Przekształcenie liniowe

Ten artykuł trzeba dopracować zgodnie z zaleceniami edycyjnymi: napisać/poprawić definicję, usunąć nieencyklopedyczne treści, usunąć/zweryfikować prawdopodobną twórczość własną, zweryfikować treść oraz dodać źródła, poprawić styl – powinien posiadać encyklopedyczną formę, styl jest mętnym esejem nie mającym nic wspólnego z matematyką. Dokładniejsze informacje o tym, co trzeba poprawić, być może leżą na stronie dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Ten artykuł od 2012-02 wymaga uzupełnienia źródeł podanych informacji. Informacje nieweryfikowalne potrafią zostać zakwestionowane oraz usunięte. Aby uczynić artykuł weryfikowalnym, trzeba podać przypisy do materiałów opublikowanych w wiarygodnych źródłach.

Ten artykuł dotyczy pojęcia stosowanego w matematyce wyższej. Sprawdź też: funkcja liniowa w matematyce elementarnej.

Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja pomiędzy przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych pomiędzy nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).

Przekształcenia liniowe znajdują zastosowanie m.in. w zagadnieniach linearyzacji, czy aproksymacji liniowej, np. za pomocą pochodnych (również wielowymiarowych, np. w analizie wielowymiarowej); przytłaczająca przeważajaca ilość zastosowań macierzy wynika z faktu, iż reprezentują one pewne przekształcenia liniowe (w przypadku skończeniewymiarowym).

Choć w większości wypadków słowa „funkcja”, „przekształcenie” oraz „odwzorowanie” są synonimami, to termin funkcja liniowa zarezerwowany jest dla funkcji parametryzującej na płaszczyźnie (zwykle euklidesowej) prostą, zaś sformułowania przekształcenie liniowe oraz odwzorowanie liniowe odnoszą się do opisanej w tym artykule funkcji przekształcającej proste w proste albo punkt (każda z tych figur musi przechodzić przez początek przestrzeni nazywany wektorem zerowym); w dalszej części obie nazwy będą stosowane wymiennie – powiązane nazwy opisano w oddzielnej sekcji.

Definicja

  Sprawdź też: przestrzeń liniowa, kombinacja liniowa i baza.

Niech oznacza pewne ciało (np. liczby rzeczywiste, czy zespolone), a oraz będą przestrzeniami liniowymi nad tym ciałem. Funkcję nazywa się przekształceniem liniowym, jeżeli jest

• addytywna (zachowuje dodawanie wektorów),

  

• jednorodna (zachowuje mnożenie przez skalar),

  

Powyższe łączy się wielokrotnie w jeden, równoważny z nimi warunek liniowości,

przy czym istnieje wiele jego równoważnych wariantów; w ogólności przekształcenia liniowe są najogólniejszymi funkcjami pomiędzy zachowującymi kombinacje liniowe (można to dowieść z powyższych warunków za pomocą indukcji albo przyjąć za definicję).

Własności

 Osobne artykuły: obraz oraz przeciwobraz, jądro i rząd.

Na każdą funkcję da się nałożyć dodatkowe warunki, np. różnowartościowości, odwzorowywania na całą przeciwdziedzinę, czy odwracalności. W przypadku przekształceń liniowych własności te silnie ze sobą współgrają: odwzorowanie liniowe (homomorfizm) mające kolejno jedną ze wspomnianych własności nazywa się odpowiednio monomorfizmem, epimorfizmem oraz izomorfizmem (wszystkie uściśla się słowem „liniowy”, jeśli jest to konieczne). Ponadto przekształcenie liniowe przestrzeni w siebie nazywa się jej endomorfizmem; jeżeli jest ono dodatkowo odwracalne (jest izomorfizmem), to nazywa się je automorfizmem danej przestrzeni.

Istnieje też szereg pojęć służących do opisu przekształceń liniowych oraz przestrzeni, na których są one określone. Definiuje się je za pomocą pojęć kombinacji liniowej, bazy oraz wymiaru, do najważniejszych należą:

• jądro, czyli przeciwobraz wektora zerowego (należy do każdej przestrzeni liniowej);
• rząd, definiowany jako wymiar obrazu całej przestrzeni.

Za ich pomocą da się scharakteryzować każdy z powyższych rodzajów homomorfizmów: monomorfizm ma trywialne jądro (tj. złożone jedynie z wektora zerowego), epimorfizm ma pełny rząd (tzn. równy wymiarowi przeciwdziedziny), a izomorfizm jest równocześnie mono- jak oraz epimorfizmem. Ważnym wynikiem dotyczącym przekształceń liniowych jest twierdzenie Sylvestera o rzędzie, mianowicie iż wymiar dziedziny jest równy sumie wymiarów obrazu oraz jądra przekształcenia^[1]. Wynika stąd ważna obserwacja dotycząca izomorfizmów: wszystkie przestrzenie liniowe (nad ustalonym ciałem) równego wymiaru są izomorficzne, skąd wynika, iż wymiar jest niezmiennikiem izomorfizmów. Ponadto jeśli przekształcenie liniowe określone jest pomiędzy dwoma przestrzeniami liniowymi równego, skończonego wymiaru, to z twierdzenia wynika, iż każdy monomorfizm, czy epimorfizm jest izomorfizmem – innymi słowy w tym wypadku pojęcia mono-, epi- oraz izomorfizmu wynikają z siebie wzajemnie.

Twierdzenie o wykresie charakteryzuje przekształcenia liniowe spośród wszystkich funkcji określonych pomiędzy dwoma przestrzeniami liniowymi: odwzorowanie jest liniowe wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jej wykres, czyli zbiór par jest podprzestrzenią liniową przestrzeni (której wykres jest stale podzbiorem).

Pojęcia topologiczne, czy analityczne, takie jak ciągłość, czy różniczkowalność nie przydają niczego w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru – przekształcenia liniowe pomiędzy nimi są ciągłe oraz gładkie na całej dziedzinie; sytuacja zmienia się diametralnie, jeśli rozpatruje się przestrzenie nieskończeniewymiarowe, zob. osobną sekcję.

Wybór baz

 Osobne artykuły: przestrzeń współrzędnych i macierz przekształcenia liniowego.

Jeśli są przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru, to możliwe jest opisanie przekształcenia liniowego pomiędzy nimi za pomocą macierzy; niech oraz Wybranie baz odpowiednio w każdej z tych przestrzeni prowadzi do wskazania izomorfizmów oraz w przestrzenie współrzędnych (będące przestrzeniami liniowymi). Odwrotnie, każda macierz typu opisuje przekształcenie liniowe a dzięki wspomnianym izomorfizmom (wyborom baz) także w danych bazach.

Jeśli jest macierzą przekształcenia liniowego a macierz jednokolumnowa odpowiada wektorowi przestrzeni ^[2], to działaniu przekształcenia liniowego na wektor odpowiada mnożenie macierzy Podobnie mnożenie macierzy odpowiada składaniu przekształceń.

W wyniku tego ogólna teoria macierzy bywa wykorzystana do opisu przekształceń liniowych. Istnieją dwa zasadnicze powody, dla których rozpatruje się ogólne przekształcenia liniowe zamiast (obok) ich macierzy. Macierze nie spełniają swego zadania w przestrzeniach liniowych nieskończonego wymiaru, gdzie zapis ten nie przydaje nic do ogólnego rozumienia nie ułatwiając przeprowadzania konkretnych rachunków jak ma to miejsce w przypadku skończeniewymiarowym. Drugim powodem jest fakt, iż są własności, które łatwiej traktować w bardziej abstrakcyjny sposób; zbędne jest przykładowo dowodzenie, iż dana własność nie zależy od wyboru baz – w szczególności, iż są przestrzenie (zwykle nieskończeniewymiarowe), w których wybór bazy nie jest kanoniczny, tj. nie istnieje naturalny izomorfizm z przestrzenią współrzędnych (lub jej nieskończonym odpowiednikiem, zob. przykłady przestrzeni liniowych).

Endomorfizmy

  Sprawdź też: wyznacznik, ślad, wektory oraz wartości własne i wielomian charakterystyczny.

Zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni tworzy pierścień nazywany po prostu pierścieniem endomorfizmów Do opisu endomorfizmów liniowych, nazywanych nieraz „operatorami liniowymi”, na przestrzeniach skończonego wymiaru oraz ich macierzy kwadratowych stosuje się wielokrotnie pojęcia wyznacznika oraz śladu. Zwykle definiuje się je dla macierzy dowodząc ich niezależności od wyboru bazy, możliwe jest jednak zdefiniowanie bez wyboru bazy dla przekształceń liniowych, jednak wtedy konieczne jest podanie przepisu na ich obliczenie – wyraża się ją wtedy za pomocą macierzy w ustalonej bazie – odzwierciedla równoważność obu definicji. Niezmienniczość tych pojęć da się tłumaczyć za pomocą przestrzeni niezmienniczych, tj. wektorów własnych oraz stowarzyszonych z nimi wartości własnych, które opisują kierunki zachowywane przez dane przekształcenie liniowe oraz stosunki jednokładności w tychże kierunkach: wyróżnik jest iloczynem wartości własnych, a ślad – ich sumą. Rząd jest wtedy równy liczbie niezerowych wartości własnych. Jeśli choć jedna wartość własna jest zerowa, to wyróżnik także jest zerowy – przekształcenie (lub macierz) nazywa się wtedy osobliwym (lub zdegenerowanym; a rząd nie jest pełny, skąd przekształcenie nie jest epimorfizmem). Dowodzi się, że osobliwość jest równoważna nieodwracalności.

Twierdzenie o endomorfizmie

Jeśli jest przestrzenią liniową skończonego wymiaru, zaś oraz są wszystkimi, parami różnymi wartościami własnymi tego endomorfizmu, to następujące warunki są równoważne:

• jest endomorfizmem,
• 
• 

gdzie oznacza sumę prostą przestrzeni liniowych, a jest podprzestrzenią niezmienniczą stowarzyszoną z wartością własną endomorfizmu

Z powyższych uwag wynika, że wyznacznik, ślad oraz rząd są niezmiennikami endomorfizmów. Wszystkie te informacje zawarte są w wielomianie charakterystycznym przekształcenia (bądź macierzy): pierwiastkami tego wielomianu są wartości własne. Środki te okazują się niewystarczające w przypadku nieskończeniewymiarowym, gdzie pojęcia te posiadają odpowiednie uogólnienia (zob. Wymiar nieskończony).

Automorfizmy

 Osobne artykuły: automorfizm i pełna grupa liniowa.

W ogólności automorfizmy liniowe, czyli odwracalne przekształcenie liniowe przestrzeni na siebie, opisują „symetrie” przestrzeni takie jak opisane wyżej (liniowe) zmiany bazy. Gdyż złożenie automorfizmów jest automorfizmem, jest łączne z definicji, przekształcenie tożsamościowe jest automorfizmem, a dla każdego automorfizmu istnieje automorfizm do niego odwrotny, to zbiór automorfizmów przestrzeni tworzy grupę nazywaną ogólną albo pełną grupą liniową przestrzeni

Przykłady

  Sprawdź też: przykłady we współrzędnych i przykłady przestrzeni liniowych.

Do najprostszych przykładów należą funkcje jednorodne (na mocy definicji), np. stałe (monomorfizm/epimorfizm tylko dla odwzorowania w przestrzeń trywialną), tożsamościowa (monomorfizm dla wymiaru dziedziny mniejszego od przeciwdziedziny, izomorfizm dla równego, epimorfizm dla większego) czy jednokładność (jak poprzednio dla niezerowego współczynnika oraz nieodwracalne dla zerowego, przy nietrywialnej dziedzinie). Z uwagi na swoje własności pochodna także jest liniowa (w wielu swych uogólnieniach jest to warunek na nie nakładany; odwzorowanie nieodwracalne), gdzie jest funkcją różniczkowalną (dla ustalenia uwagi: rzeczywistą; składają się na one przestrzeń funkcyjną, która jest liniowa).

Przykładem przekształcenia liniowego jest tzw. forma liniowa (znana także jako funkcjonał liniowy), czyli odwzorowanie przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów (które bywa traktowane jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa nad tym ciałem). Formą liniową jest np. całka (w wielu swych odmianach) ze względu na całkowalną funkcję podcałkową (dla ustalenia uwagi: rzeczywistą, ciągłą na ograniczonym przedziale całkowania; także składają się na one liniową przestrzeń funkcyjną).

Przestrzenie przekształceń

  Sprawdź też: przestrzeń funkcyjna.

Przekształcenia liniowe składają się na przestrzeń liniową z działaniami określonymi „punktowo”, tj. które wykonywane są dla każdego wektora w ten sam sposób:

oraz

Jeśli oraz to zgodnie z rozważaniami w sekcji Wybór baz każde przekształcenie jest izomorficzne z pewnym przekształceniem a co za tym idzie, z macierzą Oznacza to, że przestrzeń wszystkich przekształceń liniowych jest izomorficzna z przestrzenią która jest z kolei izomorficzna z przestrzenią macierzy typu Wynika stąd, że każda z tych przestrzeni ma (zachowywany przy izomorfizmach) wymiar Jeśli choć jedna z liczb jest nieskończona, to powyższa równość dalej pozostaje w mocy – wymiar przestrzeni przekształceń także jest wtedy nieskończony.

Wymiar nieskończony

 Osobne artykuły: przestrzeń Banacha i operator liniowy nieciągły.

Bezpośrednim uogólnieniem przestrzeni współrzędnych na nieskończoną liczbę wymiarów jest nieskończona przestrzeń współrzędnych, w której tylko skończenie wiele współrzędnych jest wielorakich od zera, co dopuszcza branie dowolnie długich, lecz mimo wszystko skończonych kombinacji liniowych; przykładem bywa przestrzeń wielomianów jednej zmiennej (o współczynnikach z ustalonego ciała). Przekształcenia liniowe są określone w nich całkowicie analogicznie jak wyżej, jednak nie posiadają one swoich dobrych własności, np. endomorfizm przestrzeni nieskończonego wymiaru będący monomorfizmem nie musi być epimorfizmem (i na odwrót; zob. operator przesunięcia).

Opisem przestrzeni liniowych nieskończonego wymiaru, które dodatkowo wyposażone są w jakąś strukturę umożliwiającą rozpatrywanie nieskończonych szeregów odpowiadających kombinacjom liniowym, zajmuje się dział matematyki nazywany analizą funkcjonalną. Klasyczna teoria dotyczy przestrzeni unormowanych, czyli przestrzeni liniowych ze zdefiniowanym pojęciem „długości” wektora (można w niej w naturalny sposób określić strukturę metryczną, czyli przeistoczenie pojęcie „odległości”); aby zapewnić istnienie wektorów, dla których wspomniane szeregi są zbieżne zakłada się, że przestrzenie te są zupełne – przestrzenie takie nazywa się przestrzeniami Banacha. Z przyczyn historycznych przekształcenia liniowe zwykło nazywać się w analizie funkcjonalnej „operatorami liniowymi”, a formy liniowe – „funkcjonałami liniowymi” (skąd wziął swą nazwę sam dział).

Jeśli oraz są unormowanymi przestrzeniami liniowymi, to ograniczoność operatora definiuje się za pomocą warunku ograniczającego normę obrazu dowolnego wektora przez pewną wielokrotność normy tego wektora. Operator liniowy jest ograniczony wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jest ciągły (pojęcie to da się zdefiniować w ogólniejszych przestrzeniach liniowo-topologicznych). W przestrzeniach Banacha ciągłość globalna jest równoważna ciągłości lokalnej, jak także przeprowadzaniu ciągów zbieżnych do zera w ciągi ograniczone. Rozpatrywanie operatorów ograniczonych oraz ciągłych w przestrzeniach skończonego wymiaru mija się z celem, albowiem wszystkie przekształcenia liniowe pomiędzy nimi są ciągłe oraz ograniczone, co wynika z równoważności norm na tych przestrzeniach.

Wśród ważnych twierdzeń dotyczących przestrzeni nieskończonego wymiaru da się wymienić twierdzenie Hahna-Banacha, twierdzenie Banacha-Steinhausa, twierdzenie o wykresie domkniętym, czy twierdzenie o odwzorowaniu otwartym. Pojęcia wyznacznika oraz śladu uogólnia się na te przestrzenie za pomocą wyznacznika Fredholma oraz śladu funkcyjnego dla szczególnego rodzaju tzw. operatorów śladowych; innym rozszerzeniem jest wyznacznik funkcyjny. Wektory oraz wartości własne uogólniają się poprzez widmo (spektrum) operatora; diagonalizacji różnymi metodami odpowiadają wtedy różnorodne twierdzenia spektralne.

Uogólnienia

Jak wspomniano we wstępie, przekształcenia liniowe są homomorfizmami szczególnych struktur algebraicznych – przestrzeni liniowych, które z punktu widzenia algebry są modułami nad ciałem, z tym że w ogólności skalary modułów potrafią należeć do ogólniejszej struktury nazywanej pierścieniem (tworzą go np. liczby całkowite). Wszystkie wyniki natury czysto algebraicznej niewykorzystujące liniowej niezależności są prawdziwe także w teorii modułów.

Przekształcenia liniowe da się traktować jako przypadki szczególne innych przekształceń geometrycznych, najbliższym jej uogólnieniem jest przekształcenie afiniczne określane na przestrzeniach afinicznych; jego odpowiednikiem dla przestrzeni rzutowych jest przekształcenie rzutowe itd.

Sprawdź też

• przestrzeń ilorazowa, kojądro
• przekształcenie półliniowe, forma liniowa
• przekształcenie antyliniowe, forma półtoraliniowa
• przekształcenie dwuliniowe, forma dwuliniowa
• przekształcenie wieloliniowe, forma wieloliniowa

Przypisy