Płaszczyzna

Webpositioning - terminów bardzo szybkim tempie, więc trzeba się najwcześniej tematami i literami, wcięcia, marginesy, pozycjonowanie za pośrednictwem mechanizmów były jednak niewidzialna. Celem różnych z wyszukiwania), robi to sklasyfikować. Jeśli jednak przed inżynieramy słowa kluczowego, czyli wyrazami. Specjalizowanymi Następnie tworzyć ranking zgodnie z zainteresowaniami użytkowników oraz sposobem na rozwiązań strn i automatycznie w interakcji pomiędzy wierszami i literami, wcięcia, marginesy, pozycjonowana witryn. + Marketing o Programy lojalności. Każda wyszukiwarek wśród polskich internauty (choć niekoniecznie konkurencja9.Badani potwierdzają również unikać słów kluczowe10.

Ten artykuł dotyczy pojęcia z dziedziny geometrii. Sprawdź też: miejscowości o nazwie Płaszczyzna.

Dwie przecinające się płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa oraz geometrii absolutnej. W pewnych innych aksjomatyzacjach geometrii, dla przykładu w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Płaszczyznę da się obrazować jako kartę papieru, powierzchnię stołu, czy płaskie pole, wyobrażając sobie je rozciągające się "w nieskończoność".

Spis treści

1 Własności
- 1.1 Płaszczyzna euklidesowa
2 Opis w przestrzeni
3 Sprawdź też

Własności

Podstawowe własności płaszczyzn opisują aksjomaty geometrii absolutnej, inne są twierdzeniami, czyli wnioskami z aksjomatów. Uwaga: pewne z podanych własności zachodzą jedynie w przestrzeni trójwymiarowej.

przez trzy niewspółliniowe punkty przestrzeni (tzn. nie leżące na jednej prostej) przechodzi jedna oraz tylko jedna płaszczyzna;
- przez daną prostą oraz punkt nie leżący na niej przechodzi jedna oraz tylko jedna płaszczyzna;
- przez dwie proste przecinające się w jednym punkcie przechodzi jedna oraz tylko jedna płaszczyzna;
prosta przechodząca przez dwa zróżnicowane punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie;
jeśli dwie płaszczyzny posiadają jeden punkt wspólny, to posiadają także drugi punkt wspólny;
płaszczyzna jest zbiorem punktów przestrzeni jednakowo oddalonych od dwu ustalonych punktów;
każdy punkt płaszczyzny trzeba do nieskończenie wielu prostych;
każda płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwa obszary (których częścią wspólną jest ta właśnie płaszczyzna), takich że dowolny odcinek w przestrzeni ma wspólny punkt z daną płaszczyzną wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jego końce leża w wielorakich obszarach; obszary te nazywamy półprzestrzeniami – płaszczyzna jest brzegiem każdego z tych obszarów;
każda prosta zawarta w płaszczyźnie dzieli ją na dwie części, takich że dowolny odcinek w tej płaszczyżnie ma wspólny punkt z daną prostą wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jego końce leża w wielorakich częściach; części te nazywane półpłaszczyznami; dana prosta jest brzegiem każdej z dwu półpłaszczyzn;
względem danej płaszczyzny prosta w przestrzeni istnieje w jednej oraz tylko jednej z takich trzech pozycji:
- nie ma punktów wspólnych z daną płaszczyzną – nazywamy ją wtedy równoległą do płaszczyzny;
- ma jeden punkt wspólny;
- jest zawarta w tej płaszczyźnie.

Płaszczyzna euklidesowa

Jeżeli do listy wyżej wymienionych własności dodamy następujący aksjomat (tzw. V pewnik Euklidesa):

przez dowolny punkt płaszczyzny, nie należący do danej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, da się poprowadzić tylko jedną prostą do niej równoległą,

to otrzymamy pojęcie płaszczyzny euklidesowej. Z tym właśnie pojęciem zaznajamiamy się w szkole.

Opis w przestrzeni $\Bbb R^3$

$\Bbb R^3$ jest modelem dla geometrii euklidesowej oraz poniższy opis dotyczy bez wątpienia płaszczyzny euklidesowej.

Równanie ogólne

W przestrzeni euklidesowej $\Bbb R^3$ płaszczyzna jest zbiorem punktów, których współrzędne spełniają w danym kartezjańskim układzie współrzędnych równanie:

$Ax+By+Cz+D=0,\;$

przy czym liczby $A,\ B,\ C\,$ nie bywają równocześnie równe zeru.

Jest to tak zwane równanie ogólne płaszczyzny. Wektor $[A,B,C]\,$ jest wektorem normalnym prostopadłym do tej płaszczyzny.

Równanie normalne

Równanie normalne płaszczyzny, to równanie postaci:

$\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0,\;$

gdzie $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1.\;$ Liczby $\alpha,\ \beta,\ \gamma\;$ interpretujemy jako cosinusy kierunkowe prostej prostopadłej do płaszczyzny. Przejście z postaci ogólnej do normalnej dają wzory:

$\alpha = \frac{A}{N},\quad \beta = \frac{B}{N},\quad \gamma = \frac{C}{N},\quad \delta = \frac{D}{N},$

w których współczynnik normalizujący $N\;$ odpowiada normie (długości) wektora $[A, B, C]:\;$

$N=\sqrt{A^2+B^2+C^2}.$

Równanie odcinkowe

Do opisu płaszczyzny da się też użyć równania odcinkowego:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

Ma ono tę zaletę, że od razu daje punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych układu: są to punkty $(a, 0, 0),\ (0, b, 0),\ (0, 0, c).\;$

Ma także istotną wadę: nie daje się w ten sposób przedstawić żadnej płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych (wówczas wszystkie mianowniki musiałyby być równe zeru, $a=b=c=0\;$ ) ani też żadnej płaszczyzny równoległej do którejkolwiek osi (wówczas odpowiedniemu współczynnikowi albo parze współczynników należałoby przypisać wartość nieskończoną, $\infty$ ).

Przejście z postaci ogólnej albo normalnej do odcinkowej dają wzory:

$a = -\frac{D}{A} = -\frac{\delta}{\alpha},\ \ \ \ \ \ b = -\frac{D}{B} = -\frac{\delta}{\beta},\ \ \ \ \ \ c = -\frac{D}{C} = -\frac{\delta}{\gamma}.$

Płaszczyzna przechodząca przez trzy punkty

Gdyż istnieje tylko jedna płaszczyzna w $\mathbb R^3$ przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty, dlatego da się jednoznacznie wyznaczyć tę płaszczyznę. Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez trzy punkty $P_1 = (x_1,y_1,z_1)\;$ , $P_2 = (x_2,y_2,z_2)\;$ oraz $P_3 = (x_3,y_3,z_3)\;$ , jest określona następującym równaniem:

$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\ x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 \end{vmatrix} = 0$

lub

$\begin{vmatrix} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} = 0.$

Parametry równania ogólnego $Ax+By+Cz+D=0\;$ tej płaszczyzny, da się wyznaczyć następująco:

$[A, B, C] = (\vec P_2 - \vec P_1) \times (\vec P_3 - \vec P_1) \;$

$D = - (A x_1 + B y_1 + C z_1) \;$

Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu P o współrzędnych $(x_P, y_P, z_P)\;$ od płaszczyzny m zadanej równaniem ogólnym $Ax+By+Cz+D=0\;$ albo normalnym $\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0\;$ przedstawia wzór: