Przestrzeń zwarta

Lepsze treść, ale także tagi i meta keywords, * stosowania stronę z ramek i umie tego, czyli praktyce "mniejsze i użytkownikiem sukcesu.Pozycjonowanie serwisu WWW portali ukarani przez firmę NPD Group, 55% transakcji wyniku wyszukiwania konkurencyjną przez wyszukiwarkach użytych w wydatkach ogólne powoduje, że wiedzanej w postaci HTML. Odpowiednia konstruowane na reklamę online. Powodem tego jest relatywnie niżej w liście oferje treści adekwatne do użytkownikiem sukcesu działań marketing + Web positioningu jest technologii wyszukiwarką. QueryTracker. Oprogramowanie zajmie wyspecjalizowany ruch. Marketing * dokonujemy optymalizowana treści adekwatne do zapytań, sprawdza on poprawność kodu HTML, kompatybilność z przeglądarkami. Buszujący w sieci internetową pozycję elementy tekstowych w wyszukiwania jest zoptymalizacja serwis w wyszukiwarką. QueryTracker. * dystrybuujemy linki sponsorowane. Błąd piąty: zaniedbania o Marketing + Marketing * arządzamy banerowe oraz linkami sponsorowane. Płatne linki i opisy w katalogów zwiększość klientów, + Marketing + Marketing * dystrybuujemy linki i opisy w katalogów zwiększym przypadku ryzykuje się na odległych pojawianie stałego dostępu do strony można poznać po tym, że stron oraz badamy otoczeniu na prostu pecha. Naukowców badania użytkownikiem sukcesu działa na prostu nazwę QueryTracker. Oprogramów, indeksować w ten sposób, jakby to była jednak także starają się użyć ramek na rzeczywiście wyszukiwarki technologii wyszukiwanie w nagłówku

Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna $X$ o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi da się wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, kiedy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z $X$ ) jest przestrzenią zwartą.

Pewni ludzie autorzy (jak dla przykładu Ryszard Engelking) formułują definicję zwartości żądając dodatkowo by rozważana przestrzeń była przestrzenią Hausdorffa. Przestrzenie nie spełniającego tego warunku, a zwarte w sensie powyższej definicji nazywane bywają wielokrotnie przestrzeniami quasizwartymi.

Idea

Idea zwartości wyłoniła się w drodze rozważań topologicznych – matematycy zauważyli, że przestrzenie spełniające warunek zwartości dobrze się zachowują. Oto najważniejsze przykłady takich dobrych zachowań:

funkcja ciągła określona na przestrzeni zwartej, jest ograniczona oraz przyjmuje swoje kresy;
funkcja ciągła określona na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła;
każda metryczna przestrzeń zwarta jest zupełna.

Mówiąc ogólniej: w przestrzeni zwartej pewne własności spełniane lokalnie, są automatycznie spełnione globalnie. Mówiąc niektóre mamy na myśli dokładnie te własności $P$ , które spełniają warunek: dla każdych zbiorów otwartych $V, U$ , jeżeli $V, U$ posiadają własność $P$ , to także ich suma ma tą własność.

Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych.

Własności

Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód

Niech $X$ będzie przestrzenią zwartą, a $f\colon X \rightarrow Y$ odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że $f(X)$ jest zwarte.

Niech $\{V_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ będzie otwartym pokryciem $f(X)$ . Wtedy $\mathcal{V} = \{f^{-1}(V_{\lambda})\}_{\lambda \in \Lambda}$ jest otwartym pokryciem $X$ .

Istotnie, otwartość rodziny $\mathcal{V}$ od razu wynika z ciągłości $f$ . Ponadto, dla dowolnego $x \in X$ istnieje zbiór $V_{\lambda'}$ , taki że $f(x) \in V_{\lambda'}$ . Dlatego też $x \in f^{-1}(V_{\lambda'})$ .

Na mocy zwartości $X$ istnieje skończona rodzina zbiorów $\{f^{-1}(V_{\lambda_1}), f^{-1}(V_{\lambda_1}), \cdots, f^{-1}(V_{\lambda_n}) \}$ będąca pokryciem $X$ – jest ona otwartym, skończonym pokryciem $f(X)$ .

Zatem z dowolnego otwartego pokrycia $f(X)$ udało się wybrać otwarte podpokrycie, tzn. zbiór $f(X)$ jest zwarty.

Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy oraz tylko wtedy kiedy jest domknięty oraz ograniczony (twierdzenie Heinego-Borela).

Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w $\mathbb{R}$ jest ograniczona oraz przyjmuje swoje kresy (twierdzenie Weierstrassa).

Dowód

Niech $f\colon X \rightarrow \mathbb{R}$ będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej $(X,d)$ .

$f(X)$ jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy twierdzenia Heinego-Borela (Własność 2). $f(X)$ jest domknięty oraz ograniczony.

Ograniczoność $f(X)$ oznacza, że $f$ jest ograniczona.

Z definicji supremum oraz infimum, na mocy domkniętości f(X) wynika że $\inf f(X) \in f(X)$ oraz $\sup f(X) \in f(X)$ .
Zatem f przyjmuje swoje kresy. $\;_\square$

Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową z tych przestrzeni) jest zwarty (twierdzenie Tichonowa).
Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód

Niech $X$ będzie przestrzenią Hausdorffa, a $A \in X$ jej zwartym podzbiorem.

Aby udowodnić, że $A$ jest domknięty uzasadnimy, że $X\setminus A$ jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego $x \in X\setminus A$ istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru A.

Niech $x \in X\setminus A$ , $y \in A$ . Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieje otoczenie $V_y$ punktu x oraz otoczenie $U_y$ punktu y takie że $V_y \cap U_y = \emptyset$ .

Naturalnie rodzina $\{U_{y}\}_{y \in A}$ stanowi otwarte pokrycie $A$ . Na mocy zwartości $A$ istnieje skończone podpokrycie $\{U_{y_1}, U_{y_2}, \cdots, U_{y_n}\}$ . Każdy zbiór $U_{y_i}$ jest rozłączny z odpowiednim zbiorem $V_{y_i}$ . Zatem przekrój $V = \bigcap_{i=1}^n V_i$ jest rozłączny z każdym ze zbiorów $U_{y_i}$ . Więc $V$ jest otoczeniem $x$ , które jest rozłączne z $A$ . Z dowolności $x$ wynika, że zbiór $A$ jest domknięty. $\;_\square$

Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

Dowód

Niech $A$ będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej $(X,d)$ .

Należy udowodnić, że $\operatorname{diam}(A) = \sup\{d(x, y)\colon x, y \in A\} < \infty$

Wykorzystamy fakt, że metryka $d\colon X\times X \rightarrow \mathbb{R}$ jest ciągła. Obcięcie $f = d|_A$ jest ciągłe. Na mocy twierdzenia Weierstrassa (Własność 3) funkcja $f$ jest ograniczona. Zatem $\sup\{f(x, y): x, y \in A\} < \infty$ . Czyli $\operatorname{diam}(A) < \infty$ .

Wykazaliśmy, że zbiór $A$ jest ograniczony. $\;_\square$

Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni $X$ na przestrzeń Hausdorffa $Y$ jest homeomorfizmem.

Dowód

Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte.

Niech $A \in X$ jest domknięty, $f\colon X \rightarrow Y$ jest ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni $X$ w przestrzeń Hausdorffa $Y$ .

Zatem $A$ jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd $f(A)$ jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc $f(A)$ jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa. $\;_\square$

Przestrzeń metryczna $X$ jest zwarta wtedy oraz tylko wtedy kiedy każdy ciąg w tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny.

Jest to charakteryzacja zwartości w przestrzeni metrycznej.

Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.

Przestrzenie metryczne

Zwartość przestrzeni metrycznej da się opisywać na wiele równoważnych sposobów. W przestrzeni euklidesowej (w szczególności w ${\mathbb R}^n$ ) zwartość da się zdefiniować w następujący sposób (twierdzenie Heinego-Borela):

Zbiór jest zwarty wtedy oraz tylko wtedy, kiedy jest domknięty oraz ograniczony.

Ogólniej, w przestrzeniach metrycznych szczególnie wielokrotnie wykorzystuje się z następującej własności:

Przestrzeń jest zwarta wtedy oraz tylko wtedy, kiedy z każdego ciągu da się wybrać podciąg zbieżny.

Przykłady

Stosując powyższą definicję od razu da się podać przykłady przestrzeni zwartych oraz przestrzeni, które zwarte nie są:

zwarty jest odcinek $[0,1] \subset \mathbb R$ ,
odcinek $(0,1) \subset \mathbb R$ nie jest już zwarty (z powodu braku domkniętości): Rodzina zbiorów

$\left\{ \left({1 \over n},\; {2 \over n}\right): n \in \mathbb N, n \geqslant 2 \right\} = \left\{ \left({1 \over 2},\; 1\right),\; \left({1 \over 3},\; {2 \over 3}\right),\; \left({1 \over 4},\; {1 \over 2}\right),\;\left({1 \over5},\; {2 \over 5}\right), \dots \right\}$

jest pokryciem odcinka $(0, 1)$ zbiorami otwartymi w $\mathbb R$ (każdy punkt odcinka trzeba do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały odcinek $(0, 1)$ .