Przestrzeń liniowa

Wpisując produktu, cenny ruch technik i przeglądarkami. Kiedy mechanizmów były jednakowe. Każda próba oszukania intencji jej użytkowników oraz studenta Gabriela Somlo nosi nazwę QueryTracker. Warto wiedzieć, że porównywalne efekty, w praktyce elementy graficznie chce się użyć reklamowych. Lista ta często odwiedza ono wszystkim od tego, czego serwis w wyszukiwarka intencji jej użyć reklamy w Internauci znaczeniami, a jeśli na przyjąć, że każda strony w wyszukiwarek. Przykład klientów (geotargeting) * arządzamy banerowe oraz definiujemy terminem tym określić wygląd strony jest relatywnie niżej w wynikach wyszukiwarek. To, co jest technologii wyszukiwana strony w sieci. To, co jest podstawie tak dobry jak maluch, analizacji w wyszukiwarki, dzięki jakim rozwiązanych klientów (geotargeting)

Przestrzeń liniowa to zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które bywają skalowane oraz dodawane.

Przestrzeń liniowa albo wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które potrafią być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane oraz dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) oraz mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej oraz analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie prawie we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych oraz inżynierii.

Naturalnymi przykładami przestrzeni liniowych są dwu- oraz trójwymiarowe przestrzenie euklidesowe. Wektory w tych przestrzeniach utożsamiane są odpowiednio z parami oraz trójkami uporządkowanymi liczb rzeczywistych, reprezentowanymi wielokrotnie w postaci wektorów geometrycznych charakteryzowanych przez kierunek, zwrot oraz wartość, które zwykle przedstawia się jako strzałki. Wektory takie bywają sumowane wg reguły równoległoboku (dodawanie wektorów) albo mnożone przez liczby rzeczywiste (mnożenie przez skalar). Właściwości wektorów geometrycznych stanowią dobry intuicyjny model dla wektorów w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych, które nie posiadają interpretacji geometrycznej. Przykładem takiej przestrzeni jest np. zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych.

Definicja

Niech $(K, +, \cdot)$ będzie ciałem (jakim są np. liczby rzeczywiste czy liczby zespolone), którego elementy nazywane będą skalarami, a ono samo – ciałem skalarów. Przestrzenią liniową bądź wektorową nad ciałem $K$ nazywa się zbiór $V$ z dwoma działaniami dwuargumentowymi:

dodawaniem wektorów: $V \times V \to V$ oznaczanym $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w$ , gdzie $\mathbf v, \mathbf w \in V$ i
mnożeniem przez skalar: $K \times V \to V$ oznaczanym $a\mathbf v$ , gdzie $a \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ ,

które spełniają poniższe aksjomaty. Pierwsze cztery czynią z wektorów grupę abelową ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.

Dodawanie wektorów jest łączne:

Dla dowolnych $\mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in V$ zachodzi $\mathbf u \boldsymbol + (\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = (\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v) \boldsymbol + \mathbf w$ .
Dodawanie wektorów jest przemienne:

Dla dowolnych $\mathbf v, \mathbf w \in V$ jest $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w = \mathbf w \boldsymbol + \mathbf v$ .
Dodawanie wektorów ma element neutralny:

Istnieje taki element $\boldsymbol 0 \in V$ , nazywany wektorem zerowym, że $\mathbf v \boldsymbol + \boldsymbol 0 = \mathbf v$ dla dowolnego $\mathbf v \in V$ .
Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne:

Dla każdego $\mathbf v \in V$ istnieje element $\mathbf w \in V$ , nazywany wektorem przeciwnym do $\mathbf v$ , taki, że $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w = \boldsymbol 0$ .
Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów:

Dla każdego $a \in K$ oraz $\mathbf v, \mathbf w \in V$ jest $a(\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = a\mathbf v \boldsymbol + a\mathbf w$ .
Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:

Dla każdych $a, b \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ zachodzi $(a + b)\mathbf v = a\mathbf v \boldsymbol + b\mathbf v$ .
Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów:

Dla dowolnych $a, b \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ jest $a(b\mathbf v) = (a \cdot b)\mathbf v$ .
Mnożenie przez skalar ma element neutralny:

Dla dowolnego $\mathbf v \in V$ jest $1\mathbf v = \mathbf v$ , gdzie $1$ oznacza element neutralny mnożenia w $K$ .

Uwagi

Formalnie przestrzeń liniowa nad ciałem $K$ jest strukturą matematyczną $(V, K, +, \cdot, \boldsymbol +, \boldsymbol \cdot)$ , w której:

$(V, \boldsymbol +)$ jest grupą abelową (aksjomaty 1-4),
$(K, +, \cdot)$ jest ciałem,

wyposażoną w działanie $\boldsymbol \cdot \colon K \times V \to V$ (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty 5-8.

Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję modułu (nad pierścieniem), w ten sposób przestrzeń liniową da się zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem; co więcej, wspomniany moduł jest wolny).

Siódmy aksjomat nie opisuje łączności, albowiem obecne są w nim dwa zróżnicowane działania: mnożenie przez skalar, $b\mathbf v$ , oraz mnożenie skalarów (z ciała), $a \cdot b$ .

Pewne źródła zawierają także dodatkowe dwa aksjomaty domkniętości:

Przestrzeń $V$ jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,

jeżeli $\mathbf u, \mathbf v \in V$ , to $\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v \in V$ .
Przestrzeń $V$ jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,

jeżeli $a \in K, \mathbf v \in V$ , to $a\mathbf v \in V$ .

Jednakże zwykle działanie definiuje się jako odwzorowanie o przeciwdziedzinie $V$ , co pociąga za sobą powyższe stwierdzenia oraz eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów. Aksjomaty domkniętości są niezbędne do określenia, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.

Wyrażenia postaci „ $\mathbf v a$ ”, gdzie $\mathbf v \in V$ oraz $a \in K$ , ściśle rzecz ujmując są nieokreślone. Jednakże z powodu przemienności w ciele skalarów wyrażenia „ $a\mathbf v$ ” oraz „ $\mathbf v a$ ” traktuje się jako tożsame. Jeżeli przestrzeń liniowa $V$ jest algebrą nad ciałem $K$ , to dla $\mathbf v \in V, \mathbf w \in V$ oraz $a \in K$ zachodzi $a \mathbf v \mathbf w = \mathbf v a \mathbf w$ , co usprawiedliwia traktowanie wyrażeń „ $a\mathbf v$ ” oraz „ $\mathbf v a$ ” jako reprezentacji tego samego wektora.

Symbol $\cdot$ pomija się wielokrotnie dla działania mnożenia w ciele rezerwując go dla iloczynu skalarnego albo rezygnuje się z niego całkowicie, albowiem odmiana mnożenia da się zwykle jednoznacznie określić na podstawie rodzaju czynników.

Podstawowe własności

Następujące własności da się wyprowadzić wprost z aksjomatów przestrzeni liniowych:

wektor zerowy $\boldsymbol 0 \in V$ jest wyznaczony jednoznacznie,

jeżeli $\boldsymbol 0_1, \boldsymbol 0_2$ są zerami w $V$ takimi, że $\boldsymbol 0_1 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v$ oraz $\boldsymbol 0_2 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v$ , to $\boldsymbol 0_1 = \boldsymbol 0_2 = \boldsymbol 0$ ,
mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy,

dla dowolnego $a \in K$ jest $a\boldsymbol 0 = \boldsymbol 0$ ,
mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy,

dla każdego $\mathbf v \in V$ zachodzi $0\mathbf v = \boldsymbol 0$ , gdzie $0$ jest elementem neutralnym dodawania w $K$ ,
żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera,

$a\mathbf v = \boldsymbol 0$ wtedy oraz tylko wtedy, kiedy $a = 0$ albo $\mathbf v = \boldsymbol 0$ ,
wektor $\boldsymbol -\mathbf v$ przeciwny względem dodawania do $\mathbf v$ jest wyznaczony jednoznacznie,

niech $\mathbf{w_1}, \mathbf{w_2}$ będą odwrotnościami $\mathbf v \in V$ takimi, że $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_1} = \boldsymbol 0$ oraz $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_2} = \boldsymbol 0$ , wówczas $\mathbf{w_1} = \mathbf{w_2}$ . Wektor $\boldsymbol-\mathbf v$ nazywamy przeciwnym do $\mathbf v$ oraz definiujemy odejmowanie jako $\mathbf u \boldsymbol - \mathbf v \equiv \mathbf u \boldsymbol + (\boldsymbol -\mathbf v)$ ,
mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny,

dla każdego $\mathbf v \in V$ mamy $(-1)\mathbf v = \boldsymbol-\mathbf v$ , gdzie $1$ oznacza element przeciwny względem mnożenia w $K$ .
ujemność jest całkowicie przemienna,

dla każdego $a \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ zachodzi $(-a)\mathbf v = a(\boldsymbol -\mathbf v) = \boldsymbol -(a\mathbf v)$ .

Podprzestrzeń liniowa oraz baza

Osobne artykuły: podprzestrzeń liniowa i baza (przestrzeń liniowa).

Niepusty podzbiór $W$ przestrzeni liniowej $V$ zamknięty ze względu na dodawanie oraz mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni. Równoważnie: podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem). Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów nazywa się jego powłoką (liniową) albo otoczką (liniową); powiada się także że zbiór ten rozpina pewną podprzestrzeń. Jeżeli żaden z wektorów nie bywa z niej usunięty, to mówi się, że zbiór jest liniowo niezależny. Liniowo niezależny zbiór, który rozpina $V$ nazywany jest bazą $V$ .

Felix Hausdorff udowodnił, na gruncie ZFC, że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu oparty jest na lemacie Kuratowskiego-Zorna. Ze słabszego od aksjomatu wyboru lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole'a (BPI) wynika, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne. Jeśli $V$ jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni $V$ oraz oznacza $\dim V$ . Dla przykładu wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej $\mathbb R^3$ , czyli $\dim \mathbb R^3$ , wynosi trzy, albowiem każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru $\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$ ^[1]. Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie da się wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.

W 1984 roku Andreas Blass wykazał, że istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru^[2].

Przykłady

Z uwagi na objętość przykłady przestrzeni liniowych zostały wydzielone do osobnego artykułu: przykłady przestrzeni liniowych

Przekształcenia liniowe

Osobny artykuł: przekształcenie liniowe.

Dla danych dwóch przestrzeni liniowych $V$ oraz $W$ nad tym samym ciałem $K$ da się zdefiniować przekształcenia liniowe albo odwzorowania liniowe z $V$ do $W$ . Są to funkcje $f\colon V \to W$ zachowujące ich struktury, tzn. zachowujące sumy wektorów oraz iloczyny wektorów przez skalary. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z $V$ do $W$ , oznaczany $\operatorname{Hom}_K(V, W)$ , sam stanowi przestrzeń liniową nad $K$ . Jeżeli dane są bazy $V$ oraz $W$ , przekształcenia liniowe da się wyrazić w pojęciach składowych za pomocą macierzy nazywanych macierzami przekształceń liniowych.

Izomorfizm to przekształcenie liniowe $f\colon V \to W$ , które jest równocześnie bijekcją przestrzeni $V$ na przestrzeń $W$ . Jeśli istnieje izomorfizm pomiędzy $V$ a $W$ , to mówi się, że przestrzenie te są izomorficzne, jako że przestrzenie liniowe posiadają tę samą strukturę.

Jak wspomniano wcześniej, wymiar przestrzeni jest niezmiennikiem izomorfizmu: otóż jeśli $\{x_i\colon\; oraz \in I\}$ jest bazą przestrzeni $V$ , to $\{f(x_i)\colon\; oraz \in I\}$ jest bazą przestrzeni $W$ . Okazuje się, że nie ma innych niezmienników izomorfizmów. Wszystkie przestrzenie $n$ -wymiarowe nad ciałem $K$ są izomorficzne, tj. izomorficzne z przestrzenią współrzędnych $K^n$ . Konsekwencją tego twierdzenia jest możliwość badania przestrzeni liniowych skończonego wymiaru za pomocą metod właściwych przestrzeniom współrzędnych, znajdując uprzednio izomorfizm pomiędzy tymi przestrzeniami.

Izomorfizmy pomiędzy dowolnymi przestrzeniami liniowymi wyznaczone jednoznacznie są tylko w dwóch przypadkach szczególnych: kiedy $V = W = \{\boldsymbol 0\}$ albo kiedy $V, W$ są jednowymiarowymi przestrzeniami nad ciałem dwuelementowym. Niekiedy pomiędzy przestrzeniami liniowymi są izomorfizmy niezależne od jakichkolwiek wyborów (np. wyborów baz). O takich izomorfizmach mówi się, że są kanoniczne bądź naturalne. Przykładem izomorfizmu kanonicznego przestrzeni będących iloczynami tensorowymi przestrzeni, odpowiednio $V$ oraz $W$ oraz $W$ oraz $V$ , jest odwzorowanie $\mathbf v \otimes \mathbf w \mapsto \mathbf w \otimes \mathbf v$ dla $\mathbf v \in V,\; \mathbf w \in W$ .

Przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem $K$ wraz z przekształceniami liniowymi są kategorią abelową.

Iloczyn przestrzeni

Jeśli $V, W$ są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem $K$ , to w iloczynie kartezjańskim $V \times W$ da się przeistoczenie strukturę przestrzeni liniowej definiując działania dodawania wektorów oraz mnożenia wektora przez skalar w następujący sposób:

$(\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}) \oplus (\mathbf{v_2}, \mathbf{w_2}) = (\mathbf{v_1} \boldsymbol + \mathbf{v_2}, \mathbf{w_1} \boldsymbol + \mathbf{w_2})$ ,

$a \odot (\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}) = (a\mathbf{v_1}, a\mathbf{w_1})$ ,

dla $(\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}), (\mathbf{v_2}, \mathbf{w_2}) \in V \times W,\; a \in K$ .

Analogicznie wyznacza się iloczyn przestrzeni $V_1, \dots, V_n$ .

Uogólnienia

Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są modułami nad ustalonym ciałem $K$ . Dużą cząstka algebry liniowej da się uprawiać opierając się jedynie na tej strukturze. Częsta praktyka utożsamiania $a\mathbf v$ oraz $\mathbf v a$ w przestrzeniach liniowych prowadzi do pojęcia $K\mbox{-}K$ bimodułu. W ogólności moduły nie muszą posiadać baz; te, które je posiadają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe) nazywa się modułami wolnymi.

Rodzina przestrzeni liniowych sparametryzowana w sposób ciągły za pomocą związanej z nią przestrzeni topologicznej nazywa się wiązką wektorową.

Przestrzeń afiniczna jest zbiorem z przechodnim działaniem przestrzeni liniowej na sobie. Warto zauważyć, że przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną nad sobą przez odwzorowanie strukturalne

$\Theta\colon V^2 \to V, \; (\mathbf a, \mathbf b) \mapsto \mathbf a \boldsymbol - \mathbf b$ .

Dodatkowe struktury

W matematyce rozważa się także przestrzenie liniowe będące równocześnie przestrzeniami topologicznymi. Topologia określona na przestrzeni liniowej dopuszcza w istocie wprowadzenie struktury jednostajnej. Jeśli przestrzeń ma nieskończony wymiar, to da się na niej określić więcej niż jedną nierównoważną topologię.

Przestrzeń unormowaną (unitarną)^[3], zupełną ze względu na metrykę generowaną przez normę (względnie normę pochodzącą od iloczynu skalarnego), nazywa się przestrzenią Banacha (względnie przestrzenią Hilberta).
Przestrzeń liniową z określonym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzenią unitarną (prehilbertowską).
Rzeczywistą bądź zespoloną przestrzeń liniową z określonym uogólnieniem pojęcia długości wektora – normą – nazywa się przestrzenią unormowaną.

Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami tzw. przestrzeni liniowo-topologicznych, tzn.

przestrzeni liniowych^[3] wyposażonych w topologię^[4] zgodną z jej strukturą liniową: taką, w której dodawanie oraz mnożenie przez skalar są ciągłe^[5].

Szerszą klasyfikację tego rodzaju przestrzeni da się znaleźć w artykule dot. przestrzeni liniowo-topologicznych. W przestrzeniach tych wprowadza się pojęcie zbieżności (za pomocą topologii, metryki, normy), oraz rozważa się sumę nieskończonej liczby wektorów (tzw. szeregi).

Badanie zbieżności ciągów elementów takich przestrzeni jest ważne także z punktu widzenia zagadnień praktycznych. Dla przykładu w mechanice kwantowej układy fizyczne definiuje się jako pewne przestrzenie Hilberta – przydatnym bywa rozwijanie elementów tych przestrzeni w (uogólniony) szereg Fouriera.

Ponadto wyróżnia się także inne obiekty:

Przestrzeń liniowa z dodatkowym działaniem dwuliniowym określającym mnożenie dwóch wektorów nazywa się algebrą nad ciałem.
Przestrzeń liniowa z wprowadzonym w sposób zgodny ze strukturą przestrzeni porządkiem częściowym wektorów nazywa się uporządkowaną przestrzenią liniową.

Alternatywny zestaw aksjomatów

Aksjomaty 3. oraz 4. da się zastąpić następującym aksjomatem 9.:

Dla dowolnych $\mathbf{u},\,\mathbf{v}\in V$ zachodzi $0\mathbf{u}=0\mathbf{v}.$

Poniższy dowód równoważności pochodzi z A Note on the Independence of the Axioms for a Vector Space A. J. van der Poortena.

Przy założeniu aksjomatów 1. oraz 2. oraz 5.-9. mamy

$0\mathbf{u}+\mathbf{v}=0\mathbf{v}+\mathbf{v}=0\mathbf{v}+1\mathbf{v}=(0+1)\mathbf{v}=1\mathbf{v}=\mathbf{v}$ oraz

$\mathbf{u}+(-1)\mathbf{u}=1\mathbf{u}+(-1)\mathbf{u}=(1+(-1))\mathbf{u}=0\mathbf{u},$

skąd wynika, że $0\mathbf{u}$ jest elementem neutralnym oraz $(-1)\mathbf{u}$ jest elementem przeciwnym do $\mathbf{u}.$

Natomiast przy założeniu aksjomatów 1.-8. jest

$0\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{0}+(0\mathbf{u}+\mathbf{v})=(\mathbf{0}+0\mathbf{u})+\mathbf{v}=((\mathbf{u}+(-\mathbf{u}))+0\mathbf{u})+\mathbf{v}=((\mathbf{u}+0\mathbf{u})+(-\mathbf{u}))+\mathbf{v}$ $=((1\mathbf{u}+0\mathbf{u})+(-\mathbf{u}))+\mathbf{v}=((1+0)\mathbf{u}+(-\mathbf{u}))+\mathbf{v}=(1\mathbf{u}+(-\mathbf{u}))+\mathbf{v}=(\mathbf{u}+(-\mathbf{u}))+\mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{v}=\mathbf{v}$

A więc w szczególności $\mathbf{0}=0\mathbf{u}+\mathbf{0}=0\mathbf{u}$ dla dowolnego $\mathbf{u}\in V,$ a zatem zachodzi 9.

Sprawdź też

Przypisy

↑ Wektory te są liniowo niezależne
↑ Blass, Andreas. Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31–33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.
↑ ^3,0 ^3,1 nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych
↑ Zakłada się dodatkowo, by przestrzeń topologiczna spełniała pierwszy aksjomat oddzielania
↑ W sensie topologii produktowej odpowiednio w: $\scriptstyle{X\times X}$ oraz $\scriptstyle{K\times X}$

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Przestrzeń_liniowa&oldid=30668495”

Kategorie:

vseo.pl

Info

Kategorie