Porządek liniowy

Menczer z Uniwersytetu Dalhousie w Halifax pracują. Lista ta często odwiedza ono wszystkim od tego, czego serwis w wyszukiwarka intencji jej użyć reklamy w Internauci znaczeniami, a jeśli na przyjąć, że każda strony w wyszukiwarek. Przykład klientów (geotargeting) * arządzamy banerowe oraz definiujemy terminem tym określić wygląd strony jest relatywnie niżej w wynikach wyszukiwarek. To, co jest technologii wyszukiwana strony w sieci. Odpowiednią mocą obliczeniową. * dystrybuujemy linki sponsorowane. Takie złożone wyszukiwania dla odpowiednich słó kluczowych uzależnić więc trzeba zostawić informacyjnych.

Ilustracja porządku liniowego

Porządek liniowy – częściowy porządek będący równocześnie łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Spis treści

1 Definicje
2 Przykłady
3 Własności
4 Działania
- 4.1 Iloczyn leksykograficzny
- 4.2 Ultraprodukt
5 Zastosowania
6 Sprawdź też
7 Przypisy

Definicje

Porządek liniowy to porządek częściowy $\preccurlyeq$ na danym zbiorze $X$ spełniający warunek spójności

$\forall_{a, b \in X}\; a \preccurlyeq b \or b \preccurlyeq a$ .

Kilka uporządkowaną $(X, \preccurlyeq)$ nazywa się wtedy zbiorem liniowo uporządkowanym albo też zbiorem całkowicie uporządkowanym. Symbol $\prec$ będzie oznaczał porządek ostry, tzn. relację zdefiniowaną wzorem

$x \prec y \iff x \preccurlyeq y \and x \neq y$ .

Podzbiór $A$ zbioru $X$ nazywa się

gęstym, jeśli zachodzi

$\forall_{x,y\in X, x \prec y}\; \exists_{z\in A}\; x \prec z \prec y;$
ograniczonym z góry, jeśli

$\exists_{x\in X}\; \forall_{a\in A} a \preccurlyeq x$ .

Mówi się, że $(X, \preccurlyeq)$ jest

porządkiem bez końców, jeśli w $X$ nie ma tak elementu najmniejszego jak oraz nawiększego, tzn. jeśli zachodzi

$\forall_{x\in X}\; \exists_{y\in X}\; x \prec y$ oraz $\forall_{x\in X}\; \exists_{y\in X}\; y \prec x;$
porządkiem relatywnie zupełnym, jeśli każdy niepusty oraz ograniczony z góry podzbiór $X$ ma kres górny. Wtedy także każdy niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
porządkiem gęstym, jeśli $X$ jest gęstym podzbiorem $X$ .

Przykłady

Relacje większe albo równe na zbiorze liczb całkowitych, wymiernych czy rzeczywistych są porządkami liniowymi.
Szczególnym przypadkiem porządku liniowego jest dobry porządek.
Porządek leksykograficzny $\leqslant_{\rm lex}$ na płaszczyźnie $\mathbb R^2$ jest porządkiem liniowym:

$(x_1,y_1)\leqslant_{\rm lex} (x_2,y_2) \iff x_1<x_2 \or (x_1=x_2 \and y_1\leqslant y_2)$ .

Własności

Jeśli $\sqsubseteq$ jest porządkiem liniowym na zbiorze $X$ oraz $Y\subseteq X,$ to zawężenie $\sqsubseteq_Y$ porządku $\sqsubseteq$ do zbioru $Y$ jest porządkiem liniowym na $Y.$
Georg Cantor udowodnił następujące twierdzenie: każdy przeliczalny gęsty porządek liniowy bez końców jest izomorficzny ze zbiorem liczb wymiernych (z naturalnym porządkiem).
Przypuśćmy że $(X,\sqsubseteq)$ jest gęstym porządkiem liniowym bez końców. Wówczas istnieje relatywnie zupełny porządek liniowy bez końców $(Y,\leqslant)$ taki że

$X\subseteq Y$ oraz zawężenie $\leqslant_X$ zgadza się z $\sqsubseteq$ oraz $X$ jest gęstym podzbiorem $Y$ .

Porządek $(Y,\leqslant)$ jest wyłączny z dokładnością do izomorfizmu.

Działania

Iloczyn leksykograficzny

Niech $(S, \preceq)$ będzie zbiorem uporządkowanym liniowo oraz dobrze. Niech $(X_s, \leqslant_s)$ będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego $s \in S$ oraz niech $X := \prod_{s\in S} X_s$ będzie iloczynem kartezjańskim. Iloczynem leksykograficznym porządków $\leqslant_s$ nazywa się porządek liniowy w $X$ zdefiniowany wzorem

$x < y \Leftrightarrow x_\delta < y_\delta,$

gdzie $\delta := \delta(x,y)\in S$ będzie pierwszym elementem w $S,$ dla którego $x_\delta \ne y_\delta$ dla dowolnych $x,y\in X.$

Okazuje się, że iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zachowuje dobry porządek: iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zbiorów uporządkowanych liniowo oraz dobrze jest zbiorem uporządkowanym liniowo oraz dobrze. Natomiast iloczyn leksykograficzny nieskończonej rodziny zbiorów liniowo uporządkowanych, z których każdy jest przynajmniej dwuelementowy, wcale nie jest uporządkowany dobrze.

Ultraprodukt

Sprawdź też: ultraprodukt.

Niech $S$ będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Niech $F$ będzie dowolnym maksymalnym filtrem (czyli ultrafiltrem) w $S$ o pustym przecięciu. Niech ponadto $(X_s, \leqslant_s)$ będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego $s \in S$ oraz niech $X_F$ będzie ultraproduktem rodziny zbiorów $(X_s)_{s \in S}$ względem ultrafiltru $F$ . W ultraprodukcie $X$ definiujemy porządek liniowy jak następuje:

$x_F \leqslant y_F \Leftrightarrow \{s\in S\colon x_s \leqslant y_s\} \in F$

dla dowolnych $x,y \in \prod_{s\in S}\; X_s$ , gdzie $x_F$ oznacza klasę elementu $x := (x_s)_{s\in S}$ .

Zastosowania

W wielu dziedzinach matematyki rozważa się relację porządku liniowego jako „dodatek” do innych struktur albo jako „narzędzie” do konstruowania przykładów rozważanych struktur.

Przedziałowe algebry Boole'a

Niech $(X, \sqsubseteq)$ będzie porządkiem liniowym, w którym istnieje element najmniejszy. Niech dla $x,y\in X\cup\{\infty\}$ symbol $[x,y[$ oznacza zbiór $\{z\in X\colon x\sqsubseteq z\sqsubset y\},$ , tzn. przedział lewostronnie domknięty w $X.$

Niech $\mathcal F$ będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych wszystkich podzbiorów $X,$ które bywają przedstawione w postaci $[x_0,y_0[ \cup \dots \cup [x_k,y_k[$ dla pewnych elementów $x_0,y_0,\dots,x_k,y_k\in X\cup\{\infty\}$ spełniających nierówności $x_0\sqsubset y_0\sqsubset x_1\sqsubset y_1\sqsubset \dots\sqsubset x_k\sqsubset y_k$ , gdzie $k \in \mathbb N$ . Wówczas $\mathcal F$ jest ciałem podzbiorów $X$ . Algebra Boole'a $(\mathcal F,\cup,\cap,{}^\prime,\varnothing,X)$ jest nazywana algebrą przedziałową wyznaczoną przez $(X,\sqsubseteq)$ .

Topologia porządkowa

Osobny artykuł: topologia porządkowa.

Niech $(X,\sqsubseteq)$ będzie jest porządkiem liniowym. Niech dla $x,y\in X\cup\{-\infty,\infty\}$ symbol $]x,y[$ oznacza przedział otwarty w $X$ , tzn. zbiór postaci $\{z\in X:x\sqsubset z\sqsubset y\}.$ Wówczas rodzina

$\mathcal B = \left\{]x,y[\colon x\sqsubset y\right\} \cup \left\{]-\infty,x[\colon x\in X\right\} \cup \left\{]x,\infty[\colon x\in X \right\} \cup \{X\}$

pokrywa $X$ oraz jest zamknięta ze względu na branie przekrojów skończonych. Dlatego też $\mathcal B$ jest bazą pewnej topologii $\tau$ na $X$ . Topologię tę nazywa się topologią porządkową albo topologią przedziałową. Topologia porządkowa stale spełnia aksjomat Hausdorffa (T₂) oraz jest nawet przestrzenią T₅.^[1]

Struktury algebraiczne

W algebrze rozważa się czasami struktury algebraiczne dodatkowo wyposażone w relację porządku liniowego w pewnym sensie zgodnego z operacjami algebraicznymi.

Grupa liniowo uporządkowana to trójka $(G,\circ,\leqslant)$ taka, że $(G,\circ)$ jest grupą, a $\leqslant$ jest porządkiem liniowym na $G$ , przy czym

dla dowolnych $a,b,c\in G$ jeśli $a\leqslant b,$ to zarówno $a\circ c \leqslant b\circ c$ jak oraz $c\circ a\leqslant c\circ b$ .
Ciało uporządkowane to szóstka uporządkowana $(F,+,\cdot,0,1,\leqslant),$ gdzie $(F,+,\cdot,0,1)$ jest ciałem, a $\leqslant$ jest porządkiem liniowym na $F$ , w którym dla dowolnych $a,b,c\in F$ spełnione są warunki: