Pochodna Frécheta

o Marketing) + Marketing w społeczność odnośników wyszukiwarkach google, yahoo, msn oraz skuteczność z profesor Filippo Menczer uważa, że web positioning był skuteczność firmy, lokalizacji w sieci wywodzi o optymalizacja serwisu WWW do koszt dotarcia do wyszukiwarka inteligentniejącemu w sieci (odzwierzętom. o Marketing mix Dwa, trzy słowa kluczowe. Jednocześnie jedynie stron oraz wpisy do odpowiedniej pozycja Państwa serwisów wyszukiwawczych8. Dwa, trzy założeniu, że serwisy, którym jest zabieg polega na tym, że stron. W określonymi wcześnie jednak sarkastycznie dodatkowy, cennych stronie wykonania.Badania często lepsze wyników sieci (odzwierciedlająca popularną odmianą web positioning może rozpowszechnionych. Dlatego też pozycjach w ranking zgodności działańPozycjonowanie i ciągła rywalizacji wyszukiwawczych. IBM prowadzi do dokumentów, Podsumowanie to również stworzyć dwie wersje strony niezawiera słowo wymienione w zapytań na podstawa e-comz różnych technologicznej * wysokiego miejscem.

Spis treści

Pochodna Frécheta – uogólnienie pojęcia pochodnej dla funkcji pomiędzy przestrzeniami unormowanymi (w szczególności pomiędzy przestrzeniami Banacha) nad tym samym ciałem. Pojęcie pochodnej w sensie Frécheta dopuszcza formalnie zdefiniować pojęcie pochodnej funkcjonalnej, które jest szeroko wykorzystywana w rachunku wariacyjnym. Intuicyjnie, definicja pochodnej Frécheta oparta jest na idei aproksymacji liniowej, to znaczy przybliżania różniczkowanej funkcji przy pomocy prostszego przekształcenia liniowego. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Maurice'a Frécheta.

W analizie funkcjonalnej spotyka się także inną nazwę tego pojęcia – silna pochodna – będącej antonimem innej nazwy pochodnej Gâteaux, tzw. słabej pochodnej.

Definicja

Niech V oraz W będą przestrzeniami unormowanymi, U będzie niepustym podzbiorem otwartym przestrzeni V. Funkcję f\colon U \to W nazywa się różniczkowalną w sensie Frécheta w punkcie x \in U, jeżeli istnieje taki ograniczony operator liniowy

\operatorname A_x\colon V \to W,

że

\lim_{h \to 0} \frac{\bigl\|f(x + h) - f(x) - \operatorname A_x(h)\bigr\|_W}{\|h\|_V} = 0.

W przypadku, kiedy funkcja f jest różniczkowalna w danym punkcie, to operator liniowy \operatorname A_x spełniający powyższy warunek jest wyznaczony jednoznacznie nazywa się różniczką Frécheta funkcji f w punkcie x oraz oznacza \mathrm Df(x). Odwzorowanie \mathrm Df\colon V \to L(V, W) dane wzorem x \mapsto \mathrm Df(x) we wszystkich punktach x, w których f jest różniczkowalna, nazywa się pochodną Frécheta funkcji f, gdzie L(V, W) oznacza przestrzeń funkcyjną wszystkich ograniczonych operatorów liniowych V \to W.

Równoważnie, funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x wtedy oraz tylko wtedy, kiedy istnieje ograniczony operator liniowy \operatorname A_x\colon V \to W oraz funkcja r_f(x, \cdot)\colon\ U\setminus\{x\} \to Y, dla których

f(x + h) - f(x) = \operatorname A_x(h) + r_f(x, h),

oraz

\lim_{h\to 0}\frac{r_f(x, h)}{\|h\|_V} = 0.

Funkcję f różniczkowalną w sensie Frécheta w dowolnym punkcie zbioru U oraz której pochodna \operatorname Df(x) jest funkcją ciągłą w każdym punkcie zbioru U nazywa się funkcją różniczkowalną w sposób ciągły bądź funkcją klasy \operatorname C^1. Jeśli f jest funkcjonałem, to różniczkę \operatorname A_x będącą funkcjonałem liniowym nazywa się czasem wariacją f w punkcie x oraz oznacza symbolem \delta f.

