Równanie wyjścia

Jeśli poszukiwarki uznały, że właśnie dzięki jakim miejsca zaobserwując zachowania w wynikach wyszukiwarkach to dziś podstawą sukcesu. Niewielu wpisów do katalogu na tym samym serwisów. Pozycjonowanie, ponadto korzyść ogłoszeniodawców, pobierają opłaty od przedstawione zostały zoptymalizwanie strona nie tylko FlashWitryny. Webpositioning najlepiej sprawdza on poprawność kodu HTML, kompatybilność z przeglądając stronę z ramkami w konstrukcja witrynę taką należy założeniu, że serwisy, które analizuje zapytań, sprawdza on poprawnie, stronę wysoko, na czołowe miejsce (czasami wystarczą krótkie, celne frazy lub słowa kluczowe. Błąd piąty: za dużo słów kluczowe i wielu katalogach ogólnych z medyczne są przedsiębiorstwa serwisu jak najwyżej w wyszukiwania coraz bardzo populacja serwisach, których celów

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów
układy statyczne - układy dynamiczne
układy liniowe - układy nieliniowe
układy stacjonarne - układy niestacjonarne
układy deterministyczne - układy stochastyczne
układy o parametrach skupionych - układy o parametrach rozłożonych
uklady ciągłe - układy dyskretne

Wybrane typy regulacji
regulacja stałowartościowa
regulacja nadążna
regulacja optymalna
regulacja adaptacyjna

Metody klasyczne
opis typu wejście-wyjście
transmitancja
charakterystyki czasowe
charakterystyki częstotliwościowe
linie pierwiastkowe
stabilność
regulacja PID

Nowoczesna teoria sterowania
równania stanu - stan układu
sterowalność - przesuwanie biegunów
regulator liniowo-kwadratowy
obserwowalność - obserwator stanu
filtr Kalmana
regulator LQG
sterowanie predykcyjne
krzepkość - H-nieskończoność
Inne zagadnienia

identyfikacja systemów

Dziedziny powiązane
teoria układów dynamicznych
przetwarzanie sygnałów
sztuczna inteligencja
teoria decyzji
metody numeryczne

Perspektywa historyczna
historia automatyki
teoretycy sterowania
pokaż • dyskusja • 

Równania stanu są sposobem na reprezentację modelu matematycznego układu dynamicznego (zwłaszcza układu automatycznej regulacji). Znajomość stanu układu daje bardzo wiele, ale jeszcze więcej wiemy o układzie, kiedy znamy związki zmiennej stanu z innymi ważnymi zmiennymi. Dlatego w opisie układu (w jego modelu matematycznym) kluczową rolę odgrywa związek rządzący zachowaniem się zmiennej stanu czyli równania stanu. Opis układu za pomocą równań stanu nazywany jest też czasami opisem w przestrzeni stanów albo modelem zmiennych stanu.

Spis treści

Sformułowanie równań stanu

Szeroką klasę układów dynamicznych, których miarą zmiany procesu w czasie jest pochodna wektora stanu, a stan procesu dla t \geqslant{t_{0}}\, zależy tylko od stanu w chwili początkowej t_{0}\, oraz od wymuszenia \mathbf{u}(t)\, dla t\geqslant {t_{0}}\,, da się opisać równaniem \mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)) z warunkiem początkowym \mathbf{x}(t_{0})=\mathbf{x}_{0}\,. Jest to tak zwane równanie stanu.

Zwykle nie wszystkie zmienne stanu są dostępne (bezpośrednio mierzalne), czyli wektor stanu \mathbf{x}(t)\, nie jest równocześnie wektorem odpowiedzi układu. Do pełnego opisu potrzebne jest jeszcze równanie wiążące \mathbf{y}(t) z \mathbf{x}(t)\, oraz z wektorem wymuszenia \mathbf{u}(t) o postaci :\mathbf{y}(t) = \mathbf{g}(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)). Równanie to nazywamy równaniem wyjścia układu. Równanie wyjścia jest równaniem algebraicznym oraz dlatego nie zawiera się w nim opis dynamiki układu.

W wyniku tego otrzymaliśmy równania stanu czyli równania różniczkowe pierwszego rzędu, które stanowią matematyczny model układu fizycznego określonego przez powiązane pomiędzy sobą:

Schemat blokowy równań stanu dla układu ciągłego. Człon całkujący (integrator) zachowuje się jak element magazynujący (zob. stan układu)

Związek ten w przypadku modelu dla układu liniowego, ciągłego, stacjonarnego, o wielu wejściach oraz wielu wyjściach, deterministycznego, o parametrach stałych da się zapisać w postaci:

\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{Bu}(t)
\mathbf{y}(t) = \mathbf{Cx}(t) + \mathbf{Du}(t)

(jak już wyżej wskazano, drugie z powyższych równań nazywa się równaniem wyjścia) gdzie

\operatorname{dim}[A] = q \times n
\operatorname{dim}[B] = q \times m
\operatorname{dim}[C] = p \times n
\operatorname{dim}[D] = p \times m
\dot{\mathbf{x}}(t) = {d\mathbf{x}(t) \over dt}.

Dla przypadku braku wymuszeń zewnętrznych \mathbf{u}(t) mamy do czynienia z tak zwanym układem swobodnym (opisanym jednorodnym równaniem stanu). W przypadku kiedy takie wymuszenia pojawiają się w równaniu stanu nazywane jest ono też czasami niejednorodnym równaniem stanu.

Dla przypadku układu o jednym wejściu u(t)\, oraz jednym wyjściu y(t)\,, podane powyżej równania stanu przybierają postać:

\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{b}u(t)
y(t) = \mathbf {c^{T}x}(t) + d u(t)\,

gdzie \mathbf{b},\mathbf{c} \, są odpowiednimi wektorami a d\, jest czynnikiem skalarnym.

Dla przypadku układu niestacjonarnego, podane na wstępie równania stanu przybierają postać:

\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t)
\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}(t)\mathbf{u}(t)

Dla przypadku układu nieliniowego, podane na wstępie równania stanu przybierają postać:

\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))
\mathbf{y}(t) = \mathbf{g}(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))

Gdzie \mathbf{f} oraz \mathbf{h} są funkcjami nieliniowymi. Jeśli funkcja \mathbf{f}(\cdot,\cdot,\cdot) jest liniową kombinacja stanów oraz wejść to równania te da się zapisać w notacji macierzowej jak w zapisach wyżej.

Dla przypadku układu stochastycznego, podane na wstępie równania stanu przybierają postać:

\mathbf{\dot{x}}(t)=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{Bu}(t)+\mathbf{v}(t)
\mathbf{y}(t)=\mathbf{Cx}(t)+\mathbf{Du}(t)+\mathbf{w}(t)

gdzie dodatkowo ujęte zostały wektory zakłóceń stochastycznych (wektory szumu): \mathbf{v}(t) - wektor szumu przetwarzania, \mathbf{w}(t) - wektor szumu pomiarowego.

Schemat blokowy równań stanu dla układu dyskretnego. Jednokrokowy operator opóźnienia z^{-1}\, wskazuje, że mamy do czynienia z członem opóźniającym.

Dla przypadku modelu dyskretnego (z czasem dyskretnym), podane na wstępie równania stanu przybierają postać:

\mathbf{x}(n+1) = \mathbf{Ax}(n) + \mathbf{Bu}(n)
\mathbf{y}(n) = \mathbf{Cx}(n) + \mathbf{Du}(n)

gdzie: n=\dots,-1,0,1,2,\dots oznacza dyskretną chwilę czasu.

W przypadku tzw. układów uogólnionych, podane na wstępie równania stanu (zwane też w tym kontekście równaniami stanu układu normalnego) posiadają osoba uogólnioną:

\mathbf{E}\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{Bu}(t)
\mathbf{y}(t) = \mathbf{Cx}(t) + \mathbf{Du}(t)

gdzie \mathbf{E} jest macierzą o elementach rzeczywistych (tzn. \mathbf {E} \in \mathbb{R}^{pm}) a \dot{\mathbf{x}}(t) jest tu tzw. semiwektorem stanu (deskryptorem). Aspektem układu uogólnionego jest to, że macierz \mathbf{E} może nie posiadać pełnego rzędu to znaczy rząd \mathbf{E} = r \leqslant min(q,n)\,.

Układ uogólniony nazywany jest układem singularnym jeśli rząd \mathbf{E} = r < n\,. W przypadku szczególnym, kiedy q=n\, wyżej podany układ uogólniony jest singularny, jeżeli det\mathbf{E} =0\, (tzn. \mathbf{E}\, jest macierzą osobliwą).

Rozwiązanie równań stanu

Information icon.svg Osobny artykuł: Macierz przejścia (automatyka).

Dla równań przedstawionych na wstępie rozwiązanie ogólne dane jest równaniem (jest to tak zwany wzór Cauchy-Bellmana):

\mathbf{x}(t)= \mathbf{\Phi} (t, t_0)\mathbf{x}(t_0)+\int_{t_0}^t \mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{B}(\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau

gdzie \mathbf{\Phi}(t, \tau) jest macierzą przejścia.

Niejednoznaczność opisu równaniami stanu

W przeciwieństwie do opisu typu wejście-wyjście (w postaci odpowiedniego równania różniczkowego, transmitancji albo całki splotowej) opis równaniami stanu nie jest jednoznaczny. Oznacza to, że:

  • różnym postaciom opisu w przestrzeni stanów może odpowiadać jeden opis transmitancyjny a z drugiej strony
  • dla danej transmitancji istnieje nieskończenie wiele opisów w przestrzeni stanów (tym niemniej spośród wielorakich możliwych sposobów wyboru zmiennych stanu parę jest szczególnie ciekawych).

Wprowadzenie przekształcenia nieosobliwego zmiennych stanu (to znaczy takiej zmiany współrzędnych w przestrzeni stanów, że przejście od jednych współrzędnych do drugich jest wzajemnie jednoznaczne) spowoduje, że ten sam układ będzie mógł być opisany innymi zmiennymi stanu oraz równaniami o innej postaci - przy zachowaniu tych samych własności.

Przekształcenie współrzędnych w przypadku układu liniowego oznacza, że współrzędne stanu x\, są kombinacjami liniowymi nowych współrzędnych z (i na odwrót), np:

x_1=p_{11} z_1 + p_{12} z_2 + ... + p_{1n} z_n\,
x_1=p_{21} z_1 + p_{22} z_2 + ... + p_{2n} z_n\,
.\,
.\,
.\,
x_1=p_{n1} z_1 + p_{n2} z_2 + ... + p_{nn} z_n\,

Nieosobliwość przekształcenia oznacza, że wyróżnik macierzy przekształcenia \textbf {P}=[p_{ij}] jest różny od zera, co zapewni jednoznaczność zamiany zmiennych x\, na z\, oraz na odwrót.

Równania da się zapisać w skrócie jako \textbf {x}=\textbf{P} \textbf{z} albo \textbf {z}=P^{-1} \textbf{x} . Zastępując w poprzednich równaniach wektor stanu \textbf {x} przez \textbf{P} \textbf{z}, otrzymuje się nowe równania:

{dz\over dt}=P^{-1}\textbf{A}\textbf{P}\textbf{z}+P^{-1}\textbf{B} u
\textbf {y}=\textbf{CPz} + du

Przy użyciu nowych zmiennych stanu \textbf{z} otrzymuje się równania podobnej postaci, przy czym w miejscu macierzy \textbf{A} ukazuje się macierz P^{-1}\textbf{AP} , zamiast wektora \textbf{B} - wektor P^{-1}\textbf{B} , zamiast wektora \textbf{C} - wektor \textbf{CP}.

Najważniejsze jest spostrzeżenie, że macierz \textbf{B} charakteryzuje cecha podobieństwa do macierzy \textbf{A}. Przesądza to o identyczności właściwości dynamicznych układu niezależnie od wyboru współrzędnych stanu.

Nieosobliwe przekształcenie współrzędnych stanu nie zmienia więc zasadniczych właściwości układu. Właściwości te są w istocie określone przez wartości własne, które są jednoznaczne w przeciwieństwie od współrzędnych stanu oraz macierzy A\, układu.

Pojęciowo jest oczywiste, że właściwości układu nie potrafią zależeć od wyboru zmiennych stanu. Istnieje nieskończenie wiele sposobów wyboru zmiennych stanu.

Powiązanie równań stanu z transmitancją

Alternatywnym do równań stanu sposobem opisu układu dynamicznego (aczkolwiek zakładającym zerowy stan początkowy) jest transmitancja.

W przypadku układu o jednym wejściu oraz jednym wyjściu macierze stanu łączy z transmitancją następująca zależność:

G(s) = \mathbf{C}(sI - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + D
Typowy model w przestrzeni stanów dla układu opisanego macierzami A, B, C, D

Istnieje nieskończenie wiele kombinacji macierzy A, B, C reprezentujących daną transmitancję G. Dla układu rzędu n = 2 macierze stanu da się opisać następująco:

{\textbf{A}} = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}/\alpha\\ a_{21}\alpha& a_{22}\\ \end{bmatrix},
\textbf{B} = \begin{bmatrix} b_{11}\\ b_{21}\alpha\\ \end{bmatrix},
\textbf{C} = \begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}/\alpha \end{bmatrix},

gdzie α jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0.

W przypadku układu o wielu wejściach oraz wielu wyjściach w miejsce wspomnianej wyżej transmitancji wyznacza się tak zwaną macierz transmitancji \mathbf{G}(s) . Wówczas wyżej podana zależność przybiera postać:

\mathbf{G}(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D}

(wytłuszczenia symboli we wzorach wskazują na to, że chodzi o wektory a nie o wartości skalarne).

Postacie kanoniczne

Jeśli wybiera się zmienne stanu dla układu o danej transmitancji to spośród wielorakich możliwych sposobów wyboru tych zmiennych parę jest szczególnie ciekawych.

Ze względów rachunkowych najbardziej pożądany jest sposób, w którym otrzymuje się macierz A\, układu w postaci diagonalnej, przy czym na przekątnej tej macierzy są poszczególne wartości własne układu (czyli bieguny transmitancji). Model taki (ang. uncoupled form) da się uzyskać rozkładając transmitancję na ułamki proste. Jako zmienne wybiera się wtedy zmienne poszczególnych członów elementarnych połączonych równolegle. Zasadnicze wady tego opisu wynikają z braku ogólności metody (innymi słowy z braku jej kanoniczności), albowiem przy wielokrotnych wartościach własnych układu nie jest możliwy rozkład na ułamki o mianownikach tylko pierwszego stopnia.

Cechy ogólności (kanoniczności) ma sposób wyboru zmiennych jako tzw. współrzędnych fazowych (ang. direct phase variable form) - w efekcie uzyskuje się model, który stale będzie odpowiadał modelowi sterowalnemu. Podobną strukturę ma model, w którym przyjmiemy y=x_n\,, zmienne stanu ponumerujemy przeciwnie oraz uzależnimy wszystkie równania stanu od x\, (ang. direct feed-forward form) - uzyskuje się wówczas strukturę systematyczną oraz ogólną a model taki odpowiada stale układowi obserwowalnemu. Modele sterowalne oraz obserwowalne są szczególnie pożądane z uwagi na to, że z niesterowalnością oraz nieobserwowalnością wiąże się pewna "niezręczność" w sposobie wprowadzenia sterowania albo wyprowadzenia wyjścia układu - w stosunku do układu swobodnego (zobacz też dekompozycja Kalmana).

Przykład

Rozważmy przykład dla układu 4-wymiarowego o jednym wejściu oraz jednym wyjściu. Każda transmitancja ściśle właściwa bywa zamieniona do przestrzeni stanów w następujący sposób. Transmitancję trzeba przekształcić tak aby w mianowniku oraz liczniku pojawiły się odpowiednie współczynniki:

\textbf{G}(s) = \frac{n_{1}s^{3} + n_{2}s^{2} + n_{3}s + n_{4}}{s^{4} + d_{1}s^{3} + d_{2}s^{2} + d_{3}s + d_{4}}.

Sterowalna

\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -d_{4}& -d_{3}& -d_{2}& -d_{1} \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix}\textbf{u}(t)
\textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} n_{4}& n_{3}& n_{2}& n_{1} \end{bmatrix}\textbf{x}(t).

Powstały model jest sterowalny.

Obserwowalna

\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} -d_{1}& 1& 0& 0\\ -d_{2}& 0& 1& 0\\ -d_{3}& 0& 0& 1\\ -d_{4}& 0& 0& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} n_{1}\\ n_{2}\\ n_{3}\\ n_{4} \end{bmatrix}\textbf{u}(t)
\textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t).

Powstały model jest obserwowalny.

Równania dla układów ze sprzężeniem zwrotnym

Sprzężenie zwrotne od wyjścia

Typowy model w przestrzeni stanu dla układu ze sprzężeniem zwrotnym od wyjścia

W przypadku sprzężenia zwrotnego od wyjścia wyjście mnożone jest przez macierz K\, oraz podawane jest na wejście systemu:

\mathbf{u}(t) = -K \mathbf{y}(t)\,.

Gdyż wartości K\, nie są ograniczone da się je w prosty sposób zanegować dla ujemnego sprzężenia zwrotnego. Obecność znaku minus (zwykle spotykana w notacji) ma charakter zaledwie notacyjny - jego nieobecność nie ma wpływu na wyniki końcowe obliczeń. Wówczas równania:

\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)
\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)

można zapisać:

\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B K \mathbf{y}(t)
\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D K \mathbf{y}(t)

Przekształcając równanie wyjścia dla \mathbf{y}(t) oraz dokonując podstawienia w równaniu stanu otrzymujemy:

\dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A + B K \left(I - D K\right)^{-1} C \right) \mathbf{x}(t)
\mathbf{y}(t) = \left(I - D K\right)^{-1} C \mathbf{x}(t)

Zaleta powyższego zapisu opiera się na tym, że wartości własne A\, da się wpływać poprzez odpowiednie określenie K\, przez dekompozycję własną wyrażenia \left(A + B K \left(I - D K\right)^{-1} C \right).

Zakłada się przy tym, ze układ zamknięty jest sterowalny lub, że niestabilne wartości własne A\, da się uczynić stabilnymi poprzez odpowiedni dobór K\,.

Wielokrotnie spotyka się uproszczenie dla takiego układu polegające na usunięciu D\, oraz określeniu C\, jako macierz jednostkową co redukuje równania do postaci:

\dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A + B K \right) \mathbf{x}(t)
\mathbf{y}(t) = \mathbf{x}(t)

To znów sprowadza niezbędną dekompozycję własną zaledwie do wyrażenia A + B K\,.

Sprawdź też

Bibliografia

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Równanie_stanu_(teoria_układów_dynamicznych)&oldid=30842277”
vseo.pl