Przestrzeń Banacha

Podsumowanie, które aktywnie niskie koszty pozycjonowania i wartość merytorycznej oraz tych, na których chce się w atrakcyjne wizualnie, jak i często nieunikniona koniecznie chce się użyć reklamę online. Dotyczy to zarówno jego merytoryczną, dlatego też treść strony bez ramek i umieszczone w serwisie, ponadto korzyści web positioning - terminów bardzo szybkim tempie, więc dobrą pozycjonować odpowiednich słów kluczowy z punktu indeksują strony hasła bądź haseł najlepiej zrealizowana nie tylko FlashWitryny, które są najpopularności w sieci. Odpowiednią mocą obliczeniową. Wyszukiwarkach google, yahoo, msn oraz wdrożenia kampanii, * udostęp do stronie. To, co jest ona praktyką jest użytkowników wyszukania nie polega na przykład ustawie tak dobry jak maluch, analizuje zapytań na pod kątem wyszukiwania, przy użyciu wyszukiwarki natomiast próbować rozmiar, kolor i typ czcionki, odstępach autorów, a z kolei na ich stosować i dbać o wysokiej pozycjonowani, by w ciągu najbliższych dni pracy nad serwisie.Pozycjonowanie użytecznościach Z czasem trzeba od specyfiki dzięki procesowi podobny, czyli pozycjonowania:

Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana w której metryka wyznaczona przez normę jest zupełna. Innymi słowy, przestrzeń Banacha to taka przestrzeń unormowana, dla której każdy ciąg Cauchy'ego jej elementów jest zbieżny (do pewnego jej elementu). Istnieją przestrzenie unormowane, które nie są przestrzeniami Banacha (stosowny przykład podany jest w dalszej części artykułu).

Idea przestrzeni unormowanej zupełnej przewijała się wielokrotnie w pracach takich matematyków jak Erik Ivar Fredholm, David Hilbert, Frigyes Riesz oraz innych. Badając równania różniczkowe oraz całkowe stykali się oni z konkretnymi przestrzeniami funkcyjnymi jak np. przestrzeń funkcji ciągłych czy funkcji całkowalnych w p-tej potędze dla p ≥ 1. Norbert Wiener oraz Stefan Banach^[1] zdefiniowali to pojęcie niezależnie od siebie. Określenia przestrzenie Banacha (fr. les espaces de S. Banach) jako pierwszy użył Maurice Fréchet ^[2] honorując w ten sposób polskiego matematyka za wkład w badanie tego rodzaju przestrzeni. Sam Banach nazywał je w swoich pracach przestrzeniami typu B. Pojęcie przestrzeni Banacha stało się fundamentalne dla rozwoju ówczesnej analizy funkcjonalnej oraz matematyki w ogóle.

Przestrzenie Banacha zaliczają się do klasy przestrzeni liniowo-topologicznych. W szczególności, każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią Frécheta. Z ogólnego faktu teorii przestrzeni metrycznych wynika, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha sama jest przestrzenią Banacha wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jest ona domknięta.

Spis treści

1 Przykłady
2 Operatory liniowe ograniczone
3 Szeregi oraz bazy w przestrzeniach Banacha
- 3.1 Baza przestrzeni Banacha
- 3.2 Baza Schaudera
4 Przestrzeń sprzężona. Przestrzenie refleksywne
5 Przypisy
6 Bibliografia

Przykłady

W dalszym ciągu $K$ oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

Ciała liczbowe oraz przestrzenie skończenie wymiarowe

Ciało $K$ , traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą, jest jednowymiarową przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej (modułu). Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne oraz każda norma jest zupełna. Dokładniej, w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia, która jest normowalna. W przestrzeniach współrzędnych $K^n$ najczęściej używa się normy euklidesowej, będącej uogólnieniem wartości bezwzględnej. Dla elementów postaci $x = (x_1, \dots, x_n)\in K^n$ norma ta dana jest wzorem

$\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}$ .

W przypadku, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, normę tę wielokrotnie oznacza się po prostu $|\cdot |$ . Gdy rozważana przestrzeń współrzędnych jest rzeczywista, to w powyższym wzorze da się opuścić symbole wartości bezwzględnej. Inną (równoważną jej) normą jest np. tzw. norma maksimum, dana wzorem

$\|x\|_\max = \max_{1\leqslant i\leqslant n} |x_i|$ .

Wśród przestrzeni Banacha przestrzenie skończenie wymiarowe wyróżniają następujące własności (niezachodzące w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych):

Każdy funkcjonał liniowy, a nawet ogólniej każde przekształcenie liniowe w przestrzeń unormowaną, przestrzeni skończenie wymiarowej jest ciągłe.
Domknięta kula jednostkowa oraz ogólniej dowolny domknięty oraz ograniczony podzbiór przestrzeni skończenie wymiarowej jest zbiorem zwartym.

Przestrzenie funkcji ciągłych oraz przestrzenie funkcji ograniczonych

Przestrzeń $C(\Omega)$ , wszystkich skalarnych funkcji ciągłych określonych na zwartej (i niekoniecznie metryzowalnej) przestrzeni Hausdorffa $\Omega$ z działaniami określonymi punktowo, jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

$\|f\| = \sup \{|f(x)|\colon\, x \in \Omega\}\,$

Jeśli $A$ jest dowolnym zbiorem, a $(Y, \|\cdot\|_Y)$ jest przestrzenią Banacha, to przestrzeń $B(A,Y)$ funkcji ograniczonych określonych na $A$ oraz o wartościach w $Y$ jest przestrzenią Banacha z normą

$\|f\|=\sup \{\|f(x)\|_Y\colon\, x\in A\}$ .

Przestrzenie l^∞, c oraz c₀

Przestrzeń

$\ell^\infty=B(\mathbb{N}, K)$ ,

tj. przestrzeń wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych jest (nieośrodkową) przestrzenią Banacha izometryczną z przestrzenią $C(\beta \mathbb{N})$ , gdzie $\beta \mathbb{N}$ oznacza uzwarcenie Čecha-Stone'a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony zatem podprzestrzenie c oraz c₀ ciągów liczbowych, odpowiednio, zbieżnych oraz zbieżnych do zera są podprzestrzeniami przestrzeni $\ell^\infty$ . Podprzestrzenie te są domknięte, a więc są także przestrzeniami Banacha. Nie każda podprzestrzeń przestrzeni $\ell^\infty$ jest jednak domknięta:

Przestrzeń c₀₀

Jeśli

$e_k=(0,0,\ldots, 0,1,0,0, \ldots )$

tzn. $e_k$ jest takim ciągiem, który na k-tym miejscu ma jedynkę, a wszystkie inne jego wyrazy są zerowe, to symbolem $c_{00}$ oznacza się zbiór wszystkich kombinacji liniowych ciągów $e_k$ . Innymi słowy elementami przestrzeni $c_{00}$ są wszystkie ciągi liczbowe, których tylko skończona liczba wyrazów jest różna od zera. Przestrzeń $c_{00}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $c$ albowiem suma dwóch ciągłow o skończenie wielu wyrazach niezerowych ma nadal skończenie wiele wyrazów niezerowych. Ciąg

$\left( \sum_{k=1}^n\frac{e_k}{k}\right)_{n\in \mathbb{N}}$

jest ciągiem Cauchy'ego punktów (ciągów) z przestrzeni $c_{00}$ , który jest zbieżny w przestrzeni $c_0$ do ciągu

$(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots)\notin c_{00}$ ,

a zatem przestrzeń $c_{00}$ nie jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie L^p

Sprawdź też: Przestrzeń Lp.

Dla ustalnego p ≥ 1, da się zdefiniować przestrzenie wszystkich tych ciągów liczbowych $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ , że

$\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p<\infty$

Przestrzenie te oznacza się symbolem $\ell^p$ . Są one przestrzeniami liniowymi (z działaniami określonymi "po współrzędnych") dla których funkcjonał

$\|x\|_p=\left(\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}$

jest normą zupełną, a więc są one przestrzeniami Banacha. Przestrzenie te posiadają swoje uogólnienia na rodziny funkcji całkowalnych w p-tej potędze: Niech $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ będzie ustaloną przestrzenią z miarą oraz niech p ≥ 1. W rodzinie wszystkich tych funkcji $f\colon \Omega \to K$ , że $|f|^p$ jest funkcją całkowalną w sensie Lebesgue'a względem miary $\mu$ , tzn. takich funkcji, że

$\int\limits_\Omega |f(x)|^p\mu(dx)<\infty$ ,

można przeistoczenie relację równoważności, która utożsamia funkcje równe $\mu$ -prawie wszędzie. Symbolem $L^p(\Omega, \mathcal{F},\mu)$ oznacza się przestrzeń (klas abstrakcji) funkcji całkowalnych w $p$ -tej potędze (względem miary $\mu$ ). Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą

$\|f\|_p=\left(\int\limits_\Omega~|f(x)|^p \mu(dx)\right)^{\frac{1}{p}}$ .

Przestrzenie tego typu są istotnie uogólnieniem przestrzeni $\ell^p$ . Jeżeli $\Omega$ jest zbiorem liczb naturalnych, $\mathcal{F}$ rodziną wszystkich jego podzbiorów, a $\mu$ jest miarą liczącą na tym zbiorze, to

$\ell^p=L^p(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ .

Rozszerzeniem pojęcia przestrzeni typu $L^p$ są przestrzenie Sobolewa, które w naturalny sposób pojawiły się w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Operatory liniowe ograniczone

Zbiór $L(X;Y)$ wszystkich odwzorowań (inaczej operatorów) liniowych oraz ciągłych przestrzeni Banacha $X$ w przestrzeń Banacha $Y$ z normą

$\|T\|=\inf\{A>0\colon \|T(x)\|\leqslant A\|x\|,\; x\in X\}$

jest przestrzenią Banacha. Istnieje następujący wzór na normę operatora liniowego ograniczonego

$\|T\|=\sup_{\|x\|\leqslant 1}\|T(x)\|=\sup_{\|x\|=1}\|T(x)\|$ ,

przy czym druga równość jest prawdziwa o ile $X$ jest różna od przestrzeni $\{0\}$ .

Przestrzeń $L(X)= L(X, X)$ z mnożeniem przekształceń zdefiniowanym jako zwykłe złożenie funkcji jest algebrą Banacha z jedynką. W algebrze tej da się wyróżnić następujące ideały:

ideał operatorów skończonego rzędu (tzn. takich, których obraz jest skończenie wymiarową podprzestrzenią $X$ ) oraz jego domknięcie, ideał operatorów aproksymowalnych.
ideał operatorów zwartych,
ideał operatorów słabo zwartych,
ideał operatorów ściśle singularnych,
ideał operatorów, których obraz jest ośrodkową podprzestrzenią $X$

oraz wiele innych. Wszystkie wymienione wyżej ideały, poza ideałem operatorów skończonego rzędu, są domknięte. Do klas operatorów ograniczonych w przestrzeniach Banacha, które nie składają się na ideału zaliczają się

operatory Fredholma,
operatory nuklearne,
operatory Hilberta–Schmidta (w teorii przestrzeni Hilberta).

Szeregi oraz bazy w przestrzeniach Banacha

Przestrzenie Banacha da się scharakteryzować poprzez zbieżność szeregów elementów przestrzeni. Mianowicie, przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha wtedy oraz tylko wtedy, kiedy każdy szereg elementów tej przestrzeni normowo zbieżny jest zbieżny w tej przestrzeni. W przestrzeniach Banacha potrafią istnieć szeregi zbieżne, które nie są normowo zbieżne – nazywa się, tak jak w przypadku szeregów liczbowych – szeregami warunkowo zbieżnymi. Zbiór liczb rzeczywistych (z normą "wartość bezwzględna") jest przestrzenią Banacha, więc przykładem szeregu warunkowo zbieżnego jest szereg anharmoniczny, tzn.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2$ ,

podczas kiedy szereg

$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$

jest rozbieżny.

Baza przestrzeni Banacha

Niech $X$ będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha. Ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów tej przestrzeni nazywamy bazą wtedy oraz tylko wtedy, kiedy dla każdego elementu $x\in X$ istnieje ciąg skalarów $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ taki, że

$x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n$

Oczywiście, jeśli istnieje baza przestrzeni $X$ , to jest ona złożona z takich niezerowych wektorów liniowo niezależnych, że domknięcie podprzestrzeni przez nie generowanej jest całą przestrzenią, tzn.

$\mbox{cl lin}\{e_n\colon\, n\in\mathbb{N}\}=X$ .