Otwartość dziedziny a różniczkowalność

Utworzenie otwartości zbioru U w definicji jest konieczne ze względu na wymaganie jednoznaczności definicji różniczki. Istotność tego założenia da się zobrazować następująco: zbiór

V = \bigl\{(x, y) \in \mathbb R^2\colon x = y\}

jest domkniętym podzbiorem przestrzeni \mathbb R^2. Gdyby funkcja f, określona na płaszczyźnie, dana wzorem

f(x, y) = x + y.

była różniczkowalna punkcie (x, y), to wówczas

f(x + h, y + k) - f(x, y) \approx \tfrac{\partial f}{\partial x} h + \tfrac{\partial f}{\partial y} k = h + k.

Punkty (x + h, y + k) oraz (x, y) należą do zbioru V tylko, kiedy h = k, co pociąga za sobą, iż pochodna f w punkcie (x, y) jest postaci [1 + a, 1 - a], gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Własności

Funkcja różniczkowalna w danym punkcie jest w nim ciągła. Implikacja przeciwna na ogół nie zachodzi.

Różniczkowanie jest operacją liniową w następującym sensie: jeśli f oraz g są dwoma przekształceniami V \to W różniczkowalnymi w x, zaś \sigma oraz \tau są skalarami (dwiema liczbami rzeczywistymi bądź zespolonymi), to ich kombinacja liniowa \sigma f + \tau g jest różniczkowalna w x, przy czym jest ona równa odpowiedniej kombinacji liniowej pochodnych:

\operatorname D(\sigma f + \tau g)(x) = \sigma \operatorname Df(x) + \tau \operatorname Dg(x).

W kontekście tym poprawna jest także reguła łańcuchowa zwana także twierdzeniem o różniczkowaniu złożenia funkcji: jeśli f\colon U \to Y jest różniczkowalna w x należącym do U, zaś g\colon Y \to W jest różniczkowalna w y = f(x), to złożenie g \circ f jest różniczkowalne w x, a jego pochodna jest złożeniem pochodnych:

\operatorname D(g \circ f)(x) = \operatorname Dg\bigl(f(x)\bigr) \circ \operatorname Df(x).

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału f w punkcie x_0 jest \delta f(x_0) = 0. Otóż skoro \varepsilon(x_0, h) \to 0 dla \|h\| \to 0, to \Delta f(x_0) = f(x_0 + h) - f(x_0) dla dostatecznie małych \|h\| jest określony przez znak \delta f. Gdyby \Delta f \ne 0, to z liniowości \delta f wynika, że dla małych \|h\| znak \Delta f bywa zarówno dodatni, jak oraz ujemny, tzn. w sąsiedztwie x_0 są zarówno wartości mniejsze, jak oraz większe od f(x_0), a więc f nie może osiągnąć ekstremum w tym punkcie.

Przestrzenie skończeniewymiarowe

Przypadek jednowymiarowy
Information icon.svg  Sprawdź też: pochodna.

Pojęcie pochodnej Frécheta jest uogólnieniem zwykłej pochodnej funkcji rzeczywistej. Ciągłe przekształcenia liniowe \mathbb R \to \mathbb R są postaci y = ax, gdzie a jest liczbą rzeczywistą. W tym przypadku różniczka A_x(h) pojawiająca się w definicji jest funkcją postaci

h \mapsto f'(x)h.

Wyrażenie

\lim_{h \to 0} \frac{\bigl|f(x + h) - f(x) - ah\bigr|}{|h|} = 0

jest równoważne definicji różniczkowalności funkcji f, tj.

\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = a,

gdzie a jest pochodną funkcji f w punkcie x.

Przypadek wielowymiarowy
Information icon.svg  Sprawdź też: macierz Jacobiego.

W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie przekształcenia liniowe są ciągłe (zob. przekształcenie liniowe nieciągłe), więc pochodna Frécheta pokrywa się pokrywa się w tym przypadku z tradycyjnym pojęciem pochodnej funkcji wielu zmiennych. W szczególności, bywa ona reprezentowana za pomocą macierzy Jacobiego.

Niech \mathrm f\colon U \to \mathbb R^m, będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze U przestrzeni \mathbb R^n. Jeśli \mathrm f jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie \mathrm a \in U, to jej pochodną jest przekształcenie

\operatorname D\mathrm f(\mathrm a)\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m,

gdzie

\operatorname D\mathrm f(\mathrm a)(\mathbf v) = \mathbf J_\mathrm f(\mathrm a)\; \mathbf v,

przy czym \mathbf J_\mathrm f(\mathrm a) oznacza macierz Jacobiego funkcji \mathrm f w punkcie \mathrm a.

Co więcej, pochodne cząstkowe \mathrm f(\mathrm x) dane są wzorem

\frac{\partial \mathrm f}{\partial x_i}(\mathrm a) := \frac{\partial \mathrm f}{\partial \mathbf e_i}(\mathrm a) = \operatorname D\mathrm f(\mathrm a)(\mathbf e_i) = \mathbf J_\mathrm f(\mathrm a)\; \mathbf e_i,

gdzie \{\mathbf e_i\} oznacza bazę kanoniczną \mathbb R^n, zaś \mathrm x = (x_1, \dots, x_n). Pochodna jest przekształceniem liniowym, więc dla wszystkich wektorów \mathbf h \in \mathbb R^n pochodna kierunkowa \mathrm f w kierunku \mathbf h wyraża się wzorem

\operatorname D\mathrm f(\mathrm a)(\mathbf h) = \sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial \mathrm f}{\partial x_i}(\mathrm a).

Związek ten jest ogólniejszej natury – zob. związek z pochodną Gâteaux.

Zachodzi także twierdzenie Schwarza mówiące, że jeśli wszystkie pochodne cząstkowe \mathrm f są oraz są ciągłe, to \mathrm f jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: funkcja bywa różniczkowalna w sensie Frécheta, jednak jej pochodne cząstkowe potrafią nie być ciągłe.

Przykład zastosowania

Metody rachunku różniczkowego dopuszczają nader sprawne wyznaczanie przybliżonych wartości skomplikowanych wyrażeń. Niech za przykład posłuży

w = \frac{(2{,}03)^4}{(3{,}998)^2}.

Mając funkcję f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R daną wzorem

f(x, y) = \frac{x^4}{y^2}

wystarczy zauważyć, iż zgodnie z powyższymi uwagami prawdziwy jest wzór

f(x + h, y + k) \approx f(x, y) + \tfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) \cdot h + \tfrac{\partial f}{\partial y}(x, y) \cdot k.

Podstawiając (x, y) = (2, 4) oraz (h, k) = (0{,}03, -0{,}002) uzyskuje się

\tfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 4\tfrac{x^3}{y^2} oraz \tfrac{\partial f}{\partial y}(x, y) = -2\tfrac{x^4}{y^3}.

Co ostatecznie daje

\begin{align} w & \approx f(2, 4) + \tfrac{\partial f}{\partial x}(2, 4) \cdot 0{,}03 + \tfrac{\partial f}{\partial y}(2, 4) \cdot (-0{,}002) \\ & = 1 + 2 \cdot 0{,}03 + (-\tfrac{1}{2}) \cdot (-0{,}002) \\ & = 1 + 0{,}06 + 0{,}001 = 1,061.\end{align}

Związek z pochodną Gâteaux

Information icon.svg  Sprawdź też: pochodna Gâteaux.

Jeśli f jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie x, to jest ona w nim także różniczkowalna w sensie Gâteaux, a g jest po prostu operatorem liniowym \operatorname A = \operatorname Df(x). Nie każda funkcja różniczkowalna w sensie Gâteaux jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Dla przykładu funkcja f o wartościach rzeczywistych określona wzorem

f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2}, & \mbox{ kiedy } (x, y) \ne (0, 0), \\ 0, & \mbox{ kiedy } (x, y) = (0, 0) \end{cases}

jest ciągłą oraz różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie (0, 0), przy czym jej pochodną jest

g(a, b) = \begin{cases} \frac{a^3}{a^2+b^2}, & \mbox{ kiedy } (a, b) \ne (0, 0), \\ 0, & \mbox{ kiedy } (a, b) = (0, 0). \end{cases}

Funkcja g nie jest operatorem liniowym, zatem funkcja f nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta.

Innym przykładem bywa funkcja f dana wzorem

f(x, y) = \begin{cases}\frac{x^3y}{x^6+y^2}, & \mbox{ kiedy } (x, y) \ne (0, 0), \\ 0, & \mbox{ kiedy } (x, y) = (0, 0), \end{cases}

która jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie (0, 0), a jej pochodna g(a, b) = 0 dla wszystkich (a, b) jest operatorem liniowym. Mimo to f nie jest ciągła w (0, 0), co da się zaobserwować zbiegając do początku układu wzdłuż krzywej (t, t^3), oraz dlatego f nie bywa tam różniczkowalna w sensie Frécheta.

Subtelniejszym przykładem jest

f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^4+y^2}\sqrt{x^2+y^2}, & \mbox{ kiedy } (x, y) \ne (0, 0), \\ 0, & \mbox{ kiedy } (x, y) = (0, 0),\end{cases}

która jest funkcją ciągłą, różniczkowalną w (0, 0), przy czym jej pochodną jest g(a, b) = 0, co raz jeszcze oznacza, że jest liniowa. Jednakże f nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, albowiem granica

\lim_{(x,y) \to (0,0)} \left|\frac{x^2y}{x^4+y^2}\right|

nie istnieje.

Poniższy przykład zachodzi tylko w nieskończenie wielu wymiarach. Niech X będzie przestrzenią Banacha, a \varphi będzie funkcjonałem liniowym na X, który jest nieciągły w x = 0 (zob. przekształcenie liniowe nieciągłe). Niech

f(x) = \|x\|\varphi(x).

Wówczas f(x) jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w x = 0, a jej pochodna jest równa 0. Mimo to f(x) nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, albowiem granica

\lim_{x \to 0} \varphi(x)

nie istnieje.

Jeśli f jest różniczkowalna w sensie Gâteaux na zbiorze otwartym U \subseteq V, to f jest różniczkowalna w sensie Frécheta, kiedy jej pochodna Gâteaux jest liniowa oraz ograniczona w każdym punkcie U oraz jest przekształceniem ciągłym U \to \operatorname L(V, W).

Pochodne wyższego rzędu

Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie podzbioru otwartego U zbioru V, to jej pochodna

\operatorname Df\colon U \to \operatorname L(V, W)

jest funkcją U o wartościach w przestrzeni \operatorname L(V, W), tzn. w przestrzeni wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z V do W. Funkcja ta także może posiadać pochodną, nazywaną pochodną drugiego rzędu z funkcji f, oraz oznaczaną przez \operatorname D^2 która, z definicji pochodnej, będzie przekształceniem

\operatorname D^2f\colon U \to \operatorname L\bigl(V, \operatorname L(V, W)\bigr).

Wielokrotnie dokonuje się utożsamienia zbioru wartości funkcji \operatorname D^2 z przestrzenią \operatorname L^2(V \times V, W), tzn. przestrzenią wszystkich ciągłych przekształceń dwuliniowych z V w W.. Dokładniej, element \varphi przestrzeni \operatorname L\bigl(V, \operatorname L(V, W)\bigr) utożsamia się takim elementem \psi należącym do \operatorname L^2(V \times V, W), że dla dowolnych x oraz y należących do V spełniony jest warunek

\varphi(x)(y) = \psi(x, y).

Intuicyjnie funkcja \varphi liniowa względem x oraz \varphi(x) liniowa względem y jest tym samym, co funkcja dwuliniowa \psi względem x oraz y.

Jeżeli funkcja

\operatorname D^2f\colon U \to \operatorname L^2(V \times V, W)

jest różniczkowalna, to jej pochodną nazwya się pochodną trzeciego rzędu funkcji f. Pochodna ta jest bez wątpienia przekształceniem trójliniowym itd. Pochodną n-tego rzędu (o ile istnieje) jest funkcja

\operatorname D^nf\colon U \to \operatorname L^n(V \times V\times \dots \times V, W)

przyjmująca wartości w przestrzeni Banacha ciągłych przekształceń n-liniowych określonych w V oraz o wartościach w W.. Indukcyjnie, funkcja f jest n+1 razy różniczkowalna na U, jeśli jest n-krotnie różniczkowalna w zbiorze U oraz dla każdego x z U istnieje takie ciągłe przekształcenie (n+1)-liniowe A, że istnieje granica

\lim_{h_{n+1} \to 0} \frac{\bigl\|\operatorname D^nf(x + h_{n+1})(h_1, h_2, \dots, h_n) - \operatorname D^nf(x)(h_1, h_2, \dots, h_n) - \operatorname A(h_1, h_2, \dots, h_n, h_{n+1})\bigr\|}{\|h_{n+1}\|} = 0

oraz zbieżność ta jest jednostajna względem h_1, h_2, \dots, h_n na ograniczonych podzbiorach V. Operator \operatorname A nazywany jest wówczas pochodną (n+1)-rzędu funkcji f w punkcie x.

Sprawdź też

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Pochodna_Frécheta&oldid=30888931”
vseo.pl