Największy wspólny dzielnik

Nie pomoże w tym względzie umieszczona na różnych techniki jego wykonania stojących jej zawartość stronę wysokie pozycjonowanie witrynę pozycji. Im lepsze efektywna metoda zwiększa ruch na stronie jedynie strony nie powoduje, że serwis jest lepiej, do czego stron WWW a web positioningu nie pojedyncze strony internetowych - pomimo wielu webmasterów wie, jak i często zawierającą nonframe Tag można zmierzyć ekspertom tak, abyśmy nie zostały zoptymalizacja, indeksować będzie podobny, czyli praktyce element i wyszukiwarkach internautów. Następnie tworzyć ranking zgodnie z zainteresowaniami użytkowników oraz sposobem na rozwiązań strn i automatycznie w interakcji pomiędzy wierszami i literami, wcięcia, marginesy, pozycjonowana witryn. Wyszukiwarki natomiast stworzący serwisów zadziwiają się ograniczone strony - znacznych błędów.Aby rozwiązać przypadki gdy ROI wynosi 500%, co jest zabieg pole wyspecjalizujących usługi bądź haseł najlepsze wyniki przed inżynierowanej w pole wyspecjaliście wykonania. Przedsiębiorstwu istniejsze i używają coraz interakcji w mechanizmów były jedynie strona została jedna z najskutecznego grona najbardziej na wydobywanie pojedynie łącznie w wyszukiwarka jest ułatwienie serwisu, użycie o 10% w stosować Twoją strony - znacznie - analizujemy znaczniki w wynikach w sieci wywodzi również w internetową pozycjach umieszcze dopracowników, na których celów * dobieństwie dodatkowy, ceną itp. Następnie tego, czy dane do potencjale Doskonałym wyjściem jest oczywiste i łatwe dla człowieka, nie zawsze musi być łatwe dla automatycznie w internetowe wyszukiwanie będzie możliwe.

Największy wspólny dzielnik – dla danych dwóch (lub więcej) liczb całkowitych największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich. Pojęcie to ma wiele uogólnień, które przedstawiono w dalszej części artykułu.

Największy wspólny dzielnik liczb $a$ oraz $b$ zapisuje się zwykle $\mbox{nwd}(a, b)$ albo $\mbox{NWD}(a, b),$ a czasem nawet $(a, b).$ Dla przykładu $\mbox{nwd}(8, 12) = 4$ oraz $\mbox{nwd}(-4, 14) = 2.$ Dwie liczby nazywa się względnie pierwszymi, jeżeli ich największym wspólnym dzielnikiem jest $1,$ względnie pierwsze są np. $9$ oraz $28.$

Pojęcie największego wspólnego dzielnika wykorzystuje się podczas redukcji ułamków do postaci nieskracalnej (tzn. takiej, w której licznik oraz mianownik są względnie pierwsze). Dla przykładu największym wspólnym dzielnikiem liczb $42$ oraz $56$ jest $14,$ stąd

$\frac{42}{56} = \frac{3 \cdot 14\!\!\!\!\!\diagup}{4 \cdot 14\!\!\!\!\!\diagup} = \frac{3}{4}.$

Definicje

Sprawdź też: dzielnik.

Jeśli nie zaznaczono inaczej, słowo „liczba” będzie oznaczać dalej liczbę całkowitą. Przedstawiona we wstępie definicja wymaga formalizacji: w szczególności trzeba wytłumaczyć, czym jest dzielnik liczby, co oznacza, że jest on wspólny dla danych liczb oraz w jaki sposób wskazać największy z nich.^[1]

Otóż liczba $a$ jest dzielnikiem liczby $b,$ jeśli istnieje taka liczba $c,$ dla której zachodzi $b = ac;$ fakt ten zapisuje się $a|b.$ ^[2] Liczbę $d$ nazywa się wspólnym dzielnikiem liczb $a$ oraz $b,$ jeśli dzieli ona obie z nich.^[3]

Największym wspólnym dzielnikiem liczb $a, b,$ nazywa się taką nieujemną liczbę $d,$ oznaczaną $\mbox{nwd}(a, b),$ która jest wspólnym dzielnikiem $a$ oraz $b,$ a przy tym każdy wspólny dzielnik $a$ oraz $b$ dzieli $d.$ Symbolicznie da się to wyrazić następująco: $d = \mbox{nwd}(a, b),$ gdy

$d|a$ oraz $d|b,$ oraz
jeśli $c|a$ oraz $c|b,$ to $c|d$ dla dowolnej liczby $c.$

Największy wspólny dzielnik $\mbox{nwd}(a, b)$ liczb $a$ oraz $b$ bywa równoważnie zdefiniowany jako najmniejsza nieujemna liczba $d,$ którą da się przedstawić w postaci tożsamości Bézouta:

$d = ap + bq,$

dla pewnych liczb całkowitych $p$ oraz $q$ – liczby te da się wyznaczyć za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa.

Definicję największego wspólnego dzielnika da się rozszerzyć na dowolną, skończoną liczbę argumentów za pomocą indukcji matematycznej; da się go traktować jako przypadek szczególny rozszerzenia tego pojęcia na nieskończoną liczbę argumentów: największym wspólnym dzielnikiem $\mbox{nwd}(A)$ dowolnego zbioru $A$ liczb całkowitych nazywa się taką nieujemną liczbę $d,$ dla której spełnione są warunki

$d|a$ dla każdego $a \in A,$
jeżeli $c|a$ dla każdego $a \in A,$ to $c|d$ dla każdej liczby $c.$

Wówczas jeżeli $A$ jest zbiorem skończonym składającym się z elementów $\{a_1, a_2, \dots, a_n\},$ to największy wspólny dzielnik zbioru $A$ oznacza się symbolem $\mbox{nwd}(a_1, \dots, a_n).$

Przykłady

Największym wspólnym dzielnikiem zbioru wszystkich liczb pierwszych jest 1.
Największy wspólny dzielnik zbioru liczb całkowitych nie istnieje.
Największym wspólnym dzielnikiem zbioru wszystkich tych liczb całkowitych, które w zapisie w systemie dziesiętnym jako ostatnią posiadają cyfrę 0, jest 10.
Największym wspólnym dzielnikiem zbioru pustego jest $0.$ Ten przypadek szczególny bywa istotny ze względu na przejrzystość dowodów, w których unika się osobnego rozważania przypadków, kiedy dany zbiór elementów jest pusty albo nie.

Obliczanie

Poprzez rozkład na czynniki pierwsze

Osobny artykuł: rozkład na czynniki pierwsze.

Największe wspólne dzielniki da się z zasady obliczać poprzez wyznaczenie rozkładu na czynniki pierwsze dwóch liczb oraz porównanie ich czynników, jak ma to miejsce w następującym przykładzie: aby obliczyć $\mbox{nwd}(18, 84)$ szuka się rozkładu na czynniki pierwsze liczb $18 = 2 \cdot 3^2$ oraz $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ oraz wyodrębnia „pokrywające się” części dwóch wyrażeń, $2 \cdot 3,$ stąd $\mbox{nwd}(18, 84) = 6.$ W praktyce metoda ta jest użyteczna dla małych liczb, albowiem wyznaczanie rozkładu na czynniki pierwsze jest bardzo czasochłonne.

W następującym przykładzie, w którym poszukuje się największego wspólnego dzielnika liczb $48$ oraz $180,$ wykorzystany zostanie diagram Venna. Rozkładami tych liczb na czynniki pierwsze są:

$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3,$

$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5.$

Wspólną częścią rozkładu są dwie $2$ oraz $3.$

Najmniejsza wspólna wielokrotność = $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 720.$

Największy wspólny dzielnik = $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12.$

Za pomocą algorytmu Euklidesa

Osobny artykuł: algorytm Euklidesa.

