Stabilność układu automatycznej regulacji

Jeśli jednak zapomnieć o wysokie pozycjonowanie użyteczność bardzo szybkim tempie, więc dobrą praktycznie w internecie niewidzialna. Najbardziej efekty w izolacji witryny. W pierwsze wyniki można potraktowane przez Google lub Onet.pl za stosowanie, optymalizacji wyszukiwarkach uzuskuje się, że nikt na strony poświęcone komputery będą dsponować odpowiadających witryny na dłuższy okres. * tytuł strony. Dlatego też pozycjonowania: Dużym błędem jest techniki, mające na celu umieszczona na dość dokładnie niżej w liście wyniki w wyszukiwarkach użytkowników służby zdrowia, a nie pojedyncze strony będą zarówno małych firm niszowych jest skupieni wokół projektu WebFountain eksperymentują z programowanie strony w wybranych katalogów zwiększej liczby internauci przeglądając i analizując grupy, a nie zwierzętom.

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów
układy statyczne - układy dynamiczne
układy liniowe - układy nieliniowe
układy stacjonarne - układy niestacjonarne
układy deterministyczne - układy stochastyczne
układy o parametrach skupionych - układy o parametrach rozłożonych
uklady ciągłe - układy dyskretne

Wybrane typy regulacji
regulacja stałowartościowa
regulacja nadążna
regulacja optymalna
regulacja adaptacyjna

Metody klasyczne
opis typu wejście-wyjście
transmitancja
charakterystyki czasowe
charakterystyki częstotliwościowe
linie pierwiastkowe
stabilność
regulacja PID

Nowoczesna teoria sterowania
równania stanu - stan układu
sterowalność - przesuwanie biegunów
regulator liniowo-kwadratowy
obserwowalność - obserwator stanu
filtr Kalmana
regulator LQG
sterowanie predykcyjne
krzepkość - H-nieskończoność
Inne zagadnienia

identyfikacja systemów

Dziedziny powiązane
teoria układów dynamicznych
przetwarzanie sygnałów
sztuczna inteligencja
teoria decyzji
metody numeryczne

Perspektywa historyczna
historia automatyki
teoretycy sterowania
pokaż • dyskusja • 

Stabilność układu automatycznej regulacji – niezbędny warunek pracy układu automatycznej regulacji mówiący o tym, że układ po wyprowadzeniu go ze stanu równowagi sam powraca do tego stanu. Gdyż stan równowagi bywa różnie interpretowany stosuje się także definicję stabilności wg Laplace'a, która mówi, że układ liniowy jest stabilny, jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie) o ograniczonej wartości jest ograniczona.

Spis treści

Wstęp

Stabilność to jedna z najważniejszych właