Regulator PID

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów układy statyczne - układy dynamiczne układy liniowe - układy nieliniowe układy stacjonarne - układy niestacjonarne układy deterministyczne - układy stochastyczne układy o parametrach skupionych - układy o parametrach rozłożonych uklady ciągłe - układy dyskretne więcej... Wybrane typy regulacji regulacja stałowartościowa regulacja nadążna regulacja optymalna regulacja adaptacyjna więcej... Metody klasyczne opis typu wejście-wyjście transmitancja charakterystyki czasowe charakterystyki częstotliwościowe linie pierwiastkowe stabilność regulacja PID Nowoczesna teoria sterowania równania stanu - stan układu sterowalność - przesuwanie biegunów regulator liniowo-kwadratowy obserwowalność - obserwator stanu filtr Kalmana regulator LQG sterowanie predykcyjne krzepkość - H-nieskończoność Inne zagadnienia identyfikacja systemów Dziedziny powiązane teoria układów dynamicznych przetwarzanie sygnałów sztuczna inteligencja teoria decyzji metody numeryczne Perspektywa historyczna historia automatyki teoretycy sterowania

pokaż • dyskusja •

Regulator PID (regulator proporcjonalno-całkująco-różniczkujący, ang. proportional-integral-derivative controller) – regulator stosowany w układach regulacji składający się z trzech członów: proporcjonalnego, całkującego oraz różniczkującego. Najczęściej jego celem jest utrzymanie wartości wyjściowej na określonym poziomie, zwanym wartością zadaną.

Wstęp

Regulator PID pracuje w pętli sprzężenia zwrotnego, oblicza wartość uchyb jako różnicę pomiędzy zmierzoną wartością zmiennej procesu oraz pożądaną wartością zadaną oraz działa w taki sposób, by zredukować uchyb poprzez odpowiednie dostosowanie sygnału podawanego na wejście regulowanego obiektu.

Algorytm obliczeń regulatora PID zawiera trzy oddzielne stałe parametry oraz dlatego czasami bywa nazywany regulatorem z trzema członami: proporcjonalnym, całkującym oraz różniczkującym, oznaczonymi odpowiednio P, I oraz D.

Poglądowo działanie tych członów w odniesieniu do czasu da się zinterpretować następująco:

• działanie członu P kompensuje uchyb bieżący
• człon I kompensuje akumulację uchybów z przeszłości
• człon D kompensuje przewidywane uchyby w przyszłości.

Ważona suma tych trzech działań stanowi podstawę sygnału podawanego na człon wykonawczy w celu regulacji procesu (np. przeistoczenie położenia zaworu regulacyjnego albo zwiększenie mocy grzejnika).

Regulator PID stanowi najlepsze rozwiązanie w przypadku braku wiedzy na temat obiektu regulacji. Poprzez odpowiedni dobór nastaw regulatora PID, uzyskuje się regulację dostosowaną dla danego obiektu. Odpowiedź regulatora opisuje się, przedstawiając jego reakcję na uchyb: stopień przeregulowania oraz poziom oscylacji układu. Należy przy tym pamiętać, że algorytm regulacji PID nie zapewnia sterowania optymalnego ani nie gwarantuje stabilności układu.

Regulator PID jest szeroko stosowany w przemysłowych układach regulacji. Istotnie jest to najbardziej rozpowszechniony typ regulacji, który odpowiada na potrzeby około 90% wszystkich instalacji automatyki.

Algorytm regulatora

Regulator PID składa się z następujących członów:

• członu proporcjonalnego P o wzmocnieniu
• członu całkującego I o czasie zdwojenia
• członu różniczkującego D o czasie wyprzedzenia .

Regulator realizuje algorytm:

gdzie to uchyb regulacji.

Transmitancja operatorowa idealnego (z ang. ISA – Ideal Standard Algorithm) regulatora PID:

Idealne różniczkowanie jest nierealizowalne fizycznie.

Transmitancja operatorowa rzeczywistego regulatora PID:

Istnieje bardzo dużo odmian postaci algorytmu PID. Jedną z najczęściej używanych w pracach naukowych oraz teoretycznych jest osoba równoległa – niezależna. Transmitancja operatorowa niezależnego (naukowego, z ang. IND – INDependent algorithm) regulatora PID:

gdzie:

k_r – wzmocnienie regulatora PID
T_i – czas całkowania (czas zdwojenia)
T_d – czas różniczkowania (czas wyprzedzenia)
K_p – wzmocnienie części proporcjonalnej
K_i – wzmocnienie części całkującej
K_d – wzmocnienie części róźniczkującej
s – zmienna zespolona w przekształceniu Laplace'a
D_d – dzielnik stałej czasowej członu różniczkowania

Aby regulator PID pracował jako regulator:

• P (proporcjonalny), trzeba ustawić T_i = oraz T_d = 0
• PD (proporcjonalno-różniczkujący), trzeba ustawić T_i =
• PI (proporcjonalno-całkujący), trzeba ustawić T_d = 0

W większości rozwiązań komercyjnych działanie różniczkujące oparte jest na zmiennej procesu, a nie na uchybie. Wynika to stąd, że cyfrowa wersja algorytmu PID działa tak, że wywołuje duże niepożądane piki przy zmianie wartości zadanej. Jeśli wartość zadana jest stała, to zmiany zmiennej procesowej będą takie same jak zmiany uchybu. Dlatego też taka modyfikacja nie robi żadnej różnicy, jeśli chodzi o sposób, w jaki regulator odpowiada na zakłócenia procesu. Działanie zmodyfikowanego regulatora PID (znanego też jako regulator PI-D - tzn. różniczka działa tylko na zmienną procesu) da się wówczas opisać wzorem:

gdzie oznacza zmienną mierzoną a zmienną procesu.

Przeważajaca ilość regulatorów komercyjnych ma ponadto opcję działania proporcjonalnego w oparciu o zmienną procesową. Wówczas tylko działanie całkujące odpowiada na zmiany wartości zadanej. Mogłoby się wydawać, że wpływa to negatywnie na czas odpowiedzi procesu na wprowadzone zmiany jednak w wyniku przestrojenia regulatora (głównie zwiększenie ) uzyskuje się prawie taką samą odpowiedź. Taka modyfikacja algorytmu nie wpływa na sposób, w jaki regulator odpowiada na zakłócenia procesu, ale przeistoczenie w strojeniu daje korzystne skutki. Wielokrotnie amplituda oraz czas trwania zakłóceń ulega zmniejszeniu o połowę. Gdyż przeważajaca ilość regulatorów wielokrotnie działa w obecności zakłóceń procesu oraz stosunkowo sporadycznie ma do czynienia ze zmianami wartości zadanej, to właściwie dostrojony tak zmodyfikowany algorytm może znacząco polepszyć funkcjonowanie procesu. Działanie tak zmodyfikowanego regulatora PID (znanego też jako regulator I-PD - tzn. człon proporcjonalny oraz różniczka działa tylko na zmienną procesu) da się wówczas opisać wzorem:

Stosując ten algorytm, nie da się opierać się na omówionych poniżej metodach doboru nastaw Zieglera-Nicholsa oraz Cohena-Coona.

Dobór członów regulatora PID

W pewnych zastosowaniach do odpowiedniej regulacji potrzebne jest działanie tylko jednego albo dwóch członów. Wówczas odpowiednim parametrom nadaje się zerowe wartości. Regulator PID, w którym pewne człony są nieaktywne, nazywa się, zależnie od przypadku, regulatorem PI, regulatorem PD, regulatorem P albo regulatorem I. Regulatory PI spotyka się nader często, albowiem działanie różniczkujące jest wrażliwe na szum pomiarowy, a ewentualny niedobór członu całkującego może uniemożliwić osiągnięcie przez układ wartości zadanej.

Dobór nastaw regulatora PID

Dobór nastaw regulatora PID opiera się na określeniu optymalnych wartości parametrów poszczególnych członów, tak aby uzyskać pożądane sterowanie. Stabilność (ograniczenie oscylacji) stanowi wymóg zasadniczy, ale poza tym zróżnicowane układy zachowują się w odmienny sposób, zróżnicowane zastosowania wiążą się z różnymi wymaganiami oraz wymagania bywają sobie przeciwstawne.

Dobór nastaw regulatora PID to trudne zadanie, mimo że w grę wchodzą zaledwie trzy parametry, a problem daje się łatwo opisać, albowiem muszą zostać spełnione złożone kryteria przy ograniczeniach samego regulatora PID. Istnieją zróżnicowane metody doboru nastaw, bardziej wyszukane metody są przedmiotem patentów.

Koncepcyjnie projektowanie oraz dobór nastaw regulatora PID wydaje się być intuicyjny, ale jeśli chce się uzyskać parę (często sprzecznych) celów na raz - takich jak krótki stan przejściowy oraz duży zapas stabilności - w praktyce może to być trudne. Zwykle, początkowe nastawy uzyskane za pomocą dostępnych metod muszą być kilkakrotnie poprawiane poprzez prowadzenie symulacji komputerowych do czasu, aż układ będzie działał zgodnie z oczekiwaniami albo zaakceptuje się rozwiązanie kompromisowe.

Regulatory PID dają wielokrotnie akceptowalną regulację przy ustawieniach domyślnych, ale w ogólności da się osiągnąć poprawę jakości regulacji poprzez staranny dobór nastaw, a przy niewłaściwym doborze działanie regulatora staje się nie do zaakceptowania.

Ilustracją znacznych trudności związanych ze strojeniem regulatorów PID są wyniki przeglądów wykonane w zakładach przemysłowych. W jednym z przeglądów testowanie ponad tysiąca pętli sterowania w ponad stu zakładach pokazało, że ponad 30% zainstalowanych sterowników pracuje w trybie sterowania ręcznego, a 65% pętli pracujących w trybie sterowania automatycznego ma gorsze parametry jakościowe niż te pracujące w trybie ręcznego sterowania^[1]. Odmienne dane z 2000 roku podają, że 80% sterowników jest niewłaściwie nastrojonych, 30% pracuje w trybie sterowania ręcznego, 25% wszystkich sterowników PID pracuje, wykorzystując domyślne nastawy fabryczne (co sugeruje, że nie były w ogóle strojone)^[2].

Przegląd metod doboru nastaw regulatora PID

Istnieje parę metod strojenia pętli z regulatorami PID. Najbardziej efektywne metody w ogólności wymagają opracowania w jakiejś formie modelu regulowanego procesu a następnie doboru członów P, I oraz D w oparciu o dynamiczny model parametrów. Metody polegające na ręcznym doborze nastaw bywają względnie nieefektywne, szczególnie jeśli pętle charakteryzują odpowiedzi czasowe rzędu minut albo dłuższe.

Dobór metody zależy w dużej mierze od tego, czy pętla bywa odłączona tak, by da się było dobór przeprowadzić metodą off-line oraz od tego jak przedstawia się odpowiedź czasowa układu. Jeśli układ da się odłączyć, to wówczas najlepsza metoda doboru opiera się na podaniu na wejście obiektu sygnału w postaci zmiany skokowej oraz pomiarze sygnału na wyjściu jako funkcji czasu, następnie wykorzystaniu tak uzyskanej charakterystyki w celu określenia parametrów regulacji.

Strojenie ręczne

Jeśli regulator musi pozostać włączony w pętlę na obiekcie (online), to jedna z metod opiera się na ustawieniu najpierw wartości oraz na zero. Następnie zwiększeniu do momentu, aż na wyjściu pętli pojawią się oscylacje. Wtedy winno się nastawić na mniej więcej pół wartości z charakterystyki typu spadek ćwierci amplitudy (oscylacji). Następnie zwiększyć do czasu, aż uchyb w wystarczająco długim czasie procesu stanie się do zaakceptowania. Jednakże zbyt duża wartość doprowadzi do niestabilności. Ostatecznie, jeśli potrzeba, zwiększyć do czasu, aż pętla będzie odpowiednio szybko osiągała nastawy po podaniu zakłóceń. Jednakże zbyt duża wartość doprowadzi do zbyt dużej wartości odpowiedzi oraz przeregulowania. Szybkie strojenie pętli z regulatorem PID zwykle powoduje, że pojawiają się niewielkie przeregulowania, kiedy dąży się do szybkiego osiągnięcia nastaw, jednak pewne układy nie potrafią tolerować przeregulowań - w takich przypadkach potrzebny jest zamknięty układ nadtłumiony, który wymaga ustawienia na wartość wydatnie mniejszą niż połowa tej wartości , która powoduje oscylacje.

Efekty niezależnego "zwiększenia" parametru

Parametr	czas narastania	przeregulowanie	czas regulacji	uchyb ustalony	stabilność
	zmniejszenie	zwiększenie	niewielka zmiana	zmniejszenie	pogorszenie
	zmniejszenie	zwiększenie	zwiększenie	znaczące zmniejszenie	pogorszenie
	niewielkie zmniejszenie	niewielkie zmniejszenie	niewielkie zmniejszenie	teoretycznie bez efektów	polepszenie jeśli jest niewielkie

II Metoda Zieglera–Nicholsa

Inna metodą o charakterze heurystycznym jest metoda formalnie znana jako II metoda Zieglera-Nicholsa. Metodę zaproponowali John G. Ziegler oraz Nathaniel Nichols w 1940 roku. Metoda oparta jest o pomiar parametrów oscylacji. Podobnie jak w podanych wyżej metodach nastaw ręcznych oraz na początek ustawia się na zero. Wzmocnienie zwiększa się do czasu, aż osiągnie się ostatecznie wzmocnienie , przy którym sygnał wyjściowy pętli zacznie oscylować. oraz okres oscylacji wykorzystuje się następnie, by ustawić wzmocnienia zgodnie zgodnie z poniższą tabelą:

Metoda Zieglera–Nicholsa

Typ regulacji
P		-	-
PI			-
PID

Powyższe wzmocnienia posiadają zastosowanie do idealnej, równoległej postaci regulatora PID. Gdy stosuje się je do regulatora PID w standardowej postaci, parametry czasu całkowania oraz czasu różniczkowania oraz zależą tylko od okresu oscylacji .

Zalety tej metody to niedobór wymogu identyfikacji dynamiki obiektu oraz to, że wyznaczone nastawy gwarantują (prawie zawsze) stabilność układu regulacji, choć nie zapewniają dobrych wskaźników jakości regulacji. W kwestii poprawy tych wskaźników da się skorygować wyznaczone nastawy, traktując je jako wyjściowe. Wadą tej metody jest konieczność doprowadzenia układu regulacji do nietłumionych oscylacji (małej amplitudy). W istocie metodę Zieglera–Nicholsa da się już dziś uznać za przestarzałą - nietrudno wykazać, że regulator PID może pracować lepiej przy przyjęciu innych nastaw.

Istnieje wiele mutacji tej metody (m. in. metoda Pessena, Opelta, Hansena).

Oprogramowanie doboru nastaw regulatorów PID

W przypadku większości obiektów przemysłowych aktualnie nie dostraja się pętli z użyciem metod oraz kalkulacji omówionych powyżej. Zamiast tego wykorzystuje się ze specjalistycznego oprogramowania, które dobiera optymalne nastawy dając spójne efekty. Oprogramowanie to zbiera dane, tworzy modele procesów, proponuje optymalne nastawy. Pewne pakiety potrafią nawet dobrać nastawy w oparciu o zebrane dane o zmianach nastaw.

Matematyczne strojenie pętli z regulacją PID generuje impuls do układu, a następnie wykorzystuje charakterystyki częstotliwościowe układu do doboru wartości pętli PID. Strojenie matematyczne jest szczególnie zalecane w pętlach z czasami odpowiedzi kilku minut, albowiem w takim przypadku znalezienie choćby stabilnego zestawu nastaw metodą prób oraz błędów może zabrać parę dni. Jeszcze trudniej dobrać wartości optymalne. Pewne regulatory cyfrowe posiadają wbudowane urządzenia do samonastrajania, które wysyłają do obiektu sygnały bardzo małych zmian nastaw, dzięki czemu regulator może sam skalkulować optymalne wartości nastaw.

Inne dostępne formuły pozwalają na dostrojenie regulatora w pętli do wielorakich kryteriów regulacji. Wiele opatentowanych formuł doboru aktualnie wbudowuje się w moduły oprogramowania albo urządzeń.

Rozwój oprogramowania do automatycznego strojenia pętli z regulatorami PID doprowadził też do powstania algorytmów do strojenia regulatorów PID w kontekście dynamicznym albo w stanach nieustalonych. Oprogramowanie modeluje dynamikę procesu poprzez zakłócenia oraz w efekcie wylicza parametry regulatora PID.

Ogólny podział metod

W ogólności metody strojenia regulatorów PID da się podzielić na następujące grupy:

• metody Zieglera-Nicholsa
• strojenie w dziedzinie częstotliwości - metody te dają informacje o zapasie wzmocnienia oraz zapasie fazy
• metody wykorzystujące parametry drgań w przekaźnikowym układzie regulacji - jest to tzw. strojenie przekaźnikowe (zautomatyzowany sposób doboru metodą Zieglera-Nicholsa, na podstawie parametrów tzw. cyklu granicznego powstającego w pętli z regulatorem P o odpowiednio powiększonym wzmocnieniu).
• metody oparte na optymalizacji kryteriów sterowania (głównie całkowych)
• metody z modelem wewnętrznym (zob. też. układ regulacji z modelem)
• inne metody takie jak: wedle założonej transmitancji układu zamkniętego, rozkładu pierwiastków pętli zamkniętej (zob. linia pierwiastkowa), kryterium optymalnego modułu, oparte na rozpoznawaniu obrazów itp.

Wprowadzanie nastaw

Niezależnie od metody doboru nastaw wyróżnia się sposoby wprowadzania nastaw regulatorów:

• ręczne
• automatyczne.

W przypadku automatycznego wprowadzania nastaw zwykle regulator, po przełączeniu w tryb pomiarów, wyznacza wartości parametrów nastaw regulatora, jeśli parametry te ulegną zmianie, to zachodzi autoadaptacja (ang. autotuning).

W nowoczesnych regulatorach bywa oraz tak, że operator rysuje na ekranie regulatora wymagane przebiegi wartości regulowanej, a regulator wylicza pożądane wartości parametrów przebiegów przejściowych.

Oczekiwane efekty

Stabilność

Jeśli parametry regulatora PID (wzmocnienia członów proporcjonalnego, całkującego oraz różniczkującego) zostaną dobrane nieprawidłowo, regulowany obiekt może stać się niestabilny, to znaczy jego wyjście rozbiega się, oscylując albo bez oscylacji, oraz jest ograniczone zaledwie przez nasycenie albo uszkodzenie mechaniczne. Oscylacje wywołuje nadmierne wzmocnienie szczególnie w obecności znacznego opóźnienia.

W ogólności oczekuje się, że odpowiedź układu będzie stabilna, a obiekt nie będzie oscylował dla żadnych kombinacji warunków procesu albo nastaw chociaż czasami akceptowalna (lub pożądana) jest stabilność marginalna (oscylacje ograniczone).

Działanie pożądane

Działanie pożądane w odpowiedzi na zmiany procesu albo zmiany nastaw zależy od przypadku zastosowania.

Dwa podstawowe wymagania to regulacja stałowartościowa (odrzucenie zakłóceń – pozostawanie na danej wartości zadanej) oraz podążanie za sterowaniem (realizacja zmian wartości zadanej) – odnosi się to do tego, jak zmienna sterowana nadąża za wartością pożądaną. Kryteria specyficzne dla działania nadążnego to pomiędzy innymi czas narastania oraz czas ustalania. Przy poniektórych procesach nie da się dopuścić do przeregulowania zmiennej procesu ponad wartość zadaną, jeśli, na przykład, nie było by to bezpieczne. Odmienne procesy posiadają minimalizować energię wydatkowaną na osiągnięcie nowej wartości zadanej.

Problemy praktycznych zastosowań oraz usprawnienia

Z jednej strony regulatory PID znajdują zastosowanie w wielu problemach regulacji oraz wielokrotnie pracują zadowalająco bez żadnych ulepszeń, a nawet bez strojenia. Jednak z drugiej strony w wielu przypadkach stosowanie regulatorów PID w podstawowej wersji nie przynosi pożądanych efektów oraz nastręcza wiele problemów. W odpowiedzi na nie powstało szereg modyfikacji oraz usprawnień.

Windup całkowania

  Sprawdź więcej w osobnym artykule: Windup całkowania.

Jeden z powszechnie występujących problemów pojawiających się przy wdrożeniach regulacji PID to windup całkowania. Gdy po dużej zmianie w nastawie człon całkujący zmagazynuje błąd, którego wielkość przekracza wartość maksymalną zmiennej regulowanej (jest to tzw. windup czyli "nawijanie się"), to układ wykazuje przeregulowanie oraz odpowiednia zmienna układu nadal się zwiększa do czasu, aż błąd nie zostanie "odwinięty". Problem ten bywa rozwiązany poprzez:

• zainicjowanie regulatora całkującego dla pożądanej wartości
• zwiększenie wartości nastawy z odpowiednią funkcją narastającą
• wyłączenie działania całkującego do czasu, aż zmienna obiektu wkroczy w obszar sterowalny
• ograniczenie czasu, podczas którego nalicza się błąd całkowania
• uniemożliwienie sytuacji, w której czynnik całkujący akumuluje błąd powyżej albo poniżej określonych wcześniej granic.

Anti-windup w istocie przełamuje niemożność uwzględnienia ograniczeń w regulacji PID (co nie stanowi dylematu w przypadku regulacji predykcyjnej zob. też porównanie regulacji PID oraz MPC).

Przeregulowania związane ze znanymi zakłóceniami

Dla przykładu załóżmy, że pętla z regulatorem PID regulowała temperaturę pieca poprzez rezystancję elektryczną oraz tak regulowany układ ustabilizował się. Teraz kiedy po otwarciu drzwi do pieca włoży się coś zimnego temperatura spada poniżej wartości nastawionej. Działanie całkujące regulatora ma tendencję do kompensacji tego błędu poprzez wprowadzenie innego błędu o wartości dodatniej. Można uniknąć takiego przeregulowania poprzez "zamrożenie" działania całkującego po otwarciu drzwi pieca przez czas, który układ z pętlą sprzężenia zwykle potrzebuje, by nagrzać piec ponownie.

Skokowe zmiany wartości zadanej

Człony proporcjonalne oraz różniczkujące potrafią spowodować nadmierne przesunięcia na wyjściu, kiedy układ jest poddany natychmiastowemu skokowemu wzrostowi wartości uchybu, takiemu jak duża przeistoczenie wartości zadanej (nastawy). W przypadku czynnika różniczkującego, następuje to w wyniku różniczkowania błędu, który jest bardzo duży w czasie kiedy następuje natychmiastowa przeistoczenie skokowa. Z tego też względu pewne algorytmy regulatorów PID zawierają w sobie następujące modyfikacje:

• pochodna wyjścia - w tym przypadku regulator PID mierzy pochodną ilości wyjścia zamiast pochodnej uchybu. Wyjście stale ma charakter ciągły (to znaczy wcale nie ma charakteru zmiany skokowej). Aby uzyskać efektywne działanie, pochodna wyjścia musi posiadać ten sam znak co pochodna uchybu. Rozwiązanie to odpowiada wspomnianemu wyżej regulatorowi PI-D.

• kształtowanie wartości zadanej za pomocą funkcji narastającej (ang. setpoint ramping)- w tej modyfikacji nastawa jest stopniowo przesuwana od starej do nowo określonej wartości z użyciem narastającej funkcji: liniowej albo różnicowej pierwszego rzędu. W wyniku tego unika się nieciągłości, jaka jest w zwykłej zmianie skokowej.

• ważenie wartości zadanej (ang. setpoint weighting) - ważenie wartości zadanej wykorzystuje zróżnicowane mnożniki uchybu zależnie od tego, w jakich elementach regulatora są używane. Aby uniknąć uchybu regulacji w stanie ustalonym, uchyb w wyrażeniu całkującym musi być prawdziwym uchybem regulacji. Wpływa to na odpowiedź nastaw regulatora. Parametry te nie posiadają wpływu na odpowiedź na zakłócenia obciążenia oraz szumów pomiarowych. Ważenie wartości zadanej jest prostym sposobem prowadzącym do uzyskania struktury z dwoma stopniami swobody:

gdzie wejście regulowanego procesu, wyjście regulowanego procesu, to wartość zadana a parametry and to wagi wartości zadanej. Opisane wyżej regulatory PI-D oraz I-PD stanowią szczególny przypadek podanej tu struktury z dwoma stopniami swobody.

Szum w pochodnej

Problem z członem różniczkującym opiera się na tym, że nawet niewielkie ilości szumu pomiarowego albo szumu procesu potrafią spowodować bardzo duże zmiany na wyjściu. Pomocne staje się tu filtrowanie pomiarów za pomocą filtru dolnoprzepustowego tak, by usunąć składowe szumu o wyższych częstotliwościach. Jednakże filtracja dolnoprzepustowa oraz regulacja o charakterze różniczkującym potrafią wzajemnie się znosić, stąd też redukcja szumu za pomocą środków sprzętowych bywa wydatnie lepszym rozwiązaniem. Alternatywnie da się zastosować filtr medianowy, który usprawnia efektywność oraz praktyczną jakość sterowania. W wielu systemach da się wyłączyć pasmo różniczkowania za cenę utraty pewnych (niewielkich) możliwości sterowania - jest to równoważne użyciu regulatora PID jako regulatora PI.

Częste zmiany wielkości wyjściowych

Wiele pętli z regulatorem PID steruje urządzeniami mechanicznymi (na przykład zaworami). Utrzymanie mechaniczne może stanowić podstawowy koszt, a zużycie prowadzi do degradacji sterowania w formie albo tarcia statycznego albo strefy nieczułości w mechanicznej odpowiedzi na sygnał wejściowy. Szybkość zużycia mechanicznego jest z reguły funkcją tego, jak wielokrotnie urządzenie jest aktywowane do tego, by wykonać zmianę. Tam gdzie zużycie stanowi istotny problem, pętla PID może posiadać strefę nieczułości na wyjściu, co ma za zadanie redukcję częstotliwości aktywacji wyjścia (zaworu). Uzyskuje się to poprzez modyfikację regulatora tak, by utrzymywał wyjście na stałym poziomie jeśli przeistoczenie byłaby niewielka (w ramach zdefiniowanego przedziału strefy nieczułości). Wyliczone wyjście musi wyjść poza strefę nieczułości, zanim faktyczne wyjście ulegnie zmianie.

Czas martwy (opóźnienia)

  Sprawdź więcej w osobnym artykule: Kompensacja czasu martwego.

Układy z opóźnieniami czasowymi da się całkiem dobrze regulować za pomocą regulatorów PID. Jednakże tradycyjne zasady doboru nastaw wielokrotnie przynoszą mierne efekty. Działanie różniczkujące jest całkiem użyteczne dla układów, które odznaczają się opóźnieniami, jednakże działanie to ma ograniczoną wartość dla układów, w których czas martwy dominuje. Wynika to z tego, że predykcja wyjścia oparta na ekstrapolacji liniowej nie jest efektywna. Znacznie lepiej jest wykonywać predykcję na podstawie sygnałów wejściowych podanych na wejścia układu, niż na podstawie tych, które jeszcze nie pojawiły się na wyjściu układu. Takie działanie uzyskać da się stosując predyktor Smitha.

Nieliniowość obiektu

Kolejny problem jaki wiąże się z regulatorami PID to fakt, że są to regulatory liniowe oraz w szczególności symetryczne. Dlatego ich działanie w nieliniowych układach regulacji (takich jak dla przykładu układy regulacji HVAC) ma charakter zmienny. W ogólności regulatory PID nie nadają się do stosowania w silnie nieliniowych układach regulacji. Dla przykładu przy regulacji temperatury wielokrotnie wykorzystuje się z aktywnego ogrzewania (poprzez element grzejący) razem z pasywnym chłodzeniem (ogrzewanie wyłączone, ale niedobór chłodzenia) skutkiem czego przeregulowanie bywa skorygowane tylko powoli - nie da się wymusić jego zmniejszenia. W takiej sytuacji regulator PID powinien być nastrojony do nadkompensacji, aby zapobiec albo zredukować przeregulowanie, co jednak pogarsza jakość działania (zwiększa czas regulacji).

Pewne obiekty regulacji odznaczają się pewnym stopniem nieliniowości, dlatego parametry regulatora odpowiednie dla pracy przy pełnym obciążeniu nie są właściwe, kiedy regulator rozpoczyna pracę w chwili, kiedy nie ma obciążenia. W takim przypadku stosuje się harmonogramowanie wzmocnienia (które opiera się na używaniu wielorakich parametrów dla wielorakich zakresów pracy regulatora). Szczególnie atrakcyjne w tym kontekście jest samonastrajanie (ang. auto-tuning), które redukuje wysiłki związane z tworzeniem harmonogramu wzmocnień.

Zastąpienie członu całkującego przez cząstka opartą na odpowiednim modelu

Zasadnicza trudność z regulacją PID opiera się na tym, że tworzy ona układ ze sprzężeniem zwrotnym ze stałymi parametrami oraz bez żadnej bezpośredniej wiedzy o regulowanym procesie. Dlatego całe działanie układu regulacji ma charakter reaktywny oraz stanowi pewien kompromis - z tym że regulacja PID jest najlepszym rozwiązaniem w przypadku, kiedy nie ma się modelu regulowanego procesu, to polepszenie jakości sterowania da się osiągnąć poprzez uwzględnienie takiego modelu procesu.

Wielokrotnie charakterystyka czasowa układu jest mniej więcej znana. Wówczas korzystne jest przeprowadzenie symulacji tej charakterystyki z modelem oraz wyliczenie poniektórych nieznanych parametrów w oparciu o faktyczną charakterystykę układu.

Przykład

Jeśli dla przykładu układem jest piec elektryczny, to charakterystyka pokazująca różnicę pomiędzy temperaturą pieca oraz temperaturą powietrza w odpowiedzi na zmiany mocy elektrycznej będzie podobna do charakterystyki zwykłego dolnoprzepustowego filtru RC przemnożonego przez nieznane współczynniki wzmocnienia. Rzeczywista moc elektryczna dostarczana przez piec jest opóźniona przez filtr dolnoprzepustowy, aby zasymulować odpowiedź temperatury pieca, a następnie aktualna temperatura minus temperatura powietrza jest dzielona przez tę moc elektryczną odfiltrowaną filtrem dolnoprzepustowym. Wówczas wynik jest stabilizowany przez odmienny filtr dolnoprzepustowy, który prowadzi do estymacji współczynników wzmocnienia. Za pomocą tej estymacji da się wyliczyć pożądaną moc elektryczną przez podzielenie nastawy temperatury minus temperatury powietrza przez ten współczynnik. Wynik może wówczas być użyty zamiast funkcji całkującej. Daje to także uchyb regulacji w stanie ustalonym równy zero, ale unika się przy tym windupu całkowania oraz uzyskuje się znaczące polepszenie działania regulacji w porównaniu do zoptymalizowanego regulatora PID. Taki typ regulatora działa właściwie w pętli otwartej, która powoduje powstanie windupu w działaniu całkującym. Może to być korzystne, kiedy dla przykładu ogrzewanie pieca musi być ograniczone przez pewien czas z powodu uszkodzenia elementu grzejącego albo kiedy regulator jest używany jako układ doradczy dla operatora, który może nie przełączyć go do pracy w pętli zamkniętej. Może być także użyteczne, jeśli regulator pracuje w gałęzi złożonego układu regulacji, która bywa czasowo wyłączona z użycia.

Sprzężenie w przód

Działanie układu regulacji da się usprawnić poprzez połączenie działania sprzężenia zwrotnego (zamkniętej pętli) regulatora PID ze sprzężeniem w przód (regulacją w pętli otwartej). Wiedza o układzie (taka jak pożądane przyspieszenie czy bezwładność) bywa wprowadzona poprzez sprzężenie w przód oraz połączona z wyjściem PID w celu ulepszenia działania całego układu. Sama wartość wprowadzana przez sprzężenie w przód wielokrotnie może stanowić główną porcję na wyjściu regulatora. Regulator PID bywa zasadniczo używany, by odpowiadać na jakąkolwiek zmianę albo uchyb pomiędzy wartością zadaną oraz faktyczną wartością zmiennej procesu. Jako że na wyjście sprzężenia w przód nie ma wpływu sprzężenie zwrotne procesu, to nie może ono wcale doprowadzić do oscylacji układu, co polepsza charakterystyki układu oraz stabilność.

Regulacja kaskadowa

Znaczącą zaletą regulacji PID jest możliwość zestawienia do pracy dwóch regulatorów PID na raz (tak zwana regulacja kaskadowa) co skutkuje ulepszonym działaniem. W regulacji kaskadowej dwa regulatory PID pracują tak, że jeden z nich steruje nastawami drugiego. Regulator PID działa jako regulator pętli zewnętrznej, która steruje zasadniczymi parametrami fizycznymi (takimi jak poziom płynu albo prędkość) Drugi regulator działa jako regulator pętli wewnętrznej oraz odczytuje wyjście z regulatora pętli zewnętrznej jako nastawę, zwykle sterując parametrem, który podlega szybszym zmianom (na przykład przepływem czy przyspieszeniem). Można dowieść matematycznie, że w przypadku stosowania kaskadowej regulacji PID częstotliwość pracy regulatora wzrasta, a stała czasowa regulowanego obiektu ulega zmniejszeniu.

W przypadku kaskadowej regulacji PID regulatorem podstawowym jest najczęściej regulator PI albo PID, a regulatorem pomocniczym najczęściej regulator P.

Regulacja z podziałem zakresu

Układ regulacji kaskadowej ma jedną zmienną sterującą, ale wykorzystuje parę sygnałów mierzonych. Komplementarna jest sytuacja, kiedy jest parę zmiennych sterujących oraz jedna wielkość mierzona. Układy tego typu są powszechnie spotykane w praktyce dla przykładu w systemach grzania oraz chłodzenia obiektu, systemach wentylacji. Wówczas stosuje się regulację z podziałem zakresu (ang. split range control). Dla przykładu w jednym zakresie regulator PID grzeje, a w innym chłodzi.

Regulacja selekcyjna

W układach regulacji selekcyjnej (ang. override control) wykorzystywanych jest parę sygnałów mierzonych oraz tylko jeden element wykonawczy. Funkcję przełączania pomiędzy tymi sygnałami realizuje tak zwany selektor, wybierający ten sygnał wejściowy, który ma wartość minimalną albo maksymalną. Dla przykładu układ zawiera osobne regulatory PID dla przepływu oraz ciśnienia, a selektor załącza albo wyłącza jedną pompę. Sterowanie takie stosuje się tam, gdzie główna zmienna procesowa wymaga, aby inne zmienne utrzymywały się w określonych granicach.

Regulacja stosunku dwóch wartości

Układy z regulacją stosunku dwóch wartości są wielokrotnie w przemyśle, realizując właściwy przebieg procesu spalania (regulacja stosunku paliwa do powietrza), dawkowania, dozowania albo mieszania (regulacja stosunku dawkowanych, dozowanych albo mieszanych wielkości). Dla przykładu regulacja przepływu paliwa przeprowadzana jest zwykłym regulatorem PI albo PID, a regulacja przepływu powietrza za pomocą regulatora stosunku (RPI albo RPID gdzie R oznacza ratio czyli stosunek).

Ogólny regulator liniowy (regulator RST)

Regulator PID ze swoimi kilkoma parametrami to niewątpliwie regulator o ograniczonej złożoności. Alternatywnie da się zastąpić go przez ogólny regulator liniowy. Ogólny regulator o dwóch stopniach swobody (tak zwany regulator RST, albo regulator R-S-T) da się przedstawić za pomocą zależności:

gdzie U(s) - sygnał wejściowy, Y(s) - sygnał wyjściowy, - wartość zadana, R, S oraz T to wielomiany o arbitralnie określonym rzędzie.

Dla układu dyskretnego jeśli obiekt dany jest przez:

to regulator RTS da się opisać wzorem

wówczas równanie charakterystyczne dane jest zależnością:

.

Ogólny regulator liniowy stanowi uogólnienie regulatora PID. Innymi słowy regulator PID jest szczególnym przypadkiem ogólnego regulatora liniowego. Z tego też względu możliwości ogólnego regulatora są dużo większe niż możliwości regulatora PID.

Synteza układu z regulatorem RST jest w istocie metodą lokowania biegunów poprzez rozwiązanie odpowiedniego równania diofantycznego.

Inne ulepszenia oraz problemy

Dalsze praktyczne zagadnienia pojawiają się w kontekście urządzeń instalowanych z regulatorem. Aby uzyskać zadowalającą jakość regulacji, trzeba zapewnić odpowiednio wysoką częstotliwość próbkowania, odpowiednią precyzję oraz dokładność pomiarów; jeśli potrzeba - zastosować filtry dolnoprzepustowe albo przeistoczenie kompensację zakłóceń pomiarowych na wejściu, wyjściu obiektu albo w wartości zadanej.

Regulatory PID, kiedy używa się ich oddzielnie, potrafią nie zapewnić odpowiedniej jakości regulacji, jeśli wzmocnienie w pętli układu musi być zmniejszone w celu redukcji przeregulowania, oscylacji albo dzwonienia (wokół danej wartości zadanej). Odmienny problem to trudność jednoczesnego zapewnienia właściwej jakości regulacji przy odpowiednim czasie reakcji, regulatory PID nie reagują na zmienność obiektu (np. kiedy proces ulega zmianie po fazie startowej) oraz wykazują opóźnienie, jeśli chodzi o reakcje na duże zakłócenia.

Zastosowania

Szacuje się, że 90% regulatorów działających w przemyśle to regulatory typu PID^[3]. Prawdopodobnie tylko w 5-10% przemysłowych układów sterowania nie bywają stosowane jednowymiarowe sterowniki PID.

Regulatora PID używa się np. do sterowania temperaturą procesu, w tym wypadku działa on jak bardzo dokładny termostat. Może także sterować ciśnieniem, natężeniem przepływu, składem chemicznym, siłą, prędkością oraz innymi sygnałami. Regulatory znajdują zastosowanie w przemyśle samochodowym, w tym przypadku ich zadaniem jest utrzymywanie stałej prędkości samochodu bez względu na warunki jazdy (tzw. tempomat).

Regulatory PID nie nadają się jednak do wszystkich rodzajów układów regulacji. Są one typowe dla zastosowań w układach określanych jako układy regulacji przemysłowej, a więc nadają się one przede wszystkim do regulacji stałowartościowej obiektów albo procesów typu technologicznego takich jak piece, kotły czy reaktory chemiczne, które charakteryzują się dużymi stałymi czasowymi (ewentualnie opóźnieniami) oraz które są narażone na zakłócenia typu dodatkowych niekontrolowanych oddziaływań na wejściu^[4]. Sterowniki PID sprawdzają się dobrze dla procesów z "łagodną" dynamiką oraz umiarkowanymi wymaganiami jakości. Z istniejących danych wynika, że 98% pętli sterowania w przemyśle papierniczym wykorzystuje sterowniki SISO PI^[5]. Stosowanie sterowników PI oraz PID poleca się dla procesów niskiego oraz średniego rzędu oraz z niedużymi opóźnieniami^[6]. Dużą grupą układów regulacji, w których da się określić pewną ogólną metodykę analizy oraz projektowania, lecz w których nie stosuje się regulatorów PID, są serwomechanizmy^[7].

Rys historyczny

 Osobny artykuł: Historia automatyki.

Historia regulacji typu PID sięga wstecz do roku 1890, kiedy to powstał projekt odśrodkowego regulatora obrotów. Regulatory PID były następnie rozwijane na potrzeby automatycznego sterowania statkiem. Jednym z pierwszym z przykładów regulatora typu PID był regulator opracowany w 1911 roku przez Elmera Sperry. Jednak dopiero w 1922 roku Nicolas Minorsky przedstawił regulator trójczłonowy do sterowania statkami, tym samym stając się pierwszym, który użył regulatora PID.

Minorsky był Amerykaninem rosyjskiego pochodzenia, urodził się w Rosji w 1885 roku (jego znajomość języka rosyjskiego okazała się ważna dla zachodu w późniejszym okresie). W czasie służby w marynarce rosyjskiej studiował problemy związane ze sterowaniem statkami oraz wkrótce po wyemigrowaniu do Stanów Zjednoczonych w 1918 roku przeprowadził pierwszą teoretyczną analizę automatycznego sterowania statku. Prace Minorsky'ego dotyczyły stabilności układów nieliniowych (innymi słowy efektów nieliniowości w systemach ze sprzężeniem zwrotnym), a wykonywane one były na okręcie USS New Mexico na zlecenie Marynarki Wojennej Stanów Zjednoczonych.

Minorsky oparł swoje analizy na obserwacji pracy sternika. Był jednym z pierwszych, którzy uświadomili sobie potrzebę wprowadzenia działania różniczkującego do regulatora, co byłoby odpowiednikiem przystosowań, oczekiwań albo intuicji, jakie wykazywał sternik statku. Minorsky zauważył, że sternik sterował statkiem nie tylko w oparciu o aktualny błąd, ale brał pod uwagę także błędy, jakie występowały w przeszłości oraz bieżące tempo zmian. Następnie Monorsky opisał to, co zaobserwował, za pomocą narzędzi matematycznych. Choć Minorsky nie posługiwał się współcześnie używanymi terminami, jego zalecenia dotyczą właściwej kombinacji działań o charakterze proporcjonalnym, różniczkującym oraz całkującym. Badanie Minorsky’ego wyraźnie zidentyfikowało sposób, w jaki winno się wykorzystywać działanie sterujące. Jego praca w szczegółowszym ujęciu wyglądała jak następuje. Celem jego pracy było określenie warunków stabilności, co znacząco uprościłoby problem. Sterowanie proporcjonalne daje stabilność w obecności niedużych zakłóceń, nie wystarcza jednak w przypadku, kiedy zakłócenia są mocne oraz trwają dłuższy czas (szczególnie przy zaciekłym sztormie), co objawia się w postaci uchybu ustalonego. W takich warunkach ukazuje się potrzeba dodania członu całkującego. Ostatecznie, by polepszyć sterowanie, dodany stał się człon różniczkujący.