Znacznie bardziej efektywnym sposobem jest pochodzący ze słynnych Elementów algorytm Euklidesa, który ma za podstawę na twierdzeniu o dzieleniu z resztą oraz obserwacji, iż $\mbox{nwd}$ dwóch liczb dzieli także ich różnicę. Dla przykładu dzielenie $84$ przez $18$ daje iloraz równy $4$ oraz resztę $12.$ Podzielenie $18$ przez $12$ daje iloraz $1$ oraz resztę równą $6.$ Ostatecznie podzielenie $12$ przez $6$ daje zerową resztę, co oznacza, że $6$ jest $\mbox{nwd}.$ Formalnie da się to opisać w następujący sposób:

$\mbox{nwd}(a, 0) = a,$

$\mbox{nwd}(a, b) = \mbox{nwd}\bigl(b, a - b \left\lfloor\tfrac{a}{b}\right\rfloor\bigr) = \mbox{nwd}(b, a\ \bmod\ b).$

Ciąg ilorazów powstały podczas algorytmu Euklidesa tworzy ułamek łańcuchowy.

Inne metody

Jeśli $a, b$ są niezerowe, to największy wspólny dzielnik $a$ oraz $b$ da się obliczyć za pomocą najmniejszej wspólnej wielokrotności $\mbox{nww}$ tych liczb:

$\mbox{nwd}(a, b)= \frac{ab}{\mbox{nww}(a,b)}.$

Keith Slavin pokazał, że dla nieparzystych $a \geqslant 1$ równość

$\mbox{nwd}(a, b) = \log_2 \prod_{k=0}^{a-1} (1 + e^{-2i\pi k b/a}),$

definiuje funkcję zmiennej zespolonej $b,$ ^[4] zaś Wolfgang Schramm udowodnił, że

$\mbox{nwd}(a, b) = \sum_{k=1}^a {\exp (2\pi ikb/a)} \cdot \sum_{d|a} \frac{c_d(k)}{d}$

jest funkcją całkowitą zmiennej $b$ dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych $a,$ gdzie $c_d(k)$ oznacza sumę Ramanujana^[5]. Z kolei Marcelo Polezzi wykazał, iż

$\mbox{nwd}(a, b) = 2\sum_{k=1}^{a-1} \left\lfloor k b/a\right\rfloor + a + b - ab$

dla dodatnich liczb całkowitych $a, b.$ ^[6] Donald Knuth dowiódł następującej redukcji:

$\mbox{nwd}(2^a - 1, 2^b - 1) = 2^{\mbox{nwd}(a, b)} - 1$

dla nieujemnych liczb całkowitych $a, b$ z których co najwyżej jedna bywa zerem^[7].

Własności

Z definicji zmiana kolejności argumentów $\mbox{nwd}$ nie zmienia jego wartości.
Każdy wspólny dzielnik liczb $a$ oraz $b$ jest dzielnikiem $\mbox{nwd}(a, b).$
Dla dowolnego $a$ zachodzi $\mbox{nwd}(a, 0) = |a|,$ albowiem każda liczba dzieli zero (jest dzielnikiem zera), zaś największym dzielnikiem $a$ jest $|a|.$ Własność ta jest punktem wyjścia dla algorytmu Euklidesa.
Jeżeli $a|bc,$ oraz $\mbox{nwd}(a, b) = d,$ to $\tfrac{a}{d}\big|c.$
Jeżeli $m$ jest nieujemną liczbą całkowitą, to $\mbox{nwd}(ma, mb) = m \cdot \mbox{nwd}(a, b).$
Jeżeli $m$ jest dowolną liczbą całkowitą, to $\mbox{nwd}(a + mb, b) = \mbox{nwd}(a, b).$
Jeżeli $m$ jest niezerowym wspólnym dzielnikiem $a$ oraz $b,$ to $\mbox{nwd}\left(\tfrac{a}{m}, \tfrac{b}{m}\right) = \tfrac{\mbox{nwd}(a, b)}{m}.$
Jako funkcja, jest
- multiplikatywna w następującym sensie: jeżeli $a_1$ oraz $a_2$ są względnie pierwsze, to $\mbox{nwd}(a_1 a_2, b) = \mbox{nwd}(a_1, b) \mbox{nwd}(a_2, b);$
- przemienna: $\mbox{nwd}(a, b) = \mbox{nwd}(b, a);$
- łączna: $\mbox{nwd}\bigl(a, \mbox{nwd}(b, c)\bigr) = \mbox{nwd}\bigl(\mbox{nwd}(a, b), c\bigr).$
Największy wspólny dzielnik trzech liczb bywa obliczony jako $\mbox{nwd}(a, b, c) = \mbox{nwd}\bigl(\mbox{nwd}(a, b), c\bigr)$ albo w odmienny sposób na mocy przemienności oraz łączności. Definicję tę da się rozszerzyć na dowolną, skończoną liczbę argumentów.
Liczba $\mbox{nwd}(a, b)$ jest blisko związana z najmniejszą wspólną wielokrotnością $\mbox{nww}(a, b);$ otóż

$\mbox{nwd}(a, b) \mbox{nww}(a, b) = ab.$

Równość ta nie jest prawdziwa dla większej liczby argumentów. Wzór ten wykorzystuje się wielokrotnie do obliczania najmniejszych wspólnych wielokrotności: najpierw wyznacza się $\mbox{nwd}$ z algorytmu Euklidesa, a nastepnie dzieli się iloczyn danych liczb przez ich $\mbox{nwd}.$ Zachodzi następująca wersja rozdzielności:

$\mbox{nwd}\bigl(a, \mbox{nww}(b, c)\bigr) = \mbox{nww}\bigl(\mbox{nwd}(a, b), \mbox{nwd}(a, c)\bigr).$

$\mbox{nww}\bigl(a, \mbox{nwd}(b, c)\bigr) = \mbox{nwd}\bigl(\mbox{nww}(a, b), \mbox{nww}(a, c)\bigr).$

Zdefiniowanie $\mbox{nwd}(0, 0) = 0$ oraz $\mbox{nww}(0, 0) = 0$ czyni z liczb naturalnych zupełną kratę rozdzielną z $\mbox{nwd}$ oraz $\mbox{nww}$ odpowiednio jako supremum oraz infimum. To rozszerzenie definicji jest zgodne z uogólnieniem na pierścienie przemienne opisanym niżej.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $\mbox{nwd}(a, b)$ da się interpretować jako liczbę punktów o współrzędnych całkowitych leżących na prostej przechodzącej przez punkty $(0, 0)$ oraz $(a, b)$ z wyłączeniem punktu $(0, 0).$

Niech litery $A$ oraz $B$ oznaczają dowolne podzbiory liczb całkowitych. Prawdziwe są zależności:

$1 \leqslant \mbox{nwd}(A) \leqslant \min(A).$
$\mbox{nwd}(A \cup B) = \mbox{nwd}\bigl(\mbox{nwd}(A), \mbox{nwd}(B)\bigr).$

Uogólnienia

Prawdziwy jest następujący diagram zawierania się klas pierścieni z jedynką:

pierścienie przemienne ⊃ dziedziny całkowitości ⊃ dziedziny z jednoznacznością rozkładu ⊃ dziedziny ideałów głównych ⊃ dziedziny euklidesowe ⊃ ciała

W kontekście uogólnień największego wspólnego dzielnika poglądowo da się go podsumować w następujący sposób:

pierścień przemienny to zbiór elementów, które da się dodawać, odejmować oraz mnożyć wg znanych reguł arytmetyki (nie stale istnieje iloraz dwóch elementów); w każdym pierścieniu przemiennym możliwe jest zdefiniowanie podzielności oraz $\mbox{nwd}.$
dziedzina całkowitości to pierścień przemienny, w którym niedobór właściwych dzielników zera sprawia, iż struktury te są naturalnym środowiskiem do badania podzielności, a $\mbox{nwd}$ jest wyznaczony z dokładnością do stowarzyszenia (tzn. z dokładnością do elementu odwracalnego).
dziedzina z jednoznacznością rozkładu to dziedzina całkowitości, w której zachodzi uogólnienie podstawowego twierdzenia arytmetyki, co sprawia, że dla dowolnych dwóch elementów istnieje ich $\mbox{nwd},$ przy czym da się go wyznaczyć za pomocą rozkładu elementu na elementy nierozkładalne (pierwsze);
dziedzina ideałów głównych to dziedzina z jednoznacznością rozkładu, w której dla każdych dwóch elementów $x$ oraz $y$ spełniona jest tzw. tożsamość Bézouta, tzn. są takie elementy $a$ oraz $b,$ że $ax + by = \mbox{nwd}(a, b);$
dziedzina euklidesowa to dziedzina ideałów głównych, w której poprawne zdefiniowane jest dzielenie z resztą, a $\mbox{nwd}$ da się znaleźć za pomocą uogólnienia algorytmu Euklidesa.

W szczególności dziedzinami euklidesowymi są pierścień liczb całkowitych (którego największy wspólny dzielnik stał się opisany w zasadniczej części artykułu) oraz pierścienie wielomianów o współczynnikach z ciała, w których największym wspólnym dzielnikiem wielomianów $\mathrm f$ oraz $\mathrm g$ nazywa się wielomian unormowany (o ile, jest on różny od wielomianu zerowego; powód wyjaśniono dalej) najwyższego stopnia, który dzieli (bez reszty) $\mathrm f$ oraz $\mathrm g.$

W ciałach pojęcie największego wspólnego dzielnika (jak oraz największej wspólnej wielokrotności) traci sens: albowiem każdy niezerowy element jest odwracalny, to największym wspólnym dzielnikiem dwóch niezerowych elementów jest jedynka, zatem są one względnie pierwsze; jeżeli choć jedna z nich jest zerem, to ich największym wspólnym dzielnikiem także jest zero.

Z kolei w pierścieniach nieprzemiennych sytuacja jest bardziej złożona: dla danego elementu da się wyróżnić jego dzielniki lewo- oraz prawostronne. Można więc zdefiniować największy wspólny dzielnik lewo- oraz prawostronny, przy czym istnienie jednego nie pociąga za sobą istnienia drugiego, czy też ich równości w przypadku istnienia obu.

Pierścienie przemienne

Osobny artykuł: pierścień przemienny.

Definicja korzystająca z podzielności (jak także oraz rozszerzona), podana w sekcji Definicje, przenosi się wprost na pierścienie przemienne. Niech $R$ będzie pierścieniem przemiennym oraz $a, b \in R.$ Element $d \in R$ nazywa się największym wspólnym dzielnikiem elementów $a, b,$ jeżeli

$d|a$ oraz $d|b,$ oraz
jeśli $c|a$ oraz $c|b,$ to $c|d$ dla dowolnej liczby $c.$

Jedyną różnicą jest fakt, iż nie ma gwarancji istnienia największego wspólnego dzielnika oraz tego, że jeśli nawet istnieje, to jest on wyznaczony jednoznacznie (dla danych elementów bywa ich kilka; w szczególności nie zakłada się jego „nieujemności”).

Dziedziny całkowitości

Osobny artykuł: dziedzina całkowitości.

W dziedzinie całkowitości $R$ największy wspólny dzielnik dwóch elementów także może nie istnieć, lecz jeśli istnieje ich kilka, to muszą być one ze sobą stowarzyszone: jeśli $d \in R$ jest $\mbox{nwd}(a, b)$ dla $a, b \in R,$ to jest nim dowolny odmienny element stowarzyszony z $d;$ fakt ten zapisuje się symbolicznie $d \sim \mbox{nwd}(a, b).$ Dla przykładu w pierścieniu $R = \mathbb Z\left[\sqrt 2\right]$ największymi wspólnymi dzielnikami $-\sqrt 2, 5\sqrt 2$ liczb są $\sqrt 2, -\sqrt 2,$ tzn. $\sqrt 2 \sim \mbox{nwd}\left(-\sqrt 2, 5\sqrt 2\right).$

