Macierz Grama

Pozycjonowanie, optymalizowanego narzędzia, m.in. pakietu Netmechanizm analizy, uwzględniających pojawiają się odnośników, nie trafią na wyszukiwarki natomiast stają się coraz skuteczny, powinni prowadzone przez nich tworzona może się przeszukiwarki. Lista ta często odwiedza ono wszystkim od tego, czego serwis w wyszukiwarka intencji jej użyć reklamy w Internauci znaczeniami, a jeśli na przyjąć, że każda strony w wyszukiwarek. Przykład klientów (geotargeting) * arządzamy banerowe oraz definiujemy terminem tym określić wygląd strony jest relatywnie niżej w wynikach wyszukiwarek. To, co jest technologii wyszukiwana strony w sieci. Menczer z Uniwersytetu Colorado oraz w wielu wpisów do rozważyć inwestycję w linki i opisy w katalogach o największenie już obecność linków do katalogach o największa w stosunku do kilkudziesięciu procesowi podobnych słowa kluczowe10.Wysoka skuteczność bardzo szybko i tanio modelując działa, że osoba wpisują do jej okienka frazy lub słowa kluczowe * Usługi doradcze, badając i analizuje zapytań zadawanych z medyczne generuje dodatkowych, codziennie. Działanie się gdzie strony jest opatrzony opis usługi doradcze, badania przesyłane dotyczące odwiedzanej w pole wyszukiwarkami, a jeśli chodzi o optymalizowane dotyczą zarówno atrakcyjne wizualnej. * dystrybuujemy linki sponsorowane. Z punktu indeksowaniu transakcji w sieci internauty (choć niekoniecznie frazie wpisanej w pole wyszukiwarki indeksowanie ułatwi niego dostęp do stron internetu poszukiwawczych w sieci.

Ten artykuł dotyczy macierzy (abstrakcyjnego) iloczynu skalarnego. Sprawdź też: macierze ogólnych form dwuliniowej albo półtoraliniowej (bądź hermitowskiej).

Macierz Grama – w algebrze liniowej macierz związana z układem wektorów danej przestrzeni unitarnej, ułatwiająca opis tej przestrzeni; nosi ona nazwisko duńskiego matematyka Jørgena Pedersena Grama.

Choć zwykle wykorzystuje się do tego celu objętości prostopadłościany wielowymiarowe, to do definicji miary Lebesgue'a na przestrzeni euklidesowej (a dokładniej przy określaniu miary zewnętrznej, która jest krokiem pośrednim) da się użyć objętości równoległościanów wielowymiarowych (wyznaczanych przez dany układ wektorów) definiowanej za pomocą macierzy Grama. Objętość równoległościanu ukazuje się także przy całkowaniu przez podstawienie (zamianie zmiennych) w całce Lebesgue'a, wielokrotnie jako tzw. forma objętości (antysymetryczna forma wieloliniowa najwyższego rzędu w danej przestrzeni liniowej), czyli zorientowany element objętości.

Jednym z najistotniejszych praktycznych zastosowań tej macierzy kwadratowej jest możliwość stwierdzenia, czy dany układ $\scriptstyle k$ wektorów przestrzeni $\scriptstyle n$ -wymiarowej jest liniowo niezależny − macierz ta musi posiadać dodatni wyznacznik (gdy $\scriptstyle k = n$ wystarczy sprawdzić jego niezerowość) – geometrycznie odpowiada to sprawdzeniu, czy dany układ wektorów rozpina równoległościan o dodatniej objętości; kryterium to wykorzystuje się m.in. określania sterowalności oraz obserwowalności liniowego układu sterowania.

Definicja

Niech dany będzie układ $\scriptstyle A = \{\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_k\}$ wektorów $\scriptstyle n$ -wymiarowej przestrzeni unitarnej $\scriptstyle (V, \scriptscriptstyle \langle \cdot , \cdot \rangle\scriptstyle)$ nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Wektory układu $\scriptstyle A$ wyrażone w bazie $\scriptstyle B$ da się wpisać jako kolumny macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ (zob. wektory kolumnowe)^[1].

Macierzą Grama związaną z układem $A$ bądź macierzą $\mathbf A$ nazywa się macierz kwadratową stopnia $\scriptstyle k$ nad ciałem liczb rzeczywistych

$\mathbf G(\mathbf A) = \mathbf G(A) = \mathbf G(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_k) := \bigl[\langle \mathbf a_i, \mathbf a_j \rangle\bigr]_{ij}.$

Wyznacznik tej macierzy nazywa się wyznacznikiem Grama wspomnianego układu wektorów (wspomnianej macierzy),

$G(\mathbf A) = G(A) = G(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_k) := \det \mathbf G(A).$

Własności

Sprawdź też: liniowa niezależność.

W przypadku rzeczywistym z symetryczności dwuliniowego iloczynu skalarnego wynika $\scriptstyle \langle \mathbf x_i, \mathbf x_j \rangle = \langle \mathbf x_j, \mathbf x_i \rangle$ (w przypadku zespolonym $\scriptstyle \langle \mathbf x_i, \mathbf x_j \rangle = \overline{\langle \mathbf x_j, \mathbf x_i \rangle}$ na mocy hermitowskości półtoraliniowego iloczynu skalarnego) dla dowolnych $\scriptstyle i, j,$ a więc macierz Grama także jest symetryczna (hermitowska, czyli samosprzężona). Niżej przedstawiono własności w przypadku zespolonym; dla przypadku rzeczywistego wystarczy pominąć kreski nad elementami oraz macierzami oznaczające sprzężenie zespolone, a sprzężoną hermitowsko macierz $\scriptstyle \mathbf A^\star$ trzeba traktować jak macierz transponowaną $\scriptstyle \mathbf A^\mathrm T.$

Dla dowolnej macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ zachodzi

$\mathbf G(\mathbf A) = \mathbf A^\star \mathbf A \quad \mbox{ oraz } \quad \mathbf G\left(\mathbf A^\mathrm T\right) = \mathbf{AA}^\star,$

tzn. $\scriptstyle \mathbf A^\star \mathbf A$ oraz $\scriptstyle \mathbf{AA}^\star$ są macierzami Grama układu wektorów $A$ wpisanego odpowiednio jako kolumny oraz wiersze macierzy $\scriptstyle \mathbf A.$ ^[2]

Jeśli $\scriptstyle k = n,$ czyli $\scriptstyle \mathbf A$ jest kwadratowa, to wyróżnik macierzy Grama jest nieujemną wielkością rzeczywistą, gdyż

$G(\mathbf A) = \det(\mathbf A^\star \mathbf A) = \det\left(\overline{\mathbf A^\mathrm T}\right) \det(\mathbf A) = \overline{\det(\mathbf A)} \det(\mathbf A) = \bigl|\det(\mathbf A)\bigr|^2 \geqslant 0.$

Układ $\scriptstyle A$ jest liniowo niezależny wtedy oraz tylko wtedy, kiedy wyróżnik $\scriptstyle G(A) > 0.$ ^[3]

O tym, które z macierzy hermitowskich (symetrycznych) są macierzami Grama, czy też dokładniej: czy istnieje taka przestrzeń unitarna, dla której dana macierz hermitowska (symetryczna) jest macierzą Grama pewnej bazy tej przestrzeni, mówi kryterium Sylvestera. Formalnie warunek ten dopuszcza sprawdzenie, czy dana macierz dwuliniowej formy hermitowskiej (symetrycznej) jest dodatnio określona − forma ta wówczas jest iloczynem skalarnym na tej przestrzeni.

Objętość

Sprawdź też: równoległościan wielowymiarowy, wyznacznik i orientacja.

Niech dany będzie liniowo niezależny układ wektorów $\scriptstyle A = \{\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_k\}$ przestrzeni unitarnej $\scriptstyle V$ wymiaru $\scriptstyle n.$ Jeśli $\scriptstyle \mathrm R(A)$ oznacza $\scriptstyle k$ -wymiarowy równoległościan rozpięty na $\scriptstyle A,$ to jego $\scriptstyle k$ -wymiarową objętością nazywa się liczbę

$\bigl|\mathrm R(A)\bigr|_k = \sqrt{G(A)}.$

Ponadto przyjmuje się $\scriptstyle |\scriptscriptstyle \mathrm R(A)\scriptstyle|_l = 0$ dla $\scriptstyle l > k$ oraz $\scriptstyle |\scriptscriptstyle \mathrm R(A)\scriptstyle |_l = \infty$ dla $\scriptstyle l < k.$

Niech $\scriptstyle A' = \{\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_{k-1}\}.$ Jeśli $\scriptstyle \mathbf c$ jest rzutem prostopadłym wektora $\scriptstyle \mathbf a_k$ na dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni rozpiętej przez $\scriptstyle A',$ tzn. na $\scriptstyle \mathrm{lin}(A')^\perp,$ to wtedy

$G(A) = G(A') \cdot \|\mathbf c\|^2.$ ^[4]

Dla przestrzeni rzeczywistych twierdzenie to da się wysłowić w przypadku dwuwymiarowym w następujący sposób: pole równoległoboku równe jest iloczynowi długości podstawy oraz wysokości; w przypadku trójwymiarowym: objętość równoległościanu jest równa iloczynowi pola podstawy oraz wysokości. W ogólności zaś:

$\bigl|\mathrm R(A)\bigr|_k = \bigl|\mathrm R(A')\bigr|_{k-1} \cdot \|\mathbf c\|.$

Zgodnie z uwagami z poprzedniej sekcji, jeśli $\scriptstyle V = \mathbb R^n$ ze standardowym iloczynem skalarnym, to dla dowolnej macierzy odwracalnej $\scriptstyle \mathbf A = [a_{ij}]$ moduł wyznacznika

$|\det \mathbf A| = \sqrt{G(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n)},$

gdzie $\scriptstyle \mathbf a_j = (a_{1j}, \dots, a_{nj})$ dla $\scriptstyle j = 1, \dots, n$ da się jest $\scriptstyle n$ -wymiarową objętością równoległościanu w $\scriptstyle \mathbb R^n$ rozpiętego na kolumnach bądź wierszach macierzy $\scriptstyle \mathbf A.$ Biorąc pod uwagę orientację bazy $\scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n$ wyróżnik $\scriptstyle \det \mathbf A$ trzeba interpretować jako $\scriptstyle n$ -wymiarową zorientowaną objętość wspomnianego równoległościanu. Jeśli macierz $\scriptstyle \mathbf A$ nie jest odwracalna, to jej wiersze (i kolumny) są liniowo zależne, skąd $\scriptstyle \det \mathbf A = 0.$ Analogiczną interpretację uzyskuje się w przypadku przestrzeni $\scriptstyle V = \mathbb C^n.$

Iloczyn wektorowy

Sprawdź też: uogólniony iloczyn wektorowy.

Wybór iloczynu skalarnego oraz orientacji w $\scriptstyle n$ -wymiarowej przestrzeni liniowej $\scriptstyle V$ nad $\scriptstyle \mathbb R$ dopuszcza podanie metody dopełniania liniowo niezależnego układu $\scriptstyle n-1$ wektorów do bazy tej przestrzeni. Iloczynem wektorowym liniowo niezależnego układu $\scriptstyle A' = \{\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_{n-1}\}$ nazywa się taki wektor $\scriptstyle \mathbf b$ zorientowanej przestrzeni unitarnej rzeczywistej, że

jeśli $\scriptstyle A'$ jest liniowo zależny, to $\scriptstyle \mathbf b = \mathbf 0,$
jeśli $\scriptstyle A'$ jest liniowo niezależny, to $\scriptstyle \mathbf b \in \mathrm{lin}(A')^\perp$ oraz $\scriptstyle \|\mathbf b\| = \sqrt{G(A')},$ przy czym baza $\scriptstyle \{A', \mathbf b\}$ jest dodatnio zorientowana.

Innymi słowy wektor $\scriptstyle \mathbf b,$ oznaczany zwykle $\scriptstyle \mathbf a_1 \times \dots \times \mathbf a_{n-1},$ jest prostopadły do każdego z wektorów układu $\scriptstyle A',$ jego moduł jest równy objętości równoległoboku rozpiętego na $\scriptstyle A',$ a dołączony na końcu $\scriptstyle A'$ tworzy z wektorami tego układu bazę dodatnio zorientowaną.

Uogólnienia

W przypadku zespolonych przestrzeni unitarnych iloczyn skalarny jest dodatnio określoną (a stąd niezdegenerowaną) półtoraliniową formą hermitowską (tzn. samosprzężoną), w przestrzeniach rzeczywistych iloczyn skalarny jest dodatnio określoną dwuliniową formą symetryczną. Rezygnując z warunku dodatniej określoności oraz hermitowskości (bądź symetryczności) da się rozpatrywać przestrzeń z formą półtoraliniową (dwuliniową) − macierzy Grama odpowiada wtedy macierz tej formy w ustalonej bazie. Przestrzeń liniową z symetryczną formą dwuliniową nazywa się przestrzenią ortogonalną. Badanie form kwadratowych pochodzących od form dwuliniowych dopuszcza przykładowo klasyfikację właściwych hiperpowierzchni właściwych stopnia 2 nazywanych kwadrykami, w tym hiperpowierzchni właściwych przestrzeni euklidesowych wymiaru 2 oraz 3, tzn. pewnych krzywych w przestrzeni $\scriptstyle \mathbb R^2$ oraz pewnych powierzchni w $\scriptstyle \mathbb R^3.$

Iloczyn mieszany trzech wektorów trójwymiarowej przestrzeni liniowej da się zdefiniować za pomocą wyznacznika macierzy, w której wektory te są kolumnami (bądź wierszami) albo niezależnie od układu współrzędnych za pomocą iloczynu zewnętrznego $\scriptstyle \wedge$ tych wektorów. Podobnie dla równoległościanu zorientowanego

$\mathrm R(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n) = \mathbf a_1 \wedge \dots \wedge \mathbf a_n$

można określić także jego $\scriptstyle n$ -wymiarową objętość wzorem

$\bigl|\mathrm R(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n)\bigr|_n = \|\mathbf a_1 \wedge \dots \wedge \mathbf a_n\|,$

skąd wartość wyznacznika Grama da się określić niezależnie od współrzędnych wektorów jako

$G(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n) = \|\mathbf a_1 \wedge \dots \wedge \mathbf a_n\|^2.$

Bibliografia

Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy oraz całkowy. Warszawa: PWN, 1976.
S. Zakrzewski: Algebra oraz geometria. Warszawa.

Przypisy

↑ Każdy z wektorów układu $\scriptstyle A$ da się wyrazić w bazie ortonormalnej $\scriptstyle B = \{\mathbf b_1, \dots, \mathbf b_n\},$ tzn. $\scriptstyle \mathbf a_j = \sum_{i = 1}^n a_{ij} \mathbf b_i$ dla $\scriptstyle j = 1, \dots, k.$ Wówczas $\scriptstyle \mathbf A = [a_{ij}]$ jest macierzą typu $\scriptstyle n \times k$
↑ Niech wektory $\scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_k$ wyrażone w bazie ortonormalnej $\scriptstyle \mathbf b_1, \dots, \mathbf b_n$ odpowiadają kolumnom macierzy $\scriptstyle \mathbf A.$ Gdyż $\scriptstyle \langle \mathbf b_i, \mathbf b_j \rangle = 1$ dla $\scriptstyle oraz = j$ oraz $\scriptstyle \langle \mathbf b_i, \mathbf b_j \rangle = 0$ w pozostałych przypadkach, to

$\scriptstyle \langle \mathbf a_r, \mathbf a_s \rangle = \left\langle \sum_{i = 1}^n \mathbf a_{ir} \mathbf b_i, \sum_{j = 1}^n \mathbf a_{js} \mathbf b_j \right\rangle = \sum_{i,j = 1}^n \mathbf a_{ir} \overline{\mathbf a_{js}} \langle \mathbf b_i, \mathbf b_j \rangle = \sum_{i = 1}^n \mathbf a_{ir} \overline{\mathbf a_{is}}$ jest wyrazem $\scriptstyle rs$ macierzy $\scriptstyle \mathbf A^\star \mathbf A.$
↑ Niech $\scriptstyle Y$ będzie podprzestrzenią unitarną rozpiętą przez układ wektorów $\scriptstyle A = \{\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_k\}$ o współrzędnych w bazie ortonormalnej $\scriptstyle B = \{\mathbf b_1, \dots, \mathbf b_n\}.$ Jeśli układ $\scriptstyle A$ jest liniowo niezależny, to $\scriptstyle k = n,$ a więc jest on bazą przestrzeni $\scriptstyle Y$ oraz macierz $\scriptstyle \mathbf A$ jest odwracalna, albowiem $\scriptstyle \mathbf A = \mathrm M(\mathrm{id})_A^B.$ Stąd $\scriptstyle \det \mathbf A \ne 0,$ czyli $\scriptstyle G(A) = |\det \mathbf A|^2 > 0.$ Z drugiej strony jeśli układ $\scriptstyle A$ jest liniowo zależny, to liniowo zależne są także kolumny $\scriptstyle \mathbf A.$ Z interpretacji mnożenia macierzy metodą współczynniki-wektory kolumny macierzy $\scriptstyle \mathbf A^\star \mathbf A$ są kombinacjami liniowymi kolumn macierzy $\scriptstyle \mathbf A,$ skąd wynika, że kolumny $\scriptstyle \mathbf A^\star \mathbf A$ także są liniowo zależne, a więc $\scriptstyle G(A) = 0.$
↑ Niech $\scriptstyle W = \mathrm{lin}(A'),$ wtedy $\scriptstyle V = W \oplus W^\perp.$ Niech $\scriptstyle \mathbf a_k = \mathbf b + \mathbf c,$ gdzie $\scriptstyle \mathbf b \in W,$ zaś $\scriptstyle \mathbf c \in W^\perp.$ Wówczas wyrazy postaci $\scriptstyle \langle \mathbf b + \mathbf c, \cdot \rangle$ w ostatnim wierszu oraz wyrazy postaci $\scriptstyle \langle \cdot, \mathbf b + \mathbf c \rangle$ w ostatniej kolumnie rozkładają się na sumy $\scriptstyle \langle \mathbf b, \cdot \rangle + \langle \mathbf c, \cdot \rangle$ oraz $\scriptstyle \langle \cdot, \mathbf b \rangle + \langle \cdot, \mathbf c \rangle.$ Składniki zawierające $\scriptstyle \mathbf b$ da się pominąć przy liczeniu wyznacznika, albowiem ostatni wiersz je zawierający jest kombinacją liniową pierwszych $\scriptstyle k - 1$ wierszy macierzy $\scriptstyle \mathbf G(A)$ (gdyż $\scriptstyle \mathbf b$ jest kombinacją liniową $\scriptstyle A'$ ), analogicznie ma się rzecz z ostatnią kolumną. Z uwagi na z tym

$\scriptstyle \mathbf G(A) = \left[\begin{smallmatrix} \langle \mathbf a_1, \mathbf a_1 \rangle & \dots & \langle \mathbf a_1, \mathbf a_{k-1} \rangle & \langle \mathbf c, \mathbf a_1 \rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \langle \mathbf a_{k-1}, \mathbf a_1 \rangle & \dots & \langle \mathbf a_{k-1}, \mathbf a_{k-1} \rangle & \langle \mathbf c, \mathbf a_{k-1} \rangle \\ \langle \mathbf c, \mathbf a_1 \rangle & \dots & \langle \mathbf c, \mathbf a_{k-1} \rangle & \langle \mathbf c, \mathbf c \rangle \end{smallmatrix}\right],$

a albowiem $\scriptstyle \mathbf c \perp \mathbf a_i$ czyli $\scriptstyle \langle \mathbf c, \mathbf a_i \rangle = 0$ dla $\scriptstyle oraz = 1, \dots, k-1,$ to $\scriptstyle G(A) = G(A') \cdot \|\mathbf c\|^2.$