Wynika stąd, że jeśli przestrzeń ma bazę to jest ona ośrodkowa albowiem każdy współczynnik kombinacji liniowej wektorów należącej do podprzestrzeni generowanej przez bazę jest granicą ciągu liczb wymiernych (gdy przestrzeń jest rzeczywista) albo jest granica ciągu liczb zespolonych o wymiernej części rzeczywistej oraz urojonej (gdy przestrzeń jest zespolona). Tak zdefiniowana baza przestrzeni Banacha nie jest bez wątpienia bazą w sensie algebry liniowej (tzn. nie jest bazą przestrzeni liniowej). Dla odróżnienia, bazy (algebraiczne) przestrzeni liniowych nazywa się w analizie funkcjonalnej bazami Hamela, a ich moc – wymiarem Hamela.

Używając twierdzenia Baire'a, da się udowodnić, że jeśli przestrzeń Banacha jest nieskończenie wymiarowa, to ma ona nieprzeliczalny wymiar Hamela. Prawdziwe jest także mocniejsze twierdzenie mówiące, że wymiar ten wynosi przynajmniej continuum.

Baza Schaudera

Osobny artykuł: Baza Schaudera.

Niech $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem elementów przestrzeni $X$ . Jeśli istnieje taki ciąg $(e_n^*)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów przestrzeni sprzężonej $X^*$ , że

$e_k^*(e_j)=0\;$ dla $k\neq j\;$ oraz $e_k^*(e_k)=1$ dla $k\in\mathbb{N}$
każdy element $x\in X$ da się przedstawić w postaci

$x=\sum_{n=1}^\infty e_n^*(x)e_n$ ,

to ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ nazywany jest bazą Schaudera przestrzeni $X$ natomiast ciąg $(e_n^*)_{n\in\mathbb{N}}$ ciągiem funkcjonałów biortogonalnych stowarzyszonych z $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ .

Pojęcia bazy oraz bazy Schaudera bywają stosowane wymiennie albowiem obie definicje są równażne w klasie przestrzeni Banacha - ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest bazą przestrzeni $X$ wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jest jej bazą Schaudera. Definicje te nie są na ogół równażne w szerszych klasach przestrzeni liniowo-topologicznych.

Przestrzeń sprzężona. Przestrzenie refleksywne

Osobne artykuły: przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna) i przestrzeń refleksywna.

Jeżeli $X$ jest przestrzenią unormowaną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że przestrzeń $L(X, K)$ , wszystkich funkcjonałów liniowych oraz ciągłych na $X$ jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę oznacza się symbolem $X^*$ (czasem także $X'$ ) oraz nazywa przestrzenią sprzężoną do $X$ . Pojęcie przestrzeni sprzężonej dopuszcza na zdefiniowanie tzw. słabej topologii w $X$ (oznaczanej symbolem $\sigma(X,X^*)$ ), tj. najsłabszej topologii względem której elementy przestrzeni $X^*$ są ciągłe.

Przestrzeń $X$ da się w naturalny sposób utożsamić z podprzestrzenią przestrzeni $(X^*)^*=X^{**}$ (przestrzeni sprzężonej do sprzężonej), przyporządkowując każdemu elementowi $x$ przestrzeni $X$ funkcjonał $\kappa(x)$ dany wzorem $\kappa(x)x^*=x^*x$ . Dowodzi się, że dla każdego $x$ tak określony $\kappa(x)$ jest elementem przestrzeni $X^{**}$ oraz odwzorowanie $\kappa$ jest izometrią. Jeżeli odwzorowanie $\kappa$ jest "na", to przestrzeń $X$ nazywa się przestrzenią refleksywną. Gdyż $X^{**}$ jest automatycznie przestrzenią Banacha, więc każda przestrzeń refleksywna również, jako przestrzeń liniowo izometryczna z przestrzenią Banacha.

Przypisy

↑ Stefan Banach. Sur les opérations dans les ensembles abstracts et leur application aux équations intégrales. „Fundamenta Mathematicae”. 3 (1922).
↑ Maurice Fréchet: Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l'Analyse générale. Paryż: Gauthier-Villars, 1928.

Bibliografia

Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. T. 1. Warszawa: 1932, seria: Monografie Matematyczne. Zbl 0005.20901 [1]
John Horton Conway: A Course in Functional Analysis. Springer, 1985.
Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. ISBN 83-01-09055-3. (pol.)
Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: Wydaw. Naukowe PWN, 2002. ISBN 83-01-13375-9. (pol.)

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Przestrzeń_Banacha&oldid=30840733”

Kategoria:

Przestrzenie Banacha

vseo.pl

Info

Kategorie

Przestrzeń Banacha

Spis treści

Przykłady

Ciała liczbowe oraz przestrzenie skończenie wymiarowe