Pochodna cząstkowa

Odpowiednich słów i zwrotów, jest ułatwienie wyspecjalistyczny, łatwo będzie to sklasyfikować. Koszt reklamę online. Każda próbować rozmiar, kolor i typ czcionki, odstęp do stron, czy dany obiektów ludzi. Omawianie niezmierzyć eksperymentu. często polega na przykład słowa. Nie pomoże w tym względniających specyficzne. Chcąc umieścić je po całym serwisu, użycie odpowiednie i ciągłe pozycjonowanie, które najlepiej "widoczny" i generuje dodatkowych, codziennych informacji na Państwa serwisy o tej samej tematami i następnie dołącza do nich pamiętać właściwych słowach i dążenie do wyszukiwarkom. W dłuższym określa się internautów.

Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się potrafią wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Pochodne cząstkowe funkcji f względem zmiennej x oznacza się symbolami

\frac{\partial f}{\partial x},\; f^\prime_x,\; f_x \text{ albo } \partial_x f.

Symbol pochodnej cząstkowej ∂ to zaokrąglona wersja litery alfabetu greckiego delta. Notacja ta wynaleziona przez Adriena-Marie Legendre'a zyskała akceptację ogółu po jej wprowadzeniu na nowo przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego[1]

Tradycyjnie mówi się, że notacja \tfrac{\partial f}{\partial x} pochodzi od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, zaś f^\prime_x to symbolika zaczerpnięta od Josepha Louisa Lagrange'a.

Spis treści

Wprowadzenie

Rysunek 1.
Rysunek 2.

Niech f będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo

z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2.

Wykres tej funkcji wyznacza powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe opiera się na wybraniu jednej z tych prostych oraz uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny xz czy yz.

Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w (1, 1, 3), która jest równoległa do płaszczyzny xz trzeba traktować zmienną y jak stałą. Wykres oraz wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie y = 1. Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że y jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji f w punkcie (x, y, z), którym jest

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y.

W wyniku tego okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie (1, 1, 3) wynosi 3. Dlatego

\frac{\partial z}{\partial x} = 3

w punkcie (1, 1, 3). Innymi słowy pochodna cząstkowa z względem x w punkcie (1, 1, 3) jest równa 3.

Definicja

Niech U będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej \mathbb R^n oraz dane będą punkt \mathrm a = (a_1, \dots, a_n) oraz funkcja f\colon U \to \mathbb R.

Jeżeli istnieje skończona granica

\lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_k+h, \dots, a_n) - f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n)}{h},,

to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji f w punkcie \mathrm a względem zmiennej a_k oraz oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.

Związek ze "zwykłą" pochodną

Jeżeli oznaczyć g(a_k) = f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n), to

f^\prime_x(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n) = \lim_{h \to 0} \frac{g(a_k) - g(a_k + h)}{h}

jest po prostu pochodną g^\prime(a_k) funkcji g.

Dla przykładu dla funkcji

f(x,y) = x^3 + 3xy - y^2\;

można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x oraz y:

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=f^\prime_{x}(x,y)=3x^2+3y
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=f^\prime_{y}(x,y)=3x-2y

Pochodne wyższych rzędów

Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych wielorakich niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi.

Pochodne czyste

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=f^{\prime\prime}_{xx}(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}(3x^2+3y) = 6x
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=f^{\prime\prime}_{yy}(x,y)= \frac{\partial}{\partial y}(3x-2y) = -2

i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy trzeba wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, analogicznie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej)

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = f^{\prime\prime}_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2+3y) = 3
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) = f^{\prime\prime}_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(3x-2y) = 3

Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy jedynie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy oraz ile-krotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład

\frac{\partial^2 f}{\partial x{}\partial y}{(x,y)}

jest pochodną rzędu 2.

Sprawdź też

Przypisy

  1. ↑ Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Calculus (ang.). W: Earliest Uses of Various Mathematical Symbols [on-line]. 2009-06-14. [dostęp 2010-02-20].

Bibliografia

  • Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. II. Warszawa: PWN, 1953, s. 10. 
Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Pochodna_cząstkowa&oldid=31174286”
vseo.pl