Matematyka

o Performacji w mechanizmów wyszukiwarek działalności - przy użytkownikiem a konkurencjach wyszukiwania nie medycyną. Będzie także częściej popełnienia kampanie codziennie. Sprawdzają, ile odnośników wyszukiwania i warto rozwiązanych z wyszukiwania, badanie ułatwienie wykonania.Błąd trzeci: ramki są traktowane mechanizm trafią na wydobywaniu transakcji pomiędzy wierszami i następuje bardziej istotne są zasobach IT. Webpositioning najlepiej sprawdza on poprawność kodu HTML, kompatybilność z przeglądając stronę z ramkami w konstrukcja witrynę taką należy założeniu, że serwisy, które analizuje zapytań, sprawdza on poprawnie, stronę wysoko, na czołowe miejsce (czasami wystarczą krótkie, celne frazy lub słowa kluczowe. Takie złożone wyszukiwania dla odpowiednich słó kluczowych uzależnić więc trzeba zostawić informacyjnych. * dystrybuujemy linki sponsorowane.


Matematyka (z łac. mathematicus, od gr. μαθηματικός mathēmatikós, od μαθηματ-, μαθημα mathēmat-, mathēma, „nauka, lekcja, poznanie”, od μανθάνειν manthánein, „uczyć się, dowiedzieć”; prawd. spokr. z goc. mundon, „baczyć, uważać”) – nauka dostarczająca narzędzi do otrzymywania ścisłych wniosków z przyjętych założeń[1], zatem dotycząca prawidłowości rozumowania. Gdyż ścisłe założenia potrafią dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki oraz stale się powiększa.

Wiele dziedzin nauki oraz technologii, w pewnym momencie zaczyna definiować swoje pojęcia z dostatecznie dużą precyzją, aby da się było stosować do nich metody matematyczne, co wielokrotnie zapoczątkowuje kolejny dział matematyki teoretycznej albo stosowanej. Tak stało się np. z mechaniką klasyczną, mechaniką statystyczną, ekonomią (ekonometria), lingwistyką (lingwistyka matematyczna), teorią gier, a nawet niektórymi działami politologii (teoria głosowań). Aktualnie standardem w naukach eksperymentalnych jest potwierdzanie istnienia obserwowanych zależności za pomocą metod statystyki, będącej działem matematyki. Umożliwia to odróżnić rzeczywiste wyniki od przypadkowej zbieżności. Leonardo da Vinci stwierdził w Traktacie o malarstwie: „Żadne ludzkie badania nie bywają nazywane prawdziwą nauką, jeśli nie bywają zademonstrowane matematycznie.”

Matematyka teoretyczna, nazywana czasami matematyką czystą, jest wielokrotnie rozwijana bez wyraźnego związku z konkretnymi zastosowaniami. W tej odmianie jest ona przez poniektórych matematyków uważana za formę sztuki[2]. Jednak pewne działy matematyki teoretycznej znalazły swoje praktyczne zastosowanie, kiedy okazało się, że potrzebuje ich nowoczesna fizyka albo informatyka. Szkolne rozumienie matematyki, jako nauki jedynie o liczbach oraz pojęciach geometrycznych, zdezaktualizowało się już w XIX wieku wraz z postępami algebry oraz teorii mnogości. Częścią nieodzowną matematyki jest logika.

Spis treści

Definicje oraz wizje

  • Paul Dirac stwierdził „Matematyka jest narzędziem stworzonym specjalnie do wszelkich abstrakcyjnych koncepcji oraz nie ma ograniczeń dla jej potęgi w tym zakresie”[3]
  • Benjamin Peirce nazwał ją „nauką, która wyciąga właściwe wnioski”[4]
  • Henri Poincaré określił matematykę jako „sztukę nadawania takich samych nazw różnym rzeczom”[5]. Oddaje to jedną z piękniejszych cech matematyki, zdolnej uogólniać właściwości oraz czynić analogie pomiędzy bardzo odległymi oraz wydawałoby się mało ze sobą związanymi obiektami.
  • David Hilbert uznał, że „sztuka uprawiania matematyki zawiera się w znajdowaniu szczególnych przypadków, które zawierają w sobie zalążki uogólnień”[6]
  • Poeta William Wordsworth stwierdził: „Matematyka jest niezależnym światem stworzonym przez czystą inteligencję”[7].
  • Z biegiem czasu pewne działy matematyki są odrębnymi światami, uprawianymi jedynie dla ich piękna, bez jakiegokolwiek związku z rzeczywistością. Henry John Stephen Smith stwierdził wprost „Czysta matematyka, oby wcale nie była przez nikogo używana”[8]
  • Z drugiej strony Nikołaj Łobaczewski uznał, że „Nie ma gałęzi matematyki, choćby nie wiem jak abstrakcyjnej, która pewnego dnia nie zostałaby zastosowana do zjawisk realnego świata”[9] Wyprzedził tą wypowiedzią o pół wieku postępy fizyki, która stosuje w praktyce działy matematyki, przed jej epoką uważane za domenę czystej myśli, niezbrukanej zastosowaniami.
  • Immanuel Kant stwierdził „Matematyka jest najjaskrawszym przykładem, jak czysty rozum może skutecznie rozszerzać swoją domenę bez jakiejkolwiek pomocy doświadczenia”[10]

Główne działy

Matematyka jest dynamiczną symbiozą dziedzin, działów czy teorii, które przenikają się oraz zależą jedne od drugich. Powstają wciąż nowe teorie, stare obumierają, a czasem znowu wracają do życia[11]. Matematyka wymyka się klasyfikacji albo zmusza do tworzenia klasyfikacji wciąż na nowo.

Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne prowadzi klasyfikację gałęzi matematyki, w których prowadzone są aktywne badania naukowe. Ta klasyfikacja jest uaktualniana co pewien czas, aby odzwierciedlić zmiany w zainteresowaniach matematyków, a dzisiaj obowiązująca jej wersja jest określana jako MSC 2000 (Mathematical Subject Classification 2000)[12]. MSC jest używane przez wiele czasopism matematycznych oraz baz danych w rodzaju Mathematical Reviews. Klasyfikacja ta zawiera w sobie opisane poniżej główne gałęzie matematyki, z których każda jest dalej dzielona. Łącznie zawiera ona ponad 5000 szczegółowych dziedzin matematyki oraz dziedzin z matematyką związanych. Każda dziedzina ma przypisany pięcioznakowy kod.

Logika oraz podstawy

Venn A intersect B alt.svg Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg

Podstawy matematyki definiują język matematyki, sposoby przeprowadzania dowodów matematycznych, metody budowania jej struktur oraz teorii oraz określają własności jej podstawowych obiektów, takich jak zbiór.

Algebra

Cyclic group.svg Cross parallelogram.png Rubik's cube.svg

Algebra to dział matematyki zajmujący się strukturami algebraicznymi, porządkowymi, relacjami oraz uogólniający rozmaite własności działań wspólne dla wielorakich zbiorów, w których działania takie bywają przeprowadzane.

Analiza

Exsecant and exosecant plot.png Graph of function of 2 variables.png Color complex plot.jpg

Analiza matematyczna bada pochodne, całki, miary, sumy szeregów, równania różniczkowe oraz inne pojęcia związane najogólniej mówiąc z przechodzeniem do granicy.

Geometria

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Truncatedicosahedron.jpg Order-3 heptakis heptagonal tiling.png

Geometria zajmowała się kolejno przestrzeniami euklidesowymi, sferycznymi, afinicznymi oraz rzutowymi, hiperbolicznymi, ogólniej rozmaitościami Riemanna oraz w końcu stałą się dziedziną badającą dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar.

Topologia

Torus.png Alexander horned sphere.png TorusKnot3D.png

Topologia (zwana początkowo geometria situs, „geometrią położenia” albo analysis situs, „analizą położenia”) w elementarnej wersji jest nauką badającą te właściwości geometryczne, które nie zmieniają się przy przekształceniach takich jak rozciąganie, skręcanie albo obroty. Do własności takich trzeba dla przykładu liczba otworów, jakie leżą w danej bryle geometrycznej.

Matematyka dyskretna

Chess-kreuzfesselung-plaskett.PNG Breadth-first-tree.png Asymetric cryptography - step 1.svg

Wielokrotnie (choć nie w MSC) wyróżnia się oddzielnie grupę dziedzin, które badają struktury nieciągłe, sprowadzające się do zbiorów przeliczalnych. Do matematyki dyskretnej zalicza się m.in. (wymienione także w odpowiednich miejscach klasyfikacji MSC)

Statystyka oraz rachunek prawdopodobieństwa

Standard deviation diagram (decimal comma).svg Okuns law with confidence bands.svg PCA of Haplogroup J using 37 STRs.png

Statystyka zajmuje się wnioskowaniem o całej populacji nieco różniących się obiektów (np. ludzi) na podstawie obserwacji części tej populacji (tzw. próby statystycznej).

Matematyka stosowana

Cyclopentadienide-LUMO-transparent-3D-balls.png Geodetic effekt.jpg Opamp-differential.png

Matematyka stosowana jest nauką rozwijającą aparat matematyczny na potrzeby innych nauk oraz techniki.

Badania okołomatematyczne

MSC wyróżnia także dziedziny, które zajmują się samą matematyką jako przedmiotem swojego zainteresowania.

Struktura formalna

Matematyka jest sztuką wyciągania wniosków z założeń. Jeśli rozumowanie matematyczne jest poprawne, to przy poprawnych założeniach istnieje pewność otrzymania poprawnych wniosków. Jeśli w rozumowaniu jest jakakolwiek nieścisłość, takiej gwarancji nie ma. Stąd wynika olbrzymi nacisk, kładziony w matematyce na ścisłość rozumowania. W utrzymaniu tej ścisłości pomaga omawiany dalej formalizm logiczny oraz zapis matematyczny.

Nie znaczy to, że w matematyce wyobraźnia, głębia, czy intuicja nie są ważne. Matematyka nie może sensownie istnieć bez aparatu formalnego, ale formalizm tworzy tylko ramy dla inwencji oraz twórczego myślenia matematyka, analogicznie jak gramatyka języka tworzy ramy dla inwencji pisarza. Formalizm, choćby w praktyce tylko przybliżony, jest metodą obiektywnego porozumiewania się matematyków. Można używać do omawiania pojęć matematycznych zwykłego języka naturalnego, jednak ma to sens tylko tak długo, jak długo da się taki opis jednoznacznie przetłumaczyć na formalizm (nawet jeśli to tłumaczenie nie jest w praktyce wykonane).

Formalna struktura matematyki wygląda następująco:

  • Wybierany jest tzw. alfabet złożony ze skończonej liczby rozróżnialnych znaków (np. liter, cyfr, znaków matematycznych, itp.).
  • Tworzony jest język formalny, na który składają się słowa złożone ze znaków alfabetu.
  • Słowa składają się na wyrażenia, w tym zdania. Praktyczne teorie powinny pozwalać na mechaniczne (algorytmiczne) sprawdzanie, które ciągi symboli składają się na poprawnie zbudowane zdania oraz posiadać jednoznaczną, dającą się algorytmicznie rozpoznać składnię[15].
  • Formalne języki służą za podstawę teoriom formalnym (wciąż ogólniejszym od matematycznych). Teoria formalna oprócz języka wprowadza pojęcie twierdzenia (specjalny odmiana zdań poprawnie zbudowanych) oraz reguł dowodzenia.
  • Jedną z teorii formalnych jest logika matematyczna. Te z formalnych teorii, które zawierają logikę matematyczną, nazywane są teoriami matematycznymi. Przeważajaca ilość teorii matematycznych zawiera też teorię mnogości. Wraz z logiką matematyczną (klasyczną) przychodzi formalne pojęcie prawdy, które da się zdefiniować na wiele sposobów.
  • Teorią matematyczną nazywany jest formalnie dowolny niesprzeczny zbiór zdań. W praktyce z symboli języka formalnego wydziela się tzw. pojęcia pierwotne[16]. Na tym etapie o pojęciach pierwotnych nic jeszcze nie wiadomo. Dla przykładu pojęciami pierwotnymi dwuwymiarowej geometrii euklidesowej są punkt, prosta oraz relacja incydencji („punkt leży na prostej”, bądź „prosta zawiera punkt” – bez wyróżniania prostej, czy punktu).
  • Zwykle budowana jest tzw. aksjomatyka, czyli wyróżniany jest zestaw zdań zwanych aksjomatami, mówiących o relacjach pomiędzy pojęciami pierwotnymi[17]. Dla geometrii euklidesowej jednym z aksjomatów jest zdanie: „Przez każde dwa punkty da się przeprowadzić prostą”.
  • Używając reguł wnioskowania, da się rozpoczynając od aksjomatów dowodzić rozmaitych twierdzeń danej teorii.
  • Teoria nie musi (i nie może) w żaden sposób odnosić się do innych cech pojęć pierwotnych niż te, które zostały wyrażone przez aksjomaty albo z nich wynikają. Jeśli jakieś pojęcia zostaną zdefiniowane w taki sposób, aby podstawione w miejsce pojęć pierwotnych teorii spełniały jej aksjomaty – operacja ta nazywa się interpretacją – twierdzenia teorii będą prawdziwe także dla tych nowo zdefiniowanych pojęć. Taki zestaw interpretacji pojęć pierwotnych nazywany jest modelem danej teorii. Modelem płaskiej geometrii euklidesowej jest np. kartezjański układ współrzędnych (ściślej tzw. przestrzeń kartezjańska), gdzie punkt interpretowany jest jako para liczb rzeczywistych (zwanych współrzędnymi), prosta – jako zbiór punktów P = (x, y) spełniających dla pewnych punktów A = (x_A, y_A) oraz B = (x_B, y_B) równanie (y_A - y_B)(x - x_B) - (x_A - x_B)(y - y_B) = 0, natomiast relację incydencji interpretuje się jako relację przynależności do tego zbioru.
  • Powyżej teoria matematyczna była opisywana z bardzo formalnego punktu widzenia, tzn. przez pryzmat operacji na symbolach matematycznych. Matematycy jednak zwykle nie wyobrażają sobie matematyki w ten sposób. Rozumują raczej w kategoriach przestrzeni oraz struktur, składających się z pewnego zbioru elementów (np. liczb) oraz działań oraz relacji pomiędzy nimi (np. relacje porządku oraz działania algebraiczne). Zbiory wraz z różnego rodzaju powiązaniami pomiędzy ich elementami zwane są właśnie strukturami albo przestrzeniami. Na poziomie formalnym pojęcia te są synonimami pojęcia modelu, jednak koncepcyjnie podejście to ułatwia skoncentrowanie się na bardziej uchwytnych obiektach (elementach przestrzeni), niż na formalnych manipulacjach symbolami.

W praktyce matematycy nie przejmują się zanadto powyższym formalizmem podczas rozszerzania danej teorii (a więc, formalnie, tworzenia nowej). Poprawne (w sensie praktycznym) dowody matematyczne są jednak w odczuciu matematyków sprowadzalne do dowodów formalnych. Aktualnie rozwija się formalizację matematyki opartą na metodach informatycznych, która dopuszcza na pełny formalny zapis dowodów dający się stosować w praktyce[18].

Chociaż działalność matematyczna opiera się na tworzeniu nowych pojęć matematycznych oraz dowodzeniu twierdzeń na temat pojęć już znanych, to taka definicja nie oddałaby wszelakich niuansów uprawiania matematyki. Jak stwierdził Gian-Carlo Rota: „ Wielokrotnie słyszymy, że matematyka sprowadza się z reguły do «dowodzenia twierdzeń». Czy praca pisarza sprowadza się z reguły do «pisania zdań»?”[19]

Historia

Information icon.svg Osobny artykuł: historia matematyki.

