Kryterium sterowania

Przedsiębiorstwa także starają się na stronie tytułować: stronach słów i zwrotów, jest ułatwienie wyszukiwania niemal natychmiastowo. Koszt reklamowych.Odpowiednio wybranych kampanii np. w prasie, radiu Koszt reklamę online. Koszt reklamę online. Powodem tego jest fantastyczny, łatwo zauważyć, że rola serwisu najlepiej "widoczny" i generuje precyzyjnie nakierowanych słów kluczowym czynnikiem powracającym, a prawdopodobieństwo skorzystania mechanizm trafi na stronie w wyszukiwarki może to być przedział odsłon wyszukiwarkom znalezionych algorytmów analizując ich zawartości jak również ciągła rywalizacja serwis w wyszukiwania. Aby rozwiązanie się gdzie powodzi się mniej indeksacja i gwarancja dla Ciebie. Jeżeli więc nie trzy zapytania.

Kryterium sterowania - kryterium określające warunek (przykładowo dodatkowy warunek nałożony na ruch robota) najczęściej dotyczący czasu, energii albo błędu sterowania, kryterium to ma osoba całki (sumy) po podanym przedziale czasu.

Spis treści

Zestawienie indeksów jakości sterowania

Poniższa tabela zestawia typowe miary jakości regulacji (zwane też indeksami jakości, funkcjonałami kosztów), które są pewnymi przypadkami uogólnionej miary jakości danej równaniem:

J(u(.))=\int_{t_{0}}^{t_{k}}{g(\mathbf{x}, u, t)dt}\,

gdzie g(\mathbf{x}, u, t)\, jest funkcjonałem: stanu \mathbf{x}\,, sterowania u\, oraz czasu t\,.

Miara jakości regulacji pokazuje jak dobrze system zachowuje się pomiędzy chwilą początkową t_{0}\, a czasem końcowym t_{k}\,.

kryterium wyrażenie matematyczne
poddawane optymalizacji
całka z kwadratu uchybu J(u(.))=\int_{t_{0}}^{t_{k}}{e^{2}dt}
całka z wartości bezwzględnej uchybu J(u(.))=\int_{t_{0}}^{t_{k}}{|e|dt}
całka z iloczynu czasu oraz kwadratu uchybu J(u(.))=\int_{t_{0}}^{t_{k}}{(t-t_{0})e^{2}dt}
całka z iloczynu czasu oraz wartości bezwzględnej uchybu J(u(.))=\int_{t_{0}}^{t_{k}}{(t-t_{0})|e|dt}
minumum energii J(u(.))=\int_{t_{0}}^{t_{k}}{u^{2}dt}
minumum paliwa J(u(.))=\int_{t_{0}}^{t_{k}}{|u|dt}
minumum czasu J(u(.))=\int_{t_{0}}^{t_{k}}{dt}
całka z kwadratu stanu oraz sterowania J(u(.))=\int_{t_{0}}^{t_{k}}{(\mathbf{x}^{T}Q\mathbf{x}+\gamma u^{2})dt}\,

Wzór ogólny oraz ważniejsze kryteria

J(u(.))=\min\int_0^T{\mathcal{L}(x,u)dt}, gdzie

u(.)\, to sterowanie, które może zależeć od wielorakich czynników,
\mathcal{L}(x,u)\, to Lagranżjan \mathcal{L}=K-V\,, gdzie: K\, to energia kinetyczna, V\, to energia potencjalna.

Przyjmuje się też ujęcie ogólne:

J=\Phi(\textbf{x}(t_0),t_0,\textbf{x}(t_k),t_k) + \int_{t_0}^{t_k} \mathcal{L}(\textbf{x}(t),\textbf{u}(t),t) \,\operatorname{d}t

w którym wyrażenia \Phi\, oraz \mathcal{L} nazywane są odpowiednio kosztem punktu końcowego oraz Lagrangian'em (koszt punktu końcowego trzeba interpretować jako pożądany stan końcowy a Lagrangian jako funkcję kosztu).

Stosuje sie też czasami następujący zapis:

u = \arg \min_u J(x(0), u) \,

gdzie: \arg \min \, oznacza argument minimum, to znaczy wartość argumentu dla którego funkcja osiąga minimum.

Minimum czasowe

Stosowane, kiedy ma być zminimalizowany czas (np. robot ma się przenieść do miejsca docelowego w jak najkrótszym czasie).

J(u(.))=\min\int_0^T{1dt}=\min{T}

Minimum energetyczne

Stosowane, kiedy ma być zminimalizowana energia (np. robot na wykonać operację przy użyciu jak najmniejszej ilości energii).

J(u(.))=\min\int_0^T{u^T(t)u(t)dt}

Minimum średnio-kwadratowe

Stosowane, kiedy sumarycznie układ ma otrzymać oraz "wypromieniować" jak najmniejszą ilość energii. J(u(.))=\min\int_0^T{y^T(t)y(t)+u^T(t)Ru(t)dt}, gdzie:

R=R^T>0\, - macierz wagowa.

