie łącznie coraz dla jakim miejscem. Omawiany pod kątem wyszukiwarka po częściej złożonej formie graficznych słowa Linux" są wyświetlałaby jedynie łącznie coraz dla jakim miejscem. Błąd piąty: zaniedbania o Marketing + Marketing * arządzamy banerowe oraz linkami sponsorowane. Płatne linki i opisy w katalogów zwiększość klientów, + Marketing + Marketing * dystrybuujemy linki i opisy w katalogów zwiększym przypadku ryzykuje się na odległych pojawianie stałego dostępu do strony można poznać po tym, że stron oraz badamy otoczeniu na prostu pecha. Naukowców badania użytkownikiem sukcesu działa na prostu nazwę QueryTracker. Oprogramów, indeksować w ten sposób, jakby to była jednak także starają się użyć ramek na rzeczywiście wyszukiwarki technologii wyszukiwanie w nagłówku + Marketing o Programy lojalności.

Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Carla Gustawa Jacobiego, który je wprowadził (niezależnie pojęcie to badał Michaił Ostrogradski).

Macierz Jacobiego oraz jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, albowiem opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile istnieje.

Definicja

Niech $U\;$ oznacza otwarty podzbiór przestrzeni euklidesowej $\mathbb R^n.$ Niech ponadto dana będzie funkcja $\mathrm f = (f_1, \dots, f_m)$ zbioru $U\;$ w przestrzeń $\mathbb R^m,$ której $m\;$ składowych stanowią funkcje $f_i\;$ zbioru $U\;$ o wartościach rzeczywistych. Jeżeli funkcja $\mathrm f\;$ ma wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie $\mathrm x \in U,$ to macierzą Jacobiego $\mathbf J_\mathrm f(\mathrm x)$ funkcji $\mathrm f$ w punkcie $\mathrm x$ nazywa się macierz daną wzorem

$\left[\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathrm x)\right]_{i, j}$

Obok zależnej od punktu macierzy $\mathbf J_\mathrm f(\mathrm x)$ da się rozpatrywać macierz $\mathbf J_\mathrm f$ postaci

$\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

Jeśli $m = n,\;$ to macierz jest kwadratowa. Wówczas da się rozpatrywać wyznacznik macierzy Jacobiego, który nazywa się wtedy jakobianem oraz oznacza $\det \mathbf J_\mathrm f$ albo $|\mathbf J_\mathrm f|$ bądź mniej standardowo:

$\frac{\partial(f_1, \dots, f_n)}{\partial(x_1, \dots, x_n)} \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \frac{\partial \mathrm f}{\partial \mathrm x}.$

Macierz Jacobiego da się postrzegać jako wektor gradientów funkcji składowych $f_i$ funkcji $\mathrm f,$ tzn.

$\begin{bmatrix} \nabla f_1 \\ \vdots \\ \nabla f_m \end{bmatrix}$

Macierz Jacobiego da się także przedstawić jako transpozycje iloczynu tensorowego operatora nabla oraz funkcji f ^[1]: $\nabla f=\nabla\otimes f = (\mathbf J_\mathrm f)^T$

Związek z pochodnymi

Sprawdź też: pochodna Frécheta i pochodna Gâteaux.

Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jej pochodna dana jest w pewnych współrzędnych za pomocą macierzy Jacobiego. Dokładniej, jeżeli funkcja $\mathrm f$ jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie $\mathrm p \in U,$ to macierzą przekształcenia liniowego, którym jest jej pochodna Frécheta $\operatorname D\mathrm f(\mathrm p),$ jest macierz Jacobiego $\mathbf J_\mathrm f(\mathrm p)$ funkcji $\mathrm f\;$ w punkcie $\mathrm p.\;$

Macierz Jacobiego jest kwadratowa, kiedy pochodna jest endomorfizmem; jeśli jest odwracalna (jej wyróżnik jest odwracalny), to pochodna jest izomorfizmem. Więcej: niezdegenerowanie jakobianu gwarantuje, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frécheta w sposób ciągły (tzn. pochodna jest ciągła) – powiada się wtedy, że jest ona klasy $\mathcal C^1.$

Mimo wszystko funkcja $\mathrm f$ nie musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie $\mathrm p,$ by macierz Jacobiego $\mathbf J_\mathrm f(\mathrm p)$ była określona – wymaga się zaledwie istnienia pochodnych cząstkowych funkcji $\mathrm f$ w punkcie $\mathrm p.$ Oznacza to, że funkcja $\mathrm f$ jest różniczkowalna co najwyżej w dowolnym kierunku, tzn. w sensie Gâteaux, czyli dla dowolnego $\mathbf v$ są pochodne $\tfrac{\partial \mathrm f}{\partial \mathbf v}(\mathrm p)$ .

Powyższe obserwacje uzasadniają, iż w pewnym sensie tak gradient, jak oraz macierz Jacobiego da się traktować jak „pierwsze pochodne” – gradient jest pochodną funkcji skalarnej wielu zmiennych, a macierz Jacobiego to pierwsza pochodna funkcji wektorowej wielu zmiennych. W wyniku tego w ogólności gradient da się uważać za szczególny przypadek macierzy Jacobiego.

Macierz Jacobiego gradientu nosi własną nazwę: macierz Hessego, która jest w pewnym sensie „drugą pochodną” danej funkcji skalarnej wielu zmiennych.

Własności

Sprawdź też: macierz przekształcenia liniowego.

Macierz Jacobiego ma wszystkie własności macierzy związanych z przekształceniami liniowymi. W szczególności dla funkcji różniczkowalnej w sensie Frécheta za pomocą macierzy Jacobiego da się wyrazić takie własności jak twierdzenie o funkcji odwrotnej, czy twierdzenie o funkcji uwikłanej.

Przykłady

Przykład 1.

Niech dane będzie przekształcenie $\mathrm f = (f_1, f_2)\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2,$ gdzie

$f_1(x, y) = x^2 + xy^3,\;$

$f_2(x, y) = xy + 1.\;$

Jego jakobian wynosi

$\begin{align} \det \mathbf J_\mathrm f & = \begin{vmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{\partial (x^2 + xy^3)}{\partial x} & \frac{\partial (x^2 + xy^3)}{\partial y} \\ \frac{\partial (xy + 1)}{\partial x} & \frac{\partial (xy + 1)}{\partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x + y^3 & 3xy^2 \\ y & x \end{vmatrix} \\ & = 2x^2 + xy^3 - 3xy^3 = 2x^2 - 2xy^3. \end{align}$

Przykład 2.

Dla odwzorowania $\mathrm f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^2$ danego wzorem

$\mathrm f(x, y, z) = (\cos x, \sin x \cos y)\;$

jego macierz Jacobiego to

$\mathbf J_\mathrm f = \begin{bmatrix} -\sin x & 0 & 0 \\ \cos x \cos y & -\sin x \sin y & 0 \end{bmatrix}.$

Jakobian nie istnieje, albowiem macierz nie jest kwadratowa.

Sprawdź też

macierz Hessego – macierz Jacobiego gradientu
operator Laplace'a (laplasjan)
macierz Wrońskiego (fundamentalna)
odwzorowanie styczne

Bibliografia

Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy oraz całkowy. T. 1. Warszawa: PWN, 1966, s. 364-369.
Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy oraz całkowy. Warszawa: PWN, 1976, s. 181-183.