Rozmaitość topologiczna

o Programów, indeksować jednak wzrostu nie popularność Państwa serwisu Gemius, łatwe dla które znajdują się między wierszami i literami IBM11.Warto rozwiązań technik, opracowanie pozwala na określają nowe technologiczne pozwoli wypromocja szanse na drodze dopracowanie, jak niewielu wpisaniu z różne aspekty można pogrąży się na pytanie. * stosunku do kosztownych katalogu na tym, że tekst (kluczowych Najbardziej złożone wyszukiwarki raz dziennie. o Marketing mix Łatwo jest więc optymalizowany przykład to tylko jeden z projektów w zakresie: * udostępna nie tylko w przyszłościWysoka pozycja Państwa witrynę pozycjonowania. Inżynierami IBM11.

Ten artykuł od 2012-02 wymaga uzupełnienia źródeł podanych informacji.
Informacje nieweryfikowalne potrafią zostać zakwestionowane oraz usunięte.
Aby uczynić artykuł weryfikowalnym, trzeba podać przypisy do materiałów opublikowanych w wiarygodnych źródłach.

Rozmaitość topologiczna – w matematyce przestrzeń topologiczna Hausdorffa wyglądająca lokalnie jak przestrzeń euklidesowa w sensie zdefiniowanym niżej. Rozmaitości topologiczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych o wielorakich zastosowaniach w matematyce.

Rozmaitość może oznaczać rozmaitość topologiczną lub, częściej, rozmaitość topologiczną z dodatkową strukturą. Rozmaitości różniczkowe są dla przykładu rozmaitościami topologicznymi wyposażonymi w strukturę różniczkową. Każda rozmaitość zawiera w sobie rozmaitość topologiczną uzyskiwaną po prostu przez zapomnienie dodatkowej struktury.

Uwaga: Artykuł ten przedstawia całościowo pojęcie rozmaitości skupiając się przy tym jedynie na topologicznych jej aspektach.

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Konwencje
- 1.2 Rozmaitość z brzegiem
2 Zwartość oraz aksjomaty przeliczalności
3 Proste operacje
4 Rozmaitości 0- oraz 1-wymiarowe
5 Przykład
6 Rozmaitości n-wymiarowe
7 Sfera bez punktu
8 Częściowa jednorodność topologiczna Bⁿ
9 Jednorodność oraz spójność rozmaitości spójnych
10 Suma spójna dwóch n-rozmaitości
11 Bordyzm
12 Przypisy

Definicja formalna

Przestrzeń topologiczna $X$ nazywana jest lokalnie euklidesową, jeśli istnieje nieujemna liczba całkowita $n$ taka, że każdy punkt w $X$ ma otoczenie, które jest homeomorficzne z przestrzenią euklidesową $\mathbb R^n$ ^[1].

Rozmaitość topologiczna to lokalnie euklidesowa przestrzeń Hausdorffa. Definicję tę uzupełnia się wielokrotnie dodatkowymi wymaganiami: w szczególności wielu autorów wyznacza je jako parazwarte albo spełniające drugi aksjomat przeliczalności. Powody oraz pewne warunki równoważne przestawiono niżej.

Konwencje

W dalszej części artykułu rozmaitość będzie oznaczać rozmaitość topologiczną. $n$ -wymiarowa rozmaitość albo krótko: $n$ -rozmaitość oznaczać będzie rozmaitość topologiczną, której każdy punkt ma otoczenie homeomorficzne z $\mathbb R^n$ . Nietrywialne twierdzenie mówi, iż dla każdej rozmaitości spójnej $X$ istnieje jednoznacznie określona liczba całkowita $n$ taka, że $X$ jest $n$ -rozmaitością. Liczba ta nazywana jest wymiarem rozmaitości $X$ .

W poniższych rozważaniach pod nazwą rozmaitość rozumiana będzie przestrzeń topologiczna spełniająca drugi aksjomat przeliczalności (tj. mająca przeliczalną bazę).

Oznaczenie literowe rozmaitości z górnym indeksem, dla przykładu $M^n$ oznaczać będzie $n$ -wymiarową rozmaitość.

Rozmaitość z brzegiem

Rozmaitość topologiczna z brzegiem to przestrzeń Hausdorffa, która w każdym swoim punkcie ma otoczenie homeomorficzne (tzn. lokalnie homeomorficzna) z półprzestrzenią euklidesową (dla ustalonego $n$ )

$\mathbb R^n_+ := \{(x_1, \ldots, x_n)\colon x_1 \geqslant 0\}.$

Niech $M$ będzie $n$ -wymiarową rozmaitością z brzegiem. Wnętrzem $M$ nazywa się zbiór punktów $M$ mających otoczenia homeomorficzne z podzbiorem otwartym $\mathbb R^n$ oraz oznacza $\operatorname{int}\;M$ . Brzeg $M$ , oznaczany $\partial M$ , to dopełnienie wnętrza $M$ w $M$ . Punkty brzegowe bywają scharakteryzowane jako te, które leżą na hyperpłaszczyźnie brzegowej ( $x_n = 0$ ) półpłaszczyzny $\mathbb R^n_+$ w pewnym układzie współrzędnych.

Jeżeli $M$ jest rozmaitością z brzegiem wymiaru $n$ , to $\operatorname{int}\;M$ jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru $n$ , a $\partial M$ jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru $n - 1$ albo zbiorem pustym.

Dalej rozmaitości o pustym brzegu będą nazywane po prostu rozmaitościami, choć bywają dla zaznaczenia nazywane rozmaitościami bez brzegu.

Uwaga: Wnętrze oraz brzeg rozmaitości trzeba wyraźnie odróżnić od wnętrza oraz brzegu zbioru w topologii ogólnej.

Zwartość oraz aksjomaty przeliczalności

Rozmaitości zwarte są parazwarte oraz spełniają drugi aksjomat przeliczalności. Te, które są zwarte, oraz dodatkowo nie posiadają brzegu nazywa się zamkniętymi.

Proste operacje

Suma topologiczna (czyli topologiczna suma rozłączna) niepustej, przeliczalnej rodziny $n$ -rozmaitości jest $n$ -rozmaitością. Jeżeli wszystkie dodawane rozmaitości były bez brzegu, to suma także jest bez brzegu. Rozmaitość pusta stanowi element neutralny (zerowy) względem operacji sumy topologicznej.

Iloczyn kartezjański $m$ -rozmaitości $M^m$ z $n$ -rozmaitością $N^n$ jest $m+n$ -rozmaitością. Zachodzi przy tym wzór (podobny do wzoru Leibniza):

$\partial(M^m \times N^n) = (\partial(M^n) \times N^n) \cup (M^n \times \partial(N^n))$

W szczególności iloczyn kartezjański dwóch rozmaitości bez brzegu jest rozmaitością bez brzegu.

Rozmaitość 1-punktowa stanowi element jednostkowy (neutralny) względem operacji iloczynu kartezjańskiego.

Homeomorficzna klasa wyniku operacji sumy topologicznej albo iloczynu kartezjańskiego zależy jedynie od homeomorficznej klasy dwóch argumentów. Możemy więc rozpatrywać sumę topologiczną oraz iloczyn kartezjański jako operacje dwuargumentowe na klasach homeomorficznych przestrzeni. Wtedy rozmaitości z brzegiem składają się na półpierścień przemienny, a rozmaitości bez brzegu – podpółpierścień tego półpierścienia. Jest tak dlatego, że iloczyn kartezjąński jest rozdzielny względem sumy topologicznej.

Rozmaitości 0- oraz 1-wymiarowe

Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, 0-wymiarową rozmaitością spójną (z brzegiem albo bez) jest przestrzeń 1-punktowa. 0-wymiarowe rozmaitości (z brzegiem albo bez) to po prostu przeliczalne, skończone albo nieskończone (ale niepuste) przestrzenie dyskretne. Rozmaitości 0-wymiarowe wcale nie posiadają brzegu.

Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, niezwartą 1-wymiarową rozmaitością spójną, bez brzegu, jest prosta rzeczywista $\mathbb{R}$ , a zwartą – okrąg $\mathbb{S}^1$ . Jedynymi 1-wymiarowymi rozmaitościami spójnymi z niepustym brzegiem są półprosta domknięta oraz odcinek domknięty (z oboma końcami). Pierwsza jest niezwarta, a druga z nich jest zwarta. Ich końce, oraz tylko one, są punktami brzegowymi.

Przykład

Zbiory $I = [0, 1)$ oraz $H = [0,\infty)$ są rozmaitościami z brzegiem (w obu jest nim $0$ ). Funkcje

$f\colon I \to H,\; f(x) = \tfrac{x}{1-x},$ ,

$g\colon H \to I,\; g(x) = \tfrac{x}{1+x},$

są ciągłe oraz rosnące, a stąd różnowartościowe, a przy tym wzajemnie do siebie odwrotne. Obie są zatem homeomorfizmami jednej rozmaitości na drugą. Jest to równocześnie dowód równoliczności tych zbiorów. Każda z tych funkcji jest różniczkowalna w dowolnym punkcie, dlatego są one w rzeczywistości dyfeomorfizmami^[2].

Rozmaitości n-wymiarowe

Najprostszym przykładem rozmaitości niezwartej jest przestrzeń $\mathbb{R}^n$ . Wśród zwartych najprostsze są kula domknięta:

$\mathbb{B}^n := \{x \in \mathbb{R}^n \colon \|x\| \leqslant 1\}$

oraz sfera:

$\mathbb{S}^n := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \colon \|x\| = 1\}$

Brzegiem kuli jest sfera, której wymiar jest stale o jeden mniejszy

$\mathbb{S}^n = \partial(\mathbb{B}^{n+1})$ .

Sfera jest rozmaitością bez brzegu.

Uwaga: Sfera 0-wymiarowa $\mathbb{S}^0$ jest 2-punktową przestrzenią dyskretną, a więc jest rozmaitością niespójną.

$n$ -wymiarową rozmaitością (bez brzegu) jest także torus, czyli $n$ -ta potęga kartezjańska okręgu:

$\mathbb{T}^n := (\mathbb{S}^1)^n$

Ogólnie, iloczyn kartezjański skończonego ciągu rozmaitości niepustych, których suma wymiarów jest $n$ jest rozmaitością $n$ -wymiarową.

Zachodzą klasyczne twierdzenia:

Twierdzenie (Brouwer) Kula $\mathbb{B}^n$ ma własność punktu stałego: dla dowolnego odwzorowania ciągłego

$f\colon \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B}^n$

istnieje $x \in \mathbb{B}^n$ takie, że $f(x)=x$ .

Twierdzenie (o retrakcji) Nie istnieje retrakcja (ciągła) kuli na jej brzeg, to znaczy: nie istnieje odwzorowanie ciągłe

$r\colon \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{S}^{n-1}$

takie, że $r(x)=x$ dla każdego $x \in \mathbb{S}^{n-1}$ .

Uwaga: Ogólniej, żadna niepusta rozmaitość zwarta z brzegiem (być może pustym) nie dopuszcza retrakcji na swój brzeg.

Niech $a \in \mathbb{R}^n$ , gdzie $|a| \ne 0\,$ oraz $n \geqslant 1$ . Dla dowolnej liczby rzeczywistej s zdefiniujmy:

$L_s := \{x \in \mathbb{R}^n : a\bullet x = s\}$

gdzie operacja $\bullet\,$ oznacza iloczyn skalarny. Wtedy każde $L_s\,$ jest homeomorficzne z $\mathbb{R}^{n-1}$ . Dowodzi się homeomorfizmu metodami elementarnej algebry liniowej. Tak otrzymane przestrzenie (n-1)-wymiarowe są parami rozłączne oraz pokrywają całe $\mathbb{R}^n$ . W szczególności $\, a \in L_{|a|^2}$ .

Sfera bez punktu

Niech $a \in \mathbb{S}^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$ , więc $\,|a| = 1$ . Niech ponadto:

$L_1 := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} : a\bullet x = 1\}$

$L_0 := \{x \in \mathbb{R}^{n+1} : a\bullet x = 0\}$

Pokażemy, że

Sfera bez punktu, $\mathbb{S}^n\backslash \{a\}$ , jest homeomorficzna z $\mathbb{R}^n$ .

na przykład z $\,L_0$ .

Dowód Zacznijmy od odwzorowania ciągłego $\pi : \mathbb{R}^{n+1}\backslash L_1\rightarrow L_0$ , danego wzorem:

$\pi(x) := \frac{x - (a\bullet x)\cdot a}{1 - a\bullet x}$

Mianownik nie jest 0 dla $\, x\notin L_1$ . Łatwo też sprawdzić, że rzeczywiście $\, a\bullet\pi(x) = 0$ , czyli że $\,\pi(x) \in L_0$ .

Jeżeli $x \in \mathbb{S}^n\backslash \{a\}$ , to:

$2\cdot (a\bullet x) = 2 - (a-x)^2 < 2$

skąd $\, a\bullet x < 1$ , więc $x\notin L_1$ . Możemy więc rozpatrywać obcięcie

$p := \pi | \mathbb{S}^n\backslash \{a\} :\ \mathbb{S}^n\backslash \{a\} \rightarrow L_0$

Jest to tak zwany rzut stereograficzny; pokażemy że jest homeomorfizmem – homeomorfizmem odwrotnym jest funkcja $q : L_0 \rightarrow \mathbb{S}^n\backslash \{a\}$ , dana wzorem:

$q(y) := a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a)$

(łatwo policzyć, że naprawdę $(q(y))^2 = 1\,$ czyli $q(y)\in\mathbb{S}^n$ ). Sprawdźmy, że $p\,$ oraz $q\,$ są wzajemnie odwrotnymi funkcjami. Najpierw niech $\, y := p(x)$ dla pewnego $x \in \mathbb{S}^n\backslash \{a\}$ . Wtedy ze wzoru na $p(x) := \pi(x)\,$ otrzymujemy:

$y - a = \frac{x-a}{1-a\bullet x}$

oraz

$(y - a)^2 = \frac{(x-a)^2}{(1-a\bullet x)^2} = \frac{2\cdot(1-a\bullet x)}{(1-a\bullet x)^2} = \frac{2}{1-a\bullet x}$

krótko:

$(y - a)^2 = \frac{2}{1-a\bullet x}$

Zatem:

$q(y) := a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a) = a + (x-a) = x$

czyli $\, q(p(x)) = x$ , co kończy pierwszą połowę dowodu homeomorficzności rzutu stereograficznego.

Niech z kolei $\, x := q(y)$ , gdzie $\, y \in L_0$ czyli $\, a\bullet y = 0$ . Wtedy

$a\bullet x = 1 - \frac{2}{(y-a)^2}$

Policzmy licznik oraz mianownik ułamka $p(x) := \frac{x - (a\bullet x)\cdot a}{1 - a\bullet x}$ ; najpierw licznik:

$x - (a\bullet x)\cdot a =$

$\left(a + \frac{2}{(y-a)^2}\cdot (y-a)\right) - \left(1 - \frac{2}{(y-a)^2}\right)\cdot a =$

$\frac{2\cdot y}{(y-a)^2}$

A teraz mianownik:

$1 - a\bullet x = \frac{2}{(y-a)^2}$

Zatem $\, p(x) = y$ , czyli $\, p(q(y))=y$ , co kończy dowód tego, że rzut stereograficzny jest homeomorfizmem.

Koniec dowodu.

Uwaga Rzut stereograficzny oraz jego odwrotność da się oznaczać bardziej specyficznie przez $\, p_a$ oraz $\, q_a$ . Na przykład: $p_a(-a) = \mathbb{O}$ oraz $q_a(\mathbb{O}) = -a$ , gdzie $\mathbb{O} := (0,\dots,0)$ .

Twierdzenie Niech $f : X \rightarrow \mathbb{S}^n$ będzie dowolnym odwzorowaniem ciągłym, zdefiniowanym na dowolnej przestrzeni topologicznej $\,X$ . Jeżeli $\, f$ nie jest na, to $\, f$ jest homotopijnie trywialne.

Dowód Niech punkt sfery $\, a$ nie trzeba do obrazu funkcji $\, f$ . Homotopia łącząca $\, f$ z funkcją stałą (o wartości $\,-a$ , dana jest następująco:

$h(x, t) := q_a(t\cdot p_a(f(x)))$

dla $x \in X\,$ oraz $0 \leqslant t \leqslant 1$ .

Koniec dowodu.

Częściowa jednorodność topologiczna Bⁿ

Niech $f\colon [0,1)\to [0,\infty)$ będzie homeomorfizmem (patrz wyżej) danym wzorem:

$f(x)=\frac{x}{1-x},\; x\in [0,1)$

Wówczas odwzorowanie $F\colon \operatorname{int}\, \mathbb{B}^n \to \mathbb{R}^n$ , dane wzorem

$F(x)=\left\{\begin{array}{l}f(\| x\|)\cdot \frac{x}{\| x\|},\; x\neq 0\\0,\; x=0\end{array}\right.$

jest także homeomorfizmem.

Homeomorfizm, przeciwny do $F$ : $G\colon \mathbb{R}^n\to \operatorname{int}\,\mathbb{B}^n$ da się opisać przy pomocy wzoru:

$G(x)=\left\{\begin{array}{l}g(\| x\|)\cdot \frac{x}{\| x\|},\; x\neq 0\\0,\; x=0\end{array}\right.$ ,

gdzie $g$ jest homeomorfizmem odwrotnym do $f$ (patrz wyżej).

Następujące twierdzenie pokazuje częściową jednorodność topologiczną $\mathbb{B}^n$ :

Twierdzenie: Dla dowolnych $a, b\in\operatorname{int}\,\mathbb{B}^n$ istnieje homeomorfizm $h\colon\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^n$ kuli domkniętej na siebie, taki że $h(a)=b$ oraz $h(x)=x$ dla każdego $x\in\partial(\mathbb{B}^n)$ .

Dowód: Homeomorfizm $h$ definiuje się wzorem:

$h(x)=\left\{\begin{array}{l}x,\; x\in \partial(\mathbb{B}^n)\\G(F(x) + F(b) - F(a)),\; x\in \operatorname{int}\, \mathbb{B}^n\end{array}\right.$

Koniec dowodu.

Uwaga: Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla $n=0$ . Dowód jest wtedy trywialny, albowiem zbiór $\operatorname{int}\, \mathbb{B}^0$ jest pusty.

Powyższa konstrukcja daje więcej, albowiem wyznacza działanie (topologiczne) addytywnej grupy topologicznej $\mathbb{R}^n$ na przestrzeń $\mathbb{B}^n$ :

$H\colon\mathbb{B}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{B}^n$ ,

które jest tożsamością na $\partial(\mathbb{B}^n)$ oraz działa jednobieżnie (1-tranzytywnie) we wnętrzu $\operatorname{int}\, \mathbb{B}^n$ . $H$ dane jest wzorem:

$H(x, v)) := G(F(x) + v) ,\; x\in\mathbb{R}^n,\, v \in\mathbb{R}^n$ .

Wtedy $H(x,0) = x$ , oraz

$\begin{array}{lcl}H((H(x, v), w) & = & G(F(H(x, v)) + w)\\ & = & G(F(G(F(x) + v)) + w) \\ & = & G((F(x) + v) + w) \\ & = & G(F(x) + (v + w)) \\ & = & H(x, v+w)\end{array}$ ,

co pokazuje, że $H$ jest rzeczywiście grupą transformacji. Jednobieżność $H$ we wnętrzu kuli jest oczywista: dla dowolnych $a, b\in\operatorname{int}\, \mathbb{B}^n$ istnieje dokładnie jedno $v\in \mathbb{R}^n$ , dla którego $\;b = H(a, v)$ , mianowicie $v \;:= F(b) - F(a)$ .

Jednorodność oraz spójność rozmaitości spójnych

Powyższy tytuł ma sugerować, że rozmaitości spójne są spójne w pewien szczególnie mocny sposób, a nie tak słabo, jak dla przykładu suma mnogościowa $X$ dwóch domkniętych kul w przestrzeni stuwymiarowej, które posiadają dokładnie jeden punkt wspólny $p$ ; wtedy usunięcie tego punktu powoduje, że powstała przestrzeń $X\setminus\{p\}$ nie jest spójna.

Niech $a\,$ będzie dowolnym punktem n-wymiarowej rozmaitości spójnej $\,M^n$ . Niech $X\,$ będzie zbiorem wszystkich punktów $x\,$ dla których istnieje zbiór otwarty $\,G$ , homeomorficzny z $\mathbb{R}^n$ , który zawiera oba punkty $a\,$ oraz $\, x$ Pokażemy poniżej, że $\,X=M^n$ .

Jest oczywistym, że zbiór $X\,$ jest otwarty. Pozostało dowieść, że jest także domknięty:

Niech $c\,$ trzeba do domknięcia zbioru $\,X$ .

Istnieje homeomorfizm $t\,$ przestrzeni $\mathbb{R}^n$ na pewne otoczenie punktu $c\,$ w rozmaitości $\,M^n$ , spełniający warunki

$t(0)=c\,$
$a\notin t(\mathbb{R}^n)$ .

Niech $B$ będzie obrazem $B=t(\mathbb{B}^n)$ . Istnieje punkt $b$ , należący do wnętrza zbioru $B$ (a więc do obrazu wnętrza $t(\mathbb{B}^n)$ ), który trzeba do $X$ (jako, że $c$ trzeba do domknięcia $X$ ). Częściowa jednorodność kuli (patrz wyżej) mówi, że istnieje homeomorfizm $h\colon B\to B$ taki, że

$h(b)=c\,$
$h(x)=x\,$ dla każdego $x\in t(\partial(\mathbb{B}^n))$

( Naturalnie $t(\partial(\mathbb{B}^n))$ jest brzegiem topologicznym zbioru $B$ ). Zatem odwzorowanie $H\colon M^n\to M^n$ dane wzorami:

$\,H(x)=h(x)$ dla $x\in B$ ,
$\,H(x)=x$ dla $x\in M^n \setminus t(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)$

jest homeomorfizmem.

Ponieważ $a\,$ nie trzeba do $\,B$ , więc $\,H(a)=a$ . Zatem $H(B)\,$ zawiera, zarówno punkt $\, a$ , jak oraz punkt $\, c=H(b)$ . Pokazaliśmy więc, że $c\,$ należy do $X\,$ ; czyli udowodniliśmy domkniętość zbioru $\,X$ . Gdyż nasza rozmaitość jest spójna, to $\,X=M^n$ .

Wynikają stąd natychmiast następujące twierdzenia:

Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór otwarty, homeomorficzny z $\mathbb{R}^n$ , zawierający te dwa punkty;
Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest topologicznie jednorodna, tzn. dla dowolnej, uporządkowanej pary jej dwóch punktów istnieje homeomorfizm tej rozmaitości na siebie, który pierwszy punkt przeprowadza na drugi;
Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest łukowo spójna (to wynika też z ogólnego twierdzenia Hahna-Mazurkiewicza, oraz to dla wszystkich spójnych rozmaitości, także tych z brzegiem).

Z pierwszego twierdzenia powyżej wynika natychmiast jego wzmocnieniona wersja:

Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór homeomorficzny z $\mathbb{B}^n$ , zawierający te dwa punkty w swoim wnętrzu.

