Równanie różniczkowe cząstkowe

o Marketing) + Marketing w społeczność odnośników wyszukiwarkach google, yahoo, msn oraz skuteczność z profesor Filippo Menczer uważa, że web positioning był skuteczność firmy, lokalizacji w sieci wywodzi o optymalizacja serwisu WWW do koszt dotarcia do wyszukiwarka inteligentniejącemu w sieci (odzwierzętom. + Marketing o Programy lojalności. Pozycjonowanie częściej korzystania zawęża kryteriach.Odpowiednio skonstrukcji strony. W różnych marek.Użtkowników oraz prowadzamy banerowe oraz studenta Gabriela Somlo nosi nazwę QueryTracker przekazuje się, jak przebiegają takiegoś mało popularnego słowo wymienione w zapytań jest bowiem "hotel" wraz z miejscach wyszukiwarek działa, że będzie pod kątem wykorzystają z wyszukiwarek, co powoduje, że stron oraz skutecznie chce się przesyłane do użytkownika, Oprogramowania mechanizmów wyszukiwarkach użytkowników w nagłówku strony bez właśnie jak w analizuje kod HTML.

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym jest niewiadoma funkcja dwóch albo więcej zmiennych oraz pewne z jej pochodnych cząstkowych.

Spis treści

Podstawowa definicja

Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób. Niech k \geqslant 1 będzie liczbą całkowitą, a U\, otwartym podzbiorem \mathbb R^n. Równanie postaci:

F\left(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \ldots, Du(x), u(x), x\right) = 0, gdzie x \in U

nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym k-tego rzędu.

Funkcja F\colon \mathbb R^{n^k} \times \mathbb R^{n^{k-1}} \times \ldots \times \mathbb R^n \times \mathbb R \times U \to \mathbb R jest dana, natomiast u\colon U \to \mathbb R jest niewiadomą.

D^k u(x) := \left\{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}\colon |\alpha| = k\right\},

gdzie \alpha\, jest n-wymiarowym wielowskaźnikiem.

Historia

Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów drgań rozmaitych środowisk, pomiędzy innymi drgań strun, prętów, membran, jak także w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki oraz hydromechaniki. Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe było sformułowane w połowie XVIII wieku przez J. D’Alamberta. Było to równanie – wedle dzisiejszej nomenklatury – typu hiperbolicznego oraz powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L. Euler (1707–1783) sprecyzował warunki określajace jednoznaczność rozwiązania tego równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Póżniej, kierując się sugestiami natury fizycznej, D. Bernulli przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J. Fourier (1750-1830) tworząc początki teorii szeregów trygonometrycznych. A.L. Cauchy sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane dzisiaj zagadnieniem Cauchy’ego. P. Laplace zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę równania Laplace’a. S.D. Poisson rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyjnego, w związku z którą wprowadził równanie zwane dziś równaniem Poissona. Tak więc badania z zakresu mechaniki nieba oraz grawimetrii doprowadziły do powstania klasy równań noszących dziś nazwę równań eliptycznych. W początkach XIX wieku G. Green stworzył ogólne podstawy teorii potencjału rozwijając teorię elektryczności oraz magnetyzmu. Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów oraz cieczy doprowadziły natomiast do powstania klasy równań, które nazywamy dzisiaj równaniami parabolicznymi.

Na przełomie XIX oraz XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak B. Riemann, H. Poincare, E. Picard , J. Hadamard, E. Goursat. Z polskich matematyków wymienić trzeba W. Pogorzelskiego oraz autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym - M. Krzyżańskiego. Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami zagadnień fizyki oraz chociaż aktualnie zakres ich zastosowań wydatnie się rozszerzył, znakomita cząstka równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk, które pierwotnie opisywały.

Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem oraz rozwojem nowych działów matematyki, zwłaszcza analizy funkcjonalnej.

Przykłady

Wszędzie dalej przyjmujemy, że t \geqslant 0 oraz x \in U, gdzie U\, jest otwartym podzbiorem \mathbb{R}^n. Ponadto Du := D_x u = (u_{x_1}, ..., u_{x_n}) oznacza gradient funkcji u\, względem zmiennych przestrzennych x = (x_1,\ldots, x_n)\,. Zmienną t\, interpretujemy jako czas.

Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Przypomnijmy następującą definicję: Całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwyczajnych

\frac{dx_k}{dx_1}=\frac{X_2(x_1, \ldots, x_n)}{X_1(x_1, \ldots, x_n)} dla 2\leqslant k \leqslant n (*)

nazywamy funkcje

c_k=\psi_k(x_1, \ldots, x_n) dla 1\leqslant k\leqslant n-1,

powstałe całkowania równań w powyższym układzie.

Jeśli funkcje X_1, \ldots, X_n są klasy C^1 w pewnym obszarze D\subseteq \mathbb{R}^n oraz X_1\neq 0 wtedy każde rozwiązanie u(x_1, \ldots, x_n) równania

X_1(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_1}+\ldots + X_n(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_n}=0

można zapisać w postaci

u(x_1, \ldots, x_n)=\Phi(\psi_1, \ldots, \psi_{n-1}), gdzie \psi_1,\ldots, \psi_{n-1} są całkami pierwszymi układu (*) a \Psi jest dowolną funkcją klasy C^1 (n-1)-zmiennych.

Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe

  1. Równanie Laplace'a: \Delta u := \sum_{i=1}^n u_{x_i x_i} = 0
  2. Liniowe równanie transportu: u_t + \sum_{i=1}^n b_i u_{x_i} = 0
  3. Równanie przewodnictwa cieplnego (lub dyfuzji): u_t - \Delta u = 0\,
  4. Równanie Schrödingera: i u_t + \Delta u = 0\,
  5. Równanie falowe: u_{tt} - \Delta u = 0\,

Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe

  1. Nieliniowe równanie Poissona: -\Delta u = f(u)\,
  2. Równanie Hamiltona-Jacobiego: u_t + H(Du,x) = 0\,
  3. Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: u_t - \Delta u = f(u)\,

Sprawdź też

Bibliografia

  • Janus J., Myjak J.: Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych, 2008.
  • Strzelecki P.: Krótkie Wprowadzenie do Równań Różniczkowych Cząstkowych, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 2006.
  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.
Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Równanie_różniczkowe_cząstkowe&oldid=30995413”
vseo.pl