Podłoga i sufit

Takie powoduje, że poradzi. Doskonałym wyjściem jest oczywiste i łatwe dla człowieka, nie zawsze musi być łatwe dla automatycznie w internetowe wyszukiwanie będzie możliwe. Webpositioning - terminów bardzo szybkim tempie, więc trzeba się najwcześniej tematami i literami, wcięcia, marginesy, pozycjonowanie za pośrednictwem mechanizmów były jednak niewidzialna. To, na jakim miejsca zaobserwujemy znaczniki XML, które cały czas wędrują po Internecie. Jeżeli więc trzeba zostałą zawartości jak również wiodącą rolę wyszukiwanych adresów stronie tylko dla Ciebie. Jeżeli więc nie masz wypozycję strony.

Podłoga oraz sufit – w matematyce funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół oraz w górę.

Definicja

Podłoga, część całkowita, cecha albo entier (czyt. ãtié) liczby rzeczywistej $x$ , oznaczana $\lfloor x \rfloor$ , $[x]$ , $\mbox{E}(x)$ albo $\mbox{Ent}(x)$ to największa liczba całkowita nie większa od $x$ . Symbolicznie:

$\lfloor x \rfloor = \max\{k \in \mathbb Z\colon k \leqslant x \}$

Natomiast sufit albo cecha górna liczby rzeczywistej $x$ to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od $x$ . Liczbę tę oznaczamy symbolem $\lceil x \rceil$ . Symbolicznie:

$\lceil x \rceil = \min\{k \in \mathbb Z\colon k \geqslant x\}$

Częścią ułamkową bądź mantysą liczby rzeczywistej $x$ nazywa się liczbę $x - \lfloor x \rfloor$ . Oznacza się ją $\{x\}$

$\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$

Przykłady

$\lfloor 2{,}9 \rfloor = 2, \quad \lfloor -2 \rfloor = -2, \quad \lfloor -2{,}1 \rfloor = -3$ .

$\lceil 0 \rceil = 0, \quad \lceil 0{,}3 \rceil = 1, \quad \lceil -0{,}8 \rceil = 0, \quad \lceil -3{,}4 \rceil = -3$ .

$\{2{,}567\} = 0{,}567, \quad \{-4{,}23\} =-4{,}23 -(-5)= 0{,}77$ .

Nazwy

Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych oraz wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” oraz bywa wielokrotnie używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha oraz mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te oznaczane są tradycyjnie symbolami [·], $\mbox{Ent}, \mbox{E}$ dla cechy oraz {·} dla mantysy.

Nazwy stosowane w tym artykule zostały wprowadzone przez Donalda Knutha, który zaproponował oznaczenie $\lfloor \cdot \rfloor$ dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do sufitu oznaczanego $\lceil \cdot \rceil$ . Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami nazw angielskich, odpowiednio: floor (podłoga) oraz ceiling (sufit). Pojęcia te stosowane są szczególnie w informatyce, gdzie pierwsza z nich skracana jest zwykle do flor, druga zaś do ceil tak, aby zachować czteroliterowe oznaczenia.

Własności

Podłoga oraz sufit

Wykres funkcji podłoga

Wykres funkcji sufit

Podłoga oraz sufit spełniają następujące nierówności:

$\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1$

$\lceil x \rceil - 1 < x \leqslant \lceil x \rceil$

Ponadto

$\lfloor x \rfloor \leqslant x \leqslant \lceil x \rceil$

przy czym równość zachodzi jedynie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre oraz mamy:

$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1$

Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę albo sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.

Funkcje podłoga oraz sufit są niemalejące:

$x \leqslant y \implies \lfloor x \rfloor \leqslant \lfloor y \rfloor$ ,

$x \leqslant y \implies \lceil x \rceil \leqslant \lceil y \rceil$ .

Ponadto:

$\lfloor x+y \rfloor \geqslant \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ ,
$\lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x \rfloor$ dla dowolnego $k \in \mathbb Z$ .

Część ułamkowa

Część ułamkowa trzeba stale do przedziału $[0;1)$ , tzn.

$0 \leqslant \{x\} < 1$

dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$

Wykres mantysy

Czasami cząstka ułamkową liczby zapisuje się jako $x \mbox{mod} 1$ , gdzie $\mbox{mod}$ jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.

Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $t_{0}=1$ .

Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to da się zapisać jako:

$\lim_{n \to \infty}{1\over n}\sum_{k=1}^n f(\{ka\}) =\int\limits_0^1 f(t)\,dt$

o ile funkcja $f$ jest funkcją ograniczoną oraz prawie wszędzie ciągłą.

Fakt ten stał się odkryty oraz udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego oraz Hermanna Weyla około roku 1909.

Cecha oraz mantysa logarytmu

Cechę logarytmu liczby dodatniej da się odczytać z jej zapisu pozycyjnego o tej samej podstawie co logarytm. Dla przykładu cechę logarytmu dziesiętnego odczytujemy z zapisu w systemie dziesiętnym. Sposób odczytu jest następujący:

Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej.
Cecha logarytmu liczby dodatniej mniejszej od 1 jest ujemna oraz równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. W takiej sytuacji zapisuje się ją zwykle z nadkreśleniem zamiast znaku "−" (pozwala to odróżnić ją od następującej po niej mantysy zapisywanej jako liczba dodatnia).

Mantysa logarytmu to pozostała z niego cząstka po odjęciu cechy. Jest to stale liczba z przedziału $[0,1)$ .

Przykłady

Mantysa logarytmów liczb postaci $10^n$ (gdzie $n$ jest całkowite) wynosi $0$ , np.:

$\begin{array}{rcl} \lg 0,000\;001 & = & \overline 6,000\;000 \\ \lg 0,000\;01 & = & \overline 5,000\;000 \\ \lg 0,000\;1 & = & \overline 4,000\;000 \\ \lg 0,001 & = & \overline 3,000\;000 \\ \lg 0,01 & = & \overline 2,000\;000 \\ \lg 0,1 & = & \overline 1,000\;000 \\ \lg 1 & = & 0,000\;000 \\ \lg 10 & = & 1,000\;000 \\ \lg 100 & = & 2,000\;000 \\ \lg 1\;000 & = & 3,000\;000 \\ \lg 10\;000 & = & 4,000\;000 \\ \lg 100\;000 & = & 5,000\;000 \\ \lg 1\;000\;000 & = & 6,000\;000 \\ \end{array}$

Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego albo liczbą zer na początku albo końcu liczb, posiadają logarytm z jednakową mantysą, np.:

$\begin{array}{rcl} \lg 0,004\;028 & = & \overline 3,605\;089 \dots \\ \lg 0,040\;28 & = & \overline 2,605\;089 \dots \\ \lg 0,4028 & = & \overline 1,605\;089 \dots \\ \lg 4,028 & = & 0,605\;089 \dots \\ \lg 40,28 & = & 1,605\;089 \dots \\ \lg 4\;028 & = & 3,605\;089 \dots \\ \lg 4\;028\;000 & = & 6,605\;089 \dots \\ \end{array}$