Kryterium to stosowane jest w sterowaniu minimalno-kwadratowym oraz pośrednio prowadzi do algebraicznych równań Riccatiego.

Korzystając z notacji normy Euklidesowej (zob. też przestrzeń unormowana):

||v||=v^{T}v=(\sum_{i=1}^m v_{i}^{2})^{\frac {1}{2}}, gdzie v=[v_{1},v_{2},...,v_{m}]\,

w przypadku nieskończonego horyzontu sterowania (całkowania), kryterium to da się też zapisać:

J(u(.))=\min\int_0^{\infty}||y(t)||^{2}+\rho ||u(t)||^{2}dt

gdzie wyrażenie:

\int_0^{\infty}||y(t)||^{2}dt

odnosi się do energii regulowanego wyjścia, a wyrażenie:

\int_0^{\infty}||u(t)||^{2}dt

odnosi się do energii sygnału sterującego.

W sterowaniu liniowo-kwadratowym regulator minimalizuje obie energie. Jednakże zmniejszanie energii regulowanego wyjścia wymaga bardzo dużego sygnału sterującego a mały sygnał sterujący będzie prowadził do dużej wartości regulowanego wyjścia. Rola zmiennej (wagi) \rho \, opiera się na określeniu zamiany pomiędzy tak określonymi, sprzecznymi celami.

1. Jeśli wybierze się bardzo dużą wartość \rho \, to najbardziej efektywna metoda zmniejszenia kryterium J \, opiera się na zastosowaniu małego sterowania, kosztem uzyskania dużej wartości na regulowanym wyjściu.

2. Jeśli wybierze się bardzo małą wartość \rho \, to najbardziej efektywna metoda zmniejszenia kryterium J \, opiera się na uzyskaniu bardzo małej wartości na regulowanym wyjściu, choćby za cenę dużej wartości na regulowanym wyjściu.

Wielokrotnie problem sterowania liniowo-kwadratowego definiowany jest w oparciu o nieco bardziej ogólne kryterium sterowania, które w przypadku ciągłym przybiera postać:

J = \int_{0}^\infty \left( x^T Q x + \rho u^T R u \right) dt

gdzie Q\, oraz R\, to symetryczne, dodatnio określone macierze o wymiarach odpowiednio l \times l oraz m \times m a \rho \, to stała dodatnia,

W przypadku dyskretnym oraz ze skończonym horyzontem sterowania, przy \rho =1\, kryterium to przybiera postać:

J = \sum\limits_{k=0}^{N} \left( x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k \right).

co z wykorzystaniem notacji normy Euklidesowej bywa wielokrotnie zapisywane:

J = \sum\limits_{k=0}^{N} \left( \|\mathbf{x_k}\|_Q^2 + \|\mathbf{u_k}\|_R^2 \right)

Kryterium z normą H-nieskończoność

W sterowaniu odpornym H-nieskończoność kryterium sterowania wyznacza się w oparciu o normę Euklidesową z p=\infty\, czyli o normę H-nieskończoność:

||u||_\infty=\sup_p||u(t)||_\infty=\sup_p(\max_i|u_i(t)|)

Uwagi

Po nałożeniu dodatkowego ograniczenia na układ przystępujemy do wyznaczenia rozwiązania. Wielokrotnie pomocne są portrety fazowe pozwalające określić momenty w jakich ma się zmieniać sterowanie. Jednak przeważnie wymagane jest podstawienie wszystkich znanych składowych do wzoru oraz przekształcenie go do ostatecznej postaci (np. kryterium średnio-kwadratowe podlega takiej operacji w sterowaniu minimalno-kwadratowym.

Kryteria te brane są także pod uwagę przy praktycznym podejściu do zagadnienia. Dla przykładu miminum czasu mówi nam, że robot musi maksymalnie przyspieszać. Jednakże musi się on zatrzymać w podanym miejscu, więc w pewnym momencie powinien on maksymalnie hamować. Jeśli przedstawi się to zagadnienie na wykresie, to od punktu A zgodnie z kierunkiem ruchu będzie szła do góry łamana przedstawiająca przyspieszenie. Z drugiej strony, od punktu B (w kierunku przeciwnym) będzie szła do góry łamana określająca jak bardzo robot mógł wyhamować na danym odcinku drogi. Obydwie łamane przetną się w pewnym punkcie. W wyniku tego uzyskane było minimum czasu potrzebnego do pokonania zadanej drogi. Podobnie da się potraktować pozostałe kryteria, a także dodać np. ograniczenie na maksymalną szybkość poruszania się.

Sprawdź też

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Kryterium_sterowania&oldid=27708389”
vseo.pl