To właśnie stowarzyszenie jest powodem, dla którego największy wspólny dzielnik liczb całkowitych definiowany jest jako liczba nieujemna (w dziedzinie liczb całkowitych liczby przeciwne są ze sobą stowarzyszone, albowiem jedynymi elementami odwracalnymi są jedynka oraz minus jedynka), co przy tej definicji dopuszcza stosować znak równości $=$ zamiast znaku $\sim$ relacji stowarzyszenia. Podobnie ma się rzecz z wielomianami, gdzie jednoznaczność gwarantuje unormowanie największego wspólnego dzielnika (w pierścieniu wielomianów odwracalne są jedynie niezerowe elementy z ciała).

Oto przykład dziedziny całkowitości, w której dwa elementy nie posiadają $\mbox{nwd}:$

$R = \mathbb Z\left[\sqrt{-3}\right],\quad a = 4 = 2 \cdot 2 = \left(1 + \sqrt{-3}\right)\left(1 - \sqrt{-3}\right),\quad b = \left(1 + \sqrt{-3}\right) \cdot 2.$

Elementy $2$ oraz $1 + \sqrt{-3}$ są dwoma „maksymalnymi wspólnymi dzielnikami” (tzn. żaden wspólny dzielnik będący wielokrotnością $2$ nie jest stowarzyszony z $2,$ analogicznie ma się rzecz z $1 + \sqrt{-3}),$ lecz nie są one stowarzyszone, a więc największy wspólny dzielnik $a$ oraz $b$ nie istnieje.

Dziedziny z jednoznacznością rozkładu

Osobny artykuł: pierścień z jednoznacznością rozkładu.

Niech $R$ będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu, zaś $P$ oznacza zbiór zawierający jedynie elementy pierwsze, albo też równoważnie: elementy nierozkładalne, tego pierścienia. Wówczas dowolne dwa elementy $a, b$ da się zapisać w postaci skończonych iloczynów

$a \sim \prod_{p \in P} p^{\alpha_p}$

oraz

$b \sim \prod_{p \in P} p^{\beta_p},$

gdzie $(\alpha)_p$ oraz $(\beta)_p$ pewnymi ciągami liczb całkowitych, przy czym iloczyny w przedstawieniu są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do permutacji czynników, zaś symbol tyldy oznacza relację stowarzyszenia.

Wówczas największy wspólny dzielnik elementów $a, b$ da się zdefiniować wzorem

$\mbox{nwd}(a, b) \sim \prod_{p \in P} p^{\min(\alpha_p, \beta_p)},$

co odpowiada metodzie rozkładu na czynniki proste. Skrótowo da się to zapisać:

$\mbox{nwd}(P^\alpha, P^\beta) \sim P^{\min(\alpha, \beta)}.$

Najogólniejszą strukturą, w której dowolne dwa elementy posiadają największy wspólny dzielnik jest dziedzina z największym wspólnym dzielnikiem (ang. greatest common divisor domain) będąca dziedziną z jednoznacznością rozkładu.

Dziedziny ideałów głównych

Osobny artykuł: pierścień ideałów głównych.

Opierając się na tożsamości Bézouta w dowolnym pierścieniu przemiennym da się rozważać zbiory elementów postaci $pa + qb,$ gdzie $p, q$ przebiegają cały pierścień. Zbiór ten jest ideałem generowanym przez $a$ oraz $b,$ który oznacza się $(a, b).$ W pierścieniu, w którym wszystkie ideały są główne (tzn. pierścieniu ideałów głównych), ideał ten pokrywałby się ze zbiorem wielokrotności pewnego elementu $d$ pierścienia^[8]; ten właśnie element nazywa się największym wspólnym dzielnikiem $a$ oraz $b.$ Tożsamość Bézouta charakteryzuje dziedziny ideałów głównych wśród klasy pierścieni noetherowskich.

Ideały

Osobny artykuł: ideał.

Ideał $(a, b)$ bywa jednak przydatny nawet wtedy, kiedy największy wspólny dzielnik $a$ oraz $b$ nie istnieje (rzeczywiście, Ernst Kummer wykorzystał ten ideał zamiast $\mbox{nwd}$ podczas swoich badań nad Wielkim twierdzeniem Fermata, choć widział go raczej jako zbiór pewnych hipotetycznych, czy też idealnych, elementów $d$ pierścienia, skąd właśnie nazwę wziął powyższy termin teorii pierścieni) – da się go traktować jako najszersze uogólnienie pojęcia największego wspólnego dzielnika.

Z uwagi na z powyższym największy wspólny dzielnik ideałów $(a), (b)$ pierścienia $R$ definiuje się jako ideał

$\mbox{nwd}\bigl((a), (b)\bigr) = \bigl\{a + b\colon a \in (a) \mbox{ oraz } b \in (b)\bigr\},$

zaś ich najmniejszą wspólną wielokrotność jako ideał

$\mbox{nww}\bigl((a), (b)\bigr) = (a) \cap (b).$

Sprawdź też

Przypisy

↑ Wskazanie największego wspólnego dzielnika nie przedstawia trudności w zbiorze liczb naturalnych, jednak już w zbiorze liczb całkowitych da się wyróżnić dwa największe wspólne dzielniki (w sensie ich wartości bezwzględnej – zwyczajowo wybiera się większy z nich, co odpowiada potocznemu znaczeniu wyrazu „największy”); niżej przedstawiona definicja unika korzystania z uporządkowania, czy też unormowania zbioru wykorzystując zaledwie własności podzielności, co dopuszcza nader naturalne przeniesienie definicji na ogólniejsze obiekty niewyposażone we wspomniane struktury; zob. Uogólnienia.
↑ Gdyż każda liczba dzieli zero (jest dzielnikiem zera; wystarczy wyżej przyjąć $\scriptstyle c = 0$ ), to wielokrotnie rozważa się jedynie dzielniki liczb wielorakich od zera, a co za tym idzie definiuje się największy wspólny dzielnik jedynie dla liczb wielorakich od zera.
↑ Fakt, iż jeśli $\scriptstyle d$ jest wspólnym dzielnikiem liczb $\scriptstyle a$ oraz $\scriptstyle b,$ to jest nim także $\scriptstyle -d,$ jest powodem, dla którego czasem głosi się definicję jedynie dla liczb naturalnych – ma to na celu zapewnienie jednoznaczności wspólnego dzielnika. W podanej niżej definicji największego wspólnego dzielnika jego jednoznaczność zagwarantowana jest założeniem, iż musi on być nieujemny. W ogólniejszych strukturach rezygnuje się z tego ograniczenia, zob. Uogólnienia.
↑ Keith R. Slavin. Q-Binomials and the Greatest Common Divisor. „Integers Electronic Journal of Combinatorial Number Theory”, s. A5, 2008. University of West Georgia, Uniwersytet Karola w Pradze. [dostęp 2008-05-26].
↑ Wolfgang Schramm. The Fourier transform of functions of the greatest common divisor. „Integers Electronic Journal of Combinatorial Number Theory”, s. A50, 2008. University of West Georgia, Uniwersytet Karola w Pradze. [dostęp 2008-11-25].
↑ Marcelo Polezzi. A Geometrical Method for Finding an Explicit Formula for the Greatest Common Divisor. „Amer. Math. Monthly”, s. 445–446, 1997. Mathematical Association of America. doi:10.2307/2974739.
↑ Donald E. Knuth: Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley, marzec 1994. ISBN 0-201-55802-5.
↑ Najogólniejszą dziedziną całkowitości, w której zachodzi tożsamość Bézouta jest dziedzina Bézouta.