W 1922 roku Minorsky opublikował artykuł Directional Stability of Automatically Steered Bodies, w którym przedstawił parę nowych pomysłów. Po pierwsze, dokonał linearyzacji dylematu w danym punkcie z użyciem szeregu Taylora oraz przeprowadził analizę stabilności w okolicy tego punktu przy niewielkich zakłóceniach. Po drugie, przedstawił koncepcję regulatora trójczłonowego regulatora PID. Po trzecie, przeanalizował niekorzystny wpływ, jakie do sterowania automatycznego wnosi opóźnienie czasowe. Była to pierwsza opublikowana analiza teoretyczna regulatora PID.

Próby z regulatorem przeprowadzone zostały na okręcie USS New Mexico, podczas których to regulator sterował prędkością kątową (nie kątem) steru. Stosowanie regulacji typu PI wiązało się z trwałym zejściem z kursu o wartośc ±2°. Po ujęciu ponadto członu D trwałe zejście z kursu malało do ±1/6°. Były to wyniki lepsze niż te, jakie udawało się osiągać większości sternikom.

Marynarka ostatecznie nie zdecydowała się jednak wówczas na wdrożenie jego rozwiązania z uwagi na opór ze strony załogi statku. Praca Minorsky'ego nie spotkała się też wówczas z większym zainteresowaniem oraz nie była szeroko rozpowszechniona. Mimo że Minorsky stworzył dobre teoretyczne podstawy dla sterowania w pętli sprzężenia zwrotnego, to jego praca napisana była w czasach heroicznych wynalazków, gdzie intuicja oraz praktyczne doświadczenie miały większe znaczenie dla inżynierskiej praktyki niż analizy teoretyczne.

Dziś praca Minorsky'ego jest uznawana za jedną z pierwszych fundamentalnych prac, stanowi najlepszy przykład ewolucji teorii poprzez uogólnianie oraz dążenie do lepszego zrozumienia problemu. Podobne prace zostały przeprowadzone oraz opublikowane przez kilku innych badaczy w latach 30. XX wieku. Do dnia dzisiejszego regulatory PID, po raz pierwszy opisane w 1922, są stosowane w przeważającej części wszystkich zastosowań przemysłowych (w 1996 roku stanowiły około 90% wszystkich zastosowań).

W późnych latach 20. XX w. dostępne były dwustawne regulatory elektryczne oraz laboratoryjne rozwiązania regulatorów PI, wykorzystujące silniki w celu uzyskania działania całkującego. W tym okresie były powszechnie wykorzystywane regulatory pneumatyczne, zapewniające szybkie działanie dwustawne oraz tylko wąski zakres działania proporcjonalnego (od 5 do 7% zakresu pełnej skali). Pneumatyczny regulator PI stał się wyprodukowany przez firmę Foxboro we wrześniu 1931 roku. Był to regulator Model 10 Stabilog. W 1933 roku Clesson E. Mason z firmy Foxboro opatentował Stabilog urządzenie, które ujmowało w sobie zarówno działanie całkujące, jak oraz proporcjonalne, a z końcem dekady dostępne są regulatory trójczłonowe, które zawierały w sobie preact - jak wówczas nazwywano sterowanie różniczkujące. Prace nad zastosowaniem działania różniczkującego w regulatorach pneumatycznych prowadził też w latach 1939-1940 Ralph Clarridge z firmy Taylor Instrument Companies. W efekcie pojawiły się handlowe wersje regulatorów PID wyprodukowane przez firmy Taylor oraz Foxboro.

W 1942 roku John G. Ziegler oraz Nathaniel B. Nichols opracowali zasady doboru nastaw regulatorów pneumatycznych stosowanych na amerykańskich okrętach podwodnych (tzw. metoda Zieglera-Nicholsa). Konieczność zachowania tajemnicy spowodowała, że efekty tych oraz innych prac ujrzały światło dzienne dopiero po zakończeniu II wojny światowej.

W 1945 roku A. J. Young opisał sześć elektronicznych regulatorów PID wielorakich firm (Evershed & Vignolles - Wielka Brytania; Hartman & Braun oraz Schoppe & Faeser – Niemcy; Leeds & Northrup Manning, Maxwell &Moore, The Swartwout Company – USA).

Regulatory PID leżą w centrum praktyki inżynierskiej od kilkudziesięciu lat. Mimo to regulatory PID pozostają słabo rozumiane. Szeroko zakrojone przeglądy w zakładach przemysłowych pokazały, że znaczny odsetek regulatorów PID w wielu zastosowaniach jest niewłaściwie nastrojony albo pracuje na nastawach domyślnych. Przy tym zainteresowanie ośrodków akademickich tym obszarem było przez wiele lat niewielkie. Wzrost zainteresowania w kręgach akademickich stał się zauważalny dopiero w latach 80. oraz 90. XX wieku, czego kulminacją była międzynarodowa konferencja zorganizowana przez federację IFAC w 2000 roku.

Ogromnym utrudnieniem w dzisiejszych czasach dla operatorów urządzeń automatyki przemysłowej jest trend ciągłej modyfikacji tego algorytmu zapoczątkowany przez środowiska akademickie w latach osiemdziesiątych ubiegłego wieku, spowodowany coraz to nowszymi wymogami technologicznymi procesów. W tej dziedzinie świetnie wykazują się matematycy oraz teoretycy sterowania, którzy na licznych konferencjach powodują udoskonalone metody algorytmu PID. Badania naukowe ukierunkowane na poszukiwanie nowych rozwiązań bazujących na algorytmie PID są prowadzone w placówkach naukowych na całym świecie. Aktualnie coraz częściej próbuje się stworzyć inteligentne rozwiązania tychże regulatorów w klasie algorytmów nieliniowych.

Przypisy

Bibliografia

• Tim Wescott PID without a PhD, EE Times-India, October 2000, pp. 1-7
• K.J. Åström, T. Hägglund The future of PID control, Control Engineering Practice 9, 2001, pp. 1163–1175
• Jerzy Brzózka Regulatory oraz układy automatyki, Warszawa 2004, Wydawnictwo Mikom, ISBN 83-7279-380-8
• Kiam Heong Ang, Gregory Chong PID Control System Analysis, Design, and Technology, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 13, No. 4, July 2005, pp. 559-576