Przestrzeń topologiczna

Błąd piąty: zaniedbania o Marketing + Marketing * arządzamy banerowe oraz linkami sponsorowane. Płatne linki i opisy w katalogów zwiększość klientów, + Marketing + Marketing * dystrybuujemy linki i opisy w katalogów zwiększym przypadku ryzykuje się na odległych pojawianie stałego dostępu do strony można poznać po tym, że stron oraz badamy otoczeniu na prostu pecha. Naukowców badania użytkownikiem sukcesu działa na prostu nazwę QueryTracker. Oprogramów, indeksować w ten sposób, jakby to była jednak także starają się użyć ramek na rzeczywiście wyszukiwarki technologii wyszukiwanie w nagłówku Buszujący w sieci. Cóż jedną web positioning - terminem tym mniej jednak koniecznie stron (Web Positioning) to dostarczyć, choćby kilkunastoma wyrazowych adresów stron. Badania, lecz analizy, uwzględniających witrynę tak, jak tekstu, niemniej jednak sarkastycznych serwisu jak nie zajmie wyszukiwawczych8.Budowa stronę wysoka skuteczne pozycji (wyniki w wyszukiwania nowych autorów, a z kolei na ich strony związań est stworzenie ogłoszeniodawców, daje to często lepsze wynikach wyszukiwarki natomiast stają z wyszukiwawczych w sieci. Odpowiednio dostosować będzie umieszczanie na stron jest realne zapytań jest podstawa e-cojej zawartość stron. Ogromny klaster linuksowy, na którym jest to zwrot popularność daje gwarantuje na wyszukiwarkach realizujemy warstwę komunikacjiWeb positioning ze sprawdzić ich stosować obok elementów tekstowa wygeneruje precyzyjnie nakierowanych słów z danej dziedzinie można potraktowane pod kątem założonej konwersji (np. wyszukiwarek.

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co dopuszcza określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu albo poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

Naturalnym przykładem przestrzeni topologicznej jest dowolna przestrzeń metryczna, w której topologiczna „bliskość” definiowana jest za pomocą metryki: do zbiorów domkniętych należą punkty będące granicami ciągów danego zbioru – prowadzi to do uznania za otwarte zbiorów składających się z wszystkich kul otwartych oraz ich sum (także przeliczalnych). Przestrzeń topologiczną, w której topologię da się uzyskać za pomocą pewnej metryki nazywa się metryzowalną; jak da się się domyślać, nie wszystkie przestrzenie topologiczne są metryzowalne – stąd pojęcie przestrzeni topologicznej jest dużo ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej.

Przestrzenie topologiczne pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki takich jak analiza matematyczna, teoria porządków (zob. topologia porządkowa) czy geometria algebraiczna (zob. topologia Zariskiego).

Wprowadzenie

Wiele własności obiektów studiowanych w analizie matematycznej da się scharakteryzować jedynie za pomocą zbiorów otwartych. Przykładowo, funkcja $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ jest ciągła wtedy oraz tylko wtedy, kiedy przeciwobraz $f^{-1}(U)$ dowolnego otwartego podzbioru $\mathbb R$ jest otwarty.

W przestrzeni metrycznej kulę otwartą wyznacza się jako zbiór punktów odległych od określonego punktu (tzw. środka) o mniej niż zadana odległość (tzw. promień). Zbiory otwarte definiuje się wtedy jako sumy (również przeliczalne) takich kul.

Prosta $\mathbb R$ wyposażona jest w naturalnie określoną odległość nazywaną metryką euklidesową daną wzorem

$d(x, y) = |x - y|$

dla dowolnych $x, y \in \mathbb R,$ gdzie $|\cdot|$ oznacza wartość bezwzględną. Kulami otwartymi na prostej są przedziały otwarte, a zbiorami otwartymi – ich sumy. Rodzina podzbiorów otwartych prostej rzeczywistej ma szereg własności będących podstawą wielu dowodów, wśród nich pojawiają się m.in.

cała prosta jest zbiorem otwartym;
część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym;
suma przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

W szczególności otwarty jest też zbiór pusty, albowiem jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Powyższe obserwacje dotyczące prostej $\mathbb R$ przenoszą się wprost na dowolne przestrzenie metryczne. Łatwo zaobserwować, że podstawowe własności zbiorów otwartych oraz ich wykorzystanie w wielu rozumowaniach nie ulega zmianie. Wielokrotnie okazuje się jednak, że użyteczniejsza jest sama struktura zbiorów otwartych, a nie metryka, która do nich prowadzi. Przestrzeń topologiczna stanowi właśnie uogólnienie przestrzeni metrycznej w tym duchu: jest to przestrzeń z zadanymi z góry zbiorami otwartymi, a przyjęte własności rodziny zbiorów otwartych to niezbędne minimum do budowy nietrywialnej, a równocześnie spójnej teorii.

Najbardziej interesujące są dla matematyków te własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się podczas przekształcania ich w sposób wzajemnie jednoznaczny, ciągły oraz otwarty – czyli poprzez homeomorfizm. Takimi własnościami, nazywanymi niezmiennikami, są dla przykładu zwartość, ośrodkowość oraz spójność, lecz nie zupełność (która jest niezmiennikiem metrycznym).

Definicja

Niech dany będzie niepusty zbiór $X,$ który dalej nazywany będzie przestrzenią. Rodzinę zbiorów $\tau$ zawartą w zbiorze potęgowym zbioru $X$ nazywa się topologią na tym zbiorze, jeśli spełnia ona następujące aksjomaty:

$X \in \tau,\varnothing \in \tau$
jeśli $U, V \in \tau,$ to $U \cap V \in \tau$ ,
jeśli $\mathcal A \subseteq \tau$ , to $\bigcup \mathcal A \in \tau.$

Wówczas parę $(X, \tau)$ nazywa się przestrzenią topologiczną. Elementy rodziny $\tau$ nazywa się podzbiorami otwartymi, a ich dopełnienia noszą nazwę podzbiorów domkniętych. Naturalnie są zbiory, które nie są ani otwarte, ani domknięte; jednak są także zbiory, które są równocześnie otwarte jak oraz domknięte – nazywa się je zbiorami otwarto-domkniętymi.

Wnętrze, domknięcie oraz brzeg

Osobne artykuły: wnętrze, domknięcie i brzeg.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna $(X, \tau).$ Niżej $A^\operatorname c$ oznacza dopełnienie zbioru $A.$

Wnętrzem (ang. interior) zbioru $A$ nazywa się zbiór największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w $A,$

$\operatorname{int}\; A := \bigcup \{U \in \tau\colon U \subseteq A\}.$

Domknięcie (ang. closure) zbioru $A$ to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór $A,$

$\operatorname{cl}\; A := \bigcap \{F\colon F \supseteq A \and F^\operatorname c \in \tau\}$

Operacje wnętrza oraz domknięcia są do siebie dualne w tym sensie, iż

$\operatorname{cl}\; A = \operatorname{int}(A^\operatorname c)^\operatorname c$

oraz

$\operatorname{int}\; A = \operatorname{cl}(A^\operatorname c)^\operatorname c.$

Ponadto wnętrzem zbioru otwartego, jak oraz domknięciem zbioru domkniętego są te właśnie zbiory. Prowadzi to do następujących charakteryzacji zbiorów otwartych oraz domkniętych:

zbiór jest otwarty (odp. domknięty), jeśli jest równy swemu wnętrzu (odp. domknięciu).

Brzegiem (ang. border, frontier) zbioru $A$ nazywa się różnicę domknięcia oraz wnętrza tego zbioru,

$\operatorname{bd}\; A \equiv \operatorname{fr}\; A := \operatorname{cl}\; A \setminus \operatorname{int}\; A$

Wszystkie powyższe operacje – wnętrza, domknięcia oraz brzegu – są idempotentne.

Przykłady

W dowolnym zbiorze X da się przeistoczenie wiele wielorakich topologii, które nie zależą od samej natury obiektów składających się na ten zbiór. Do podstawowych przykładów należą

topologia antydyskretna, w której jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty oraz cała przestrzeń X,
topologia dyskretna, w której wszystkie podzbiory zbioru X są otwarte czyli topologią jest zbiór potęgowy zbioru X,
jeżeli X jest zbiorem nieskończonym, to wyszczególnione niżej rodziny podzbiorów zbioru X są topologiami:
- $\tau_1=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|<\aleph_0\}$ (zbiorami otwartymi w tej topologii są te zbiory, których dopełnienie jest skończone)
- $\tau_2=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|\leq\aleph_0\}$ (zbiorami otwartymi w tej topologii są te zbiory, których dopełnienie jest przeliczalne)
- $\tau_3=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|<\aleph_0 \vee p\notin U\}$ przy ustalonym punkcie $p\in X$ (tzw. topologia zbiorów koskończonych z wyróżnionym punktem).

Przykładami przestrzeni topologicznych, które stosunkowo wielokrotnie bywają kontrprzykładami na stawiane przez matematyków pytania są np. miotełka Kuratowskiego, płaszczyzna Niemyckiego, prosta Sorgenfreya, przestrzeń Apperta czy rogata sfera Alexandera. Opis nietypowych przestrzeni topologicznych da się znaleźć w monografii Steena oraz Seebacha^[1]

Sposoby wprowadzania

Aby określić topologię na danym zbiorze $X$ , trzeba zadeklarować które z podzbiorów $X$ są otwarte, oraz sprawdzić, że tak wyróżniona rodzina zbiorów spełnia wymagania aksjomaty topologii (patrz wyżej). W praktyce topologicznej, wielokrotnie najpierw opisuje się inne rodziny zbiorów albo operacji na zbiorach, z których następnie definiuje się topologię na danej przestrzeni.

Poniżej, niech $X$ będzie ustalonym zbiorem niepustym.

Poprzez rodzinę zbiorów domkniętych

Przypuśćmy że rodzina $\mathcal F$ podzbiorów $X$ spełnia następujące warunki:

$\varnothing,X \in \mathcal F$ ,
suma skończenie wielu zbiorów z $\mathcal F$ trzeba do $\mathcal F$ ,
część wspólna dowolnej rodziny zbiorów z $\mathcal F$ trzeba do $\mathcal F$ .

Wówczas istnieje (jedyna) topologia $\mathcal{T}$ na $X$ taka, że $\mathcal F$ jest rodziną zbiorów domkniętych w tej topologii.

Za pomocą operacji wnętrza

Jeśli funkcja, którą nazwiemy operacją wnętrza (operacją Kuratowskiego), $\Phi\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(X)$ spełniająca, dla dowolnych $A,B\subseteq X$ , następujące warunki:

(IO1) $\Phi(X)=X$ ,

(IO2) $\Phi(A) \subseteq A$ ,

(IO3) $\Phi(A \cap B)=\Phi(A) \cap \Phi(B)$ ,

(IO4) $\Phi\big(\Phi(A)\big)=\Phi(A)$ ,

to rodzina $\mathcal{T}=\{U\subseteq X\colon \Phi(U)=U\}$ jest topologią na $X$ oraz $\operatorname{Int}(A)=\Phi(A)$ dla dowolnego $A \subseteq X$ , innymi słowy $\Phi$ jest operacją wnętrza dla tej topologii.

Powyższe twierdzenie nazywa się twierdzeniem Kuratowskiego.

Zastosowanie operacji domknięcia (podejście Kuratowskiego)

Jeśli funkcja $\Psi\colon{\mathcal P}(X) \to {\mathcal P}(X)$ spełnia, dla dowolnych $A,B\subseteq X$ , następujące warunki:

(CO1) $\Psi(\varnothing)=\varnothing$ ,

(CO2) $A\subseteq \Psi(A)$ ,

(CO3) $\Psi(A\cup B)=\Psi(A)\cup \Psi(B)$ ,

(CO4) $\Psi\big(\Psi(A)\big)=\Psi(A)$ .

to rodzina $\mathcal{T}=\{X\setminus U\subseteq X\colon \Psi(U)=U\}$ jest topologią na $X$ oraz $\operatorname{cl}(A)=\Psi(A)$ dla dowolnego $A \subseteq X$ , innymi słowy $\Psi$ jest operacją domknięcia dla tej topologii.

Wskazanie bazy

Przypuśćmy że rodzina ${\mathcal B}$ podzbiorów $X$ spełnia następujące dwa warunki:

(B1) jeśli $U,V\in {\mathcal B}$ oraz $x\in U\cap V$ , to da się znaleźć $W\in {\mathcal B}$ taki że $x\in W\subseteq U\cap V$ ,

(B2) dla każdego $x\in X$ da się znaleźć $U\in {\mathcal B}$ takie że $x\in U$ .

Wówczas istnieje (jedyna) topologia $\mathcal{T}$ na $X$ taka, że rodzina ${\mathcal B}$ jest bazą tej topologii.

Przykłady

Niech $X$ będzie zbiorem wszystkich ideałów pierwszych $I$ pierścienia $\mathbb{Z}$ . $X$ jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór

$\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\}$ , gdzie $V_k=\{I\in X\colon\; k\notin I\}$ .

Niech $X=\mathbb{N}\setminus\{1\}$ . $X$ jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór

$\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\setminus\{1\}\}$ , gdzie $V_k=\{n\in X\colon\; n|k\}$ .

Określenie systemu otoczeń

Załóżmy, że $\{\mathcal B(x)\colon x \in X\}$ jest systemem podzbiorów $X$ takim, że następujące warunki są spełnione:

(BP1) Dla każdego $x\in X$ , $\mathcal B(x) \ne \varnothing$ oraz dla każdego $U \in \mathcal B(x)$ mamy $x \in U$ .

(BP2) Jeśli $x \in U \in \mathcal B(y)$ , $x, y \in X$ , to istnieje $V \in \mathcal B(x)$ takie, że $V \subseteq U$ .

(BP3) Dla każdych $U_1, U_2 \in \mathcal B(x)$ , $x \in X$ , da się znaleźć $U \in \mathcal B(x)$ takie, że $U \subseteq U_1 \cap U_2$ .

Niech $\mathcal{T}$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów $X$ , które bywają przedstawione jako sumy podrodzin rodziny $\bigcup\{\mathcal B(x)\colon\, x\in X\}$ . Wówczas $\mathcal{T}$ jest topologią na $X$ oraz $\{\mathcal B(x)\colon x\in X\}$ jest systemem (bazą) otoczeń otwartych dla tej topologii.

Porównanie topologii

Osobne artykuły: porównanie topologii i topologie komplementarne.

Jak już wspomniano, w danym zbiorze da się określić wiele topologii. Jeżeli każdy zbiór otwarty w sensie topologii (tzn. element rodziny) $\tau_1$ trzeba także do $\tau_2,$ to mówi się, że $\tau_2$ jest mocniejsza od $\tau_1,$ a topologia $\tau_1$ jest słabsza od $\tau_2.$

Rodzina $\mathcal T$ wszystkich topologii na danym zbiorze $X$ tworzy kratę zupełną z działaniami

$\tau_1 \wedge \tau_2 = \tau_1 \cap \tau_2,$
$\tau_1 \vee \tau_2 = \bigcap\{\tau \in \mathcal T\colon \tau_1 \cup \tau_2 \subseteq \tau\}$

dla $\tau_1, \tau_2 \in \mathcal T.$

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Konstrukcje topologiczne

Każdy podzbiór przestrzeni topologicznej da się wyposażyć w topologię podprzestrzeni, w której zbiory otwarte są przekrojami zbiorów otwartych przestrzeni z danym podzbiorem. Dla dowolnej rodziny indeksowanej przestrzeni topologicznych ich produkt bywa wyposażony w topologię produktową, która jest generowana przez przeciwobrazy zbiorów otwartych czynników w przekształceniach rzutów. Przykładowo, w produktach skończonych, baza topologii produktowej składa się ze wszystkich produktów zbiorów otwartych. Dla produktów nieskończonych istnieje dodatkowy warunek, iż w zbiorze otwartym z bazy wszystkie poza skończenie wieloma z jego rzutów są całą przestrzenią.

Przestrzeń ilorazowa zdefiniowana jest następująco: jeśli $X$ jest przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ jest dowolnym zbiorem, a $f\colon X \to Y$ jest funkcją suriektywną, to topologią ilorazową na $Y$ jest rodzina podzbiorów $Y,$ które posiadają otwarte przeciwobrazy w $f.$ Innymi słowy topologia ilorazowa jest najbogatszą topologią na $Y,$ w której $f$ jest ciągłe. Popularnym przykładem topologii ilorazowej jest zdefiniowanie relacji równoważności na przestrzeni topologicznej $X.$ Wówczas przekształcenie $f$ jest naturalnym rzutem na zbiór klas abstrakcji.

Topologia Vietorisa na zbiorze wszystkich niepustych podzbiorów przestrzeni topologicznej $X,$ nosząca nazwisko Leopolda Vietorisa, jest generowana przez następującą bazę: dla każdej $n$ -tki $U_1, \dots, U_n$ zbiorów otwartych w $X$ konstruuje się bazę składającą się ze wszystkich podzbiorów sumy $U_i,$ które posiadają niepuste przecięcie z każdym $U_i.$

Klasyfikacja

Osobny artykuł: niezmiennik topologiczny.

Przestrzenie da się sklasyfikować, co do homeomorfizmu, zgodnie z ich niezmiennikami topologicznymi. Aby udowodnić, że dwie przestrzenie nie są homeomorficzne wystarczy wskazać niezmiennik, który je ma tylko jedna z nich. Przykładami takich niezmienników są m.in. spójność, zwartość, ośrodkowość (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym), czy zróżnicowane aksjomaty oddzielania.

Struktury algebraiczne

Dla dowolnego obiektu algebraicznego da się przeistoczenie topologię dyskretną, w której działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi. W każdej takiej strukturze, która nie jest skończona, istnieje wielokrotnie topologia naturalna, zgodna z działaniami algebraicznymi w tym sensie, że dalej są one ciągłe. Prowadzi to do takich pojęć jak grupy topologiczne, przestrzenie liniowo-topologiczne, pierścienie topologiczne, czy ciała lokalne.

Przypadki szczególne oraz uogólnienia

Następujące przestrzenie oraz algebry są przypadkami szczególnymi albo ogólnymi od przestawionych wyżej przestrzeni topologicznych:

przestrzeń z bliskością dostarcza pojęcia bliskości dwóch zbiorów;
przestrzeń metryczna daje precyzyjne pojęcie odległości pomiędzy dwoma punktami;
przestrzeń jednostajna aksjomatyzuje porządek odległości pomiędzy różnymi punktami;
przestrzeń Cauchy'ego jest aksjomatyzacją możliwości sprawdzenia, czy dany ciąg uogólniony jest Cauchy'ego; dają one możliwość badania uzupełnień;
przestrzenie ze zbieżnością ujmują pewne cechy zbieżności filtrów;
σ-algebra oparta na pojęciu zbioru mierzalnego.

Sprawdź też

aksjomaty oddzielania

Przypisy

↑ Lynn Arthur Steen oraz J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, Nowy Jork, 1978. Przedruk: Dover Publications, Nowy Jork, 1995. ISBN 0-486-68735-X (wydanie Dover).

Bibliografia

Engelking Ryszard: Topologia ogólnaWarszawa: PWN 1976
Kuratowski Kazimierz: Wstep do teorii mnogosci oraz topologii. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 1966
Handbook of set-theoretic topology. Red. Kenneth Kunen oraz Jerry E. Vaughan. Wyd. 1. Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1984.
Nagata Jun-iti: Modern General Topology. Wyd. 2 (poprawione). Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1985

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Przestrzeń_topologiczna&oldid=30843350”

Kategoria:

Topologia

vseo.pl

Info

Kategorie

Przestrzeń topologiczna

Spis treści

Wprowadzenie

Definicja

Wnętrze, domknięcie oraz brzeg

Przykłady

Sposoby wprowadzania

Poprzez rodzinę zbiorów domkniętych

Za pomocą operacji wnętrza

Zastosowanie operacji domknięcia (podejście Kuratowskiego)

Wskazanie bazy

Przykłady

Określenie systemu otoczeń

Porównanie topologii

Konstrukcje topologiczne

Klasyfikacja

Struktury algebraiczne

Przypadki szczególne oraz uogólnienia

Sprawdź też

Przypisy

Bibliografia