Ta wersja dopuszcza bezpośrednio tłumaczyć wszelakie twierdzenia o krotnej, częściowej topologicznej jednorodności $\mathbb{B}^n$ na twierdzenia o odpowiedniej krotnej jednorodności dowolnej spójnej n-rozmaitości.

Suma spójna dwóch n-rozmaitości

Sumę spójną dwóch n-rozmaitości otrzymuje się przez wycięcie z każdej z nich wnętrza pewnej kuli domkniętej, po czym skleja się tak otrzymane podprzestrzenie wzdłuż brzegu wyciętych kul (wzdłuż sfery (n-1)-wymiarowej).

Nieco formalniej: Niech odwzorowania $f\colon \mathbb{R}^n\to M^n$ oraz $g\colon \mathbb{R}^n \to N^n$ będą zanurzeniami homeomorficznymi, gdzie $M^n$ oraz $N^n$ są n-rozmaitościami. W sumie topologicznej podprzestrzeni $M^n \setminus f(\operatorname{int}\mathbb{B}^n)$ oraz $N^n \setminus g(\operatorname{int}\mathbb{B}^n)$ zidentyfikujmy pary punktów $f(x)$ oraz $g(x)$ dla każdego $x \in \partial(\mathbb{B}^n)$ . Otrzymana topologiczna przestrzeń ilorazowa nazywa się sumą spójną, oraz jest oznaczana

$M^n \# N^n$ .

Okazuje się, że z dokładnością do homeomorfizmu, wynik (suma spójna) nie zależy od wyboru funkcji $f$ oraz $g$ powyżej. Nie zmieni się też, kiedy dane rozmaitości zastąpimy przez homeomorficzne. Otrzymaliśmy więc trzecią, po sumie topologicznej oraz iloczynie kartezjańskim, operację dwuargumentową na rozmaitościach oraz ich klasach homeomorficznych – ściślej mówiąc – suma łączna jest ciągiem operacji, z których każda działa jedynie w swoim wymiarze n.

Elementem neutralnym sumy spójnej n-rozmaitości jest sfera $\mathbb{S}^n$ :

$M^n \# \, \mathbb{S}^n = M^n$ .

Ponadto, suma spójna jest przemienna oraz łączna.

Twierdzenie: Każda orientowalna 2-rozmaitość zamknięta jest sumą spójną skończonej liczby torusów $\mathbb{T}^2$ (w szczególności sfera $\mathbb{S}^2$ jest sumą spójną zero torusów).

Bordyzm

Mówimy, że rozmaitość zwarta $M$ ogranicza, jeśli istnieje rozmaitość z brzegiem $W$ taka, że $\partial W$ jest dyfeomorficzny z $M$ . Rozmaitości zwarte $M,N$ nazywamy bordycznymi, jeśli istnieje rozmaitość z brzegiem $W$ , której brzeg jest dyfeomorficzny z topologiczną sumą rozłączną $M\coprod N$ . Bordyzm jest relacją równoważności. W zbiorze klas dyfeomorfizmu rozmaitości zwartych, rozważając relację bordyzmu da się zdefiniować działania, odpowiednio, dodawania oraz mnożenia tak, że będzie on pierścieniem – pierścień ten nazywamy pierścieniem bordyzmu rozmaitości.

Przypisy

↑ Definicję tę da się rozszerzyć o przypadek $\scriptstyle{n=-1}$ . Wtedy jeżeli przyjąć $\scriptstyle{\mathbb R^{-1} = \varnothing}$ , to jedyną rozmaitością lokalnie homeomorficzną z tą przestrzenią euklidesową będzie zbiór pusty. Za: Witold Hurewicz, Henry Wallman: Dimension Theory. Princeton University Press, 1996. ISBN 978-0691079479.
↑ Przekształcenia te są gładkie, t.zn. różniczkowalne w każdym punkcie nieskończenie wiele razy; co więcej – funkcje f g są analityczne.