Przestrzeń stanów

Ten artykuł od 2011-12 wymaga uzupełnienia źródeł podanych informacji. Informacje nieweryfikowalne potrafią zostać zakwestionowane oraz usunięte. Aby uczynić artykuł weryfikowalnym, trzeba podać przypisy do materiałów opublikowanych w wiarygodnych źródłach.

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów układy statyczne - układy dynamiczne układy liniowe - układy nieliniowe układy stacjonarne - układy niestacjonarne układy deterministyczne - układy stochastyczne układy o parametrach skupionych - układy o parametrach rozłożonych uklady ciągłe - układy dyskretne więcej... Wybrane typy regulacji regulacja stałowartościowa regulacja nadążna regulacja optymalna regulacja adaptacyjna więcej... Metody klasyczne opis typu wejście-wyjście transmitancja charakterystyki czasowe charakterystyki częstotliwościowe linie pierwiastkowe stabilność regulacja PID Nowoczesna teoria sterowania równania stanu - stan układu sterowalność - przesuwanie biegunów regulator liniowo-kwadratowy obserwowalność - obserwator stanu filtr Kalmana regulator LQG sterowanie predykcyjne krzepkość - H-nieskończoność Inne zagadnienia identyfikacja systemów Dziedziny powiązane teoria układów dynamicznych przetwarzanie sygnałów sztuczna inteligencja teoria decyzji metody numeryczne Perspektywa historyczna historia automatyki teoretycy sterowania

pokaż • dyskusja •

Stan układu - jedno z pojęć w teorii układów dynamicznych oraz teorii sterowania.

Stan układu a wejścia oraz wyjścia układu

Pytając o stan danego układu (obiektu), żądamy ścisłej informacji ilościowej, umożliwiającej określenie co dzieje się z układem w danej chwili (nawet jeśli nie jest on podany żadnym oddziaływaniom zewnętrznym) oraz jak może się on zachowywać w najbliższej przyszłości. Stan charakteryzuje układ odznaczający się pewnego rodzaju pamięcią, tzn. stan zawiera informację zakumulowaną z całej przeszłości układu aż do danej chwili oraz nie może ulegać nagłym, skokowym zmianom. W wypadku większości układów (poza najprostszymi) wyjście układu w chwili zależy nie tylko od wejścia układu w chwili , ale także od przeszłych wejść układu (we wszystkich chwilach , gdzie ). Całkowity wpływ na układ minionych wartości wejść jest reprezentowany przez pojęcie stanu wewnętrznego układu. Dzięki wprowadzeniu tego pojęcia upraszczamy analizę układu, bowiem by wyznaczyć wyjście układu w chwili musimy znać tylko dwie wielkości: wejścia układu w chwili bieżącej oraz stan układu w chwili bieżącej.

Zmienne stanu

Stan układu jest jego zmienną wewnętrzną, albowiem da się go określić tylko pośrednio. Zmienne stanu są związane z istnieniem elementów magazynujących (na przykład energię potencjalną czy kinetyczną, jak sprężyna albo kondensator) więc liczba zmiennych stanu jest równa liczbie niezależnych elementów magazynujących. Elementy magazynujące zachowują się jak elementy całkujące (integratory). Integratory w ciągłych układach sterowania służą jako urządzenia zapamiętujące dlatego sygnały wyjściowe takich integratorów bywają rozważane jako zmienne, które definiują wewnętrzny stan układu.

W układach dynamicznych da się wyróżnić przynajmniej jedną zmienną stanu. W układach statycznych nie da się określić ani jednej zmiennej stanu, nie ma w nich elementów magazynujących, lecz są tylko elementy rozpraszające energię. Układy dynamiczne o nieskończonej liczbie zmiennych stanu nazywa się układami o parametrach rozłożonych.

Wybór zmiennych stanu jest w gruncie rzeczy arbitralny. Zbiór zmiennych stanu opisujący układ liniowy nie ma charakteru unikalnego - da się wybrać inne zmienne oraz znaleźć transformację, które tak powstały zbiór łączy z poprzednim zbiorem (zobacz też: niejednoznaczność opisu równaniami stanu). Każdy taki zbiór będzie składał się ze składników liniowo niezależnych (zmienne stanu są liniowo niezależne jeśli równanie spełnione jest dla wszystkich tylko kiedy każdy współczynnik )

Wektor stanu oraz przestrzeń stanów

Pojęcie wektora stanu jest uogólnieniem w stosunku do pojedynczej zmiennej stanu. Jeśli układ jest opisany tylko jedną zmienną stanu, to jej wartości są reprezentowane przez liczby skalarne (rzeczywiste). W przypadku większej liczby zmiennych stanu nie da się określić konkretnego stanu za pomocą jednej liczby, lecz za pomocą zbioru liczb reprezentujących wartości poszczególnych zmiennych. Można to interpretować w taki sposób, że stan ma sens wektora, określonego w przestrzeni stanów, -wymiarowej, jeśli istnieje zmiennych stanu. Osiami (współrzędnymi) przestrzeni stanów są więc poszczególne współrzędne (zmienne) stanu. Każdy punkt przestrzeni stanów reprezentuje określony stan rozumiany jako zbiór wartości wszystkich zmiennych stanu układu. Można więc zapisać symbolicznie wektor stanu układu o zmiennych stanu jako . Liczba zmiennych stanu wyznacza wymiar wektora stanu a równocześnie rząd układu dynamicznego.

Macierz przejścia stanu

 Osobny artykuł: Macierz przejścia (automatyka).

Innymi słowy: stan układu przedstawiany jest zwykle jako wektor oraz przedstawia pamięć układu. Znając stan układu oraz sterowanie jesteśmy w stanie określić stan, który osiągnie układ po zadanym czasie.

Dla układu regulacji opisanego układem równań różniczkowych przyjmuje on postać:

gdzie nazywana jest składową swobodną (zależną od warunków początkowych) a składową wymuszoną (która jest splotem odpowiedzi impulsowej oraz wejścia).