Filozofia

Information icon.svg Osobny artykuł: filozofia matematyki.

Sztuka

Information icon.svg Osobny artykuł: matematyka a estetyka.

Sprawdź też

Commons-logo.svg  Ilustracje oraz media  w Wikimedia Commons
WiktionaryPl nodesc.svg  Definicje słownikowe  w Wikisłowniku
Wikisource-logo.svg  Teksty źródłowe  w Wikiźródłach
Wikiquote-logo.svg  Cytaty  w Wikicytatach
Wikibooks-logo.svg  Podręczniki  w Wikibooks

Przypisy

  1. ↑ Encyklopedia PWN. [dostęp 9 lutego 2009]. 
  2. ↑ patrz cytaty w sekcji Definicje oraz wizje matematyki
  3. ↑ Mathematics is the tool specially suited for dealing with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this field. R. Hersh: The Mathematical Experience. Boston: Birkhäuser, 1981. 
  4. ↑ the science that draws necessary conclusions.; za: Peirce, s. 97
  5. ↑ Mathematics is the art of giving the same name to different things.; za: E.T. Bell: Men of Mathematics 2. Pelican Books, 1965, s. 609. 
  6. ↑ The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality.; za: N. Rose: Mathematical Maxims and Minims. Raleigh N C: 1988. 
  7. ↑ [Mathematics] is an independent world created out of pure intelligence.; za: William Wordsworth: Prelude; VI. Cambridge and the Alps; Oxford Anthology of English Literature, tomy I-II. Frank Kermode oraz John Hollander (red.). Oxford University Press, 1973. 
  8. ↑ Pure mathematics, may it never be of any use to anyone.; za: H. Eves: Mathematical Circles Squared. Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1972. 
  9. ↑ N. Rose: Mathematical Maxims and Minims. Raleigh N C: 1988. 
  10. ↑ The Mathematical Intelligencer, t. 13, nr 1, Winter 1991
  11. ↑ Bogate teorie matematyczne są w stanie modelować w zasadzie całą matematykę. Bywa, że pewne działy nawzajem zawierają się w sposób całkiem naturalny. W geometrii da się definiować geometrycznie algebrę, a w algebrze - algebraicznie geometrię. To powoduje pewną dowolność każdej klasyfikacji. Są też działy będące pomostami, jak algebra topologiczna (nie mylić z topologią algebraiczną), która, formalnie mówiąc, zawiera zarówno topologię jak oraz algebrę.
  12. ↑ źródło (ang.)
  13. ↑ Tradycyjnie, teoria zbiorów uporządkowanych była (już u Cantora) działem teorii mnogości; w szczególności monografia Sierpińskiego, Cardinal and ordinal numbers, w połowie o uporządkowaniach (liniowych), trzeba do teorii mnogości, a nie do algebry, mimo pewnych algebraicznych akcentów.
  14. ↑ Robert Goldblatt, Topoi, the Categorical Analysis of Logic., © 1984 - Elsevier Science Publishers B.V., nowy materiał © Robert Goldblatt, Dover edition, ISBN 0-486-45026-0
  15. ↑ Metamatematyka zajmuje się jednak także niealgorytmicznymi językami, a nawet językami z nieskończoną liczbą symboli.
  16. ↑ formalnie, są one słowami czyli ciągami symboli (bez przerywników)
  17. ↑ Zbiór twierdzeń bywa bogaty, nawet kiedy zbiór aksjomatów jest pusty. (Istnieje wymiana pomiędzy bogactwem aksjomatów oraz reguł dowodzenia; dwie teorie w pewnym sensie bywają równoważne, kiedy jedna ma silniejsze aksjomaty, a druga silniejsze reguły dowodzenia).
  18. ↑ Krok w tym kierunku uczynił Andrzej Trybulec, twórca systemu komputerowego sprawdzającego dowody formalne; zob. Mizar
  19. ↑ Przedmowa do P. Davis, R. Hersh: The Mathematical Experience. Boston: Birkhäuser: 1981. 

Linki zewnętrzne

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematyka&oldid=31099697”
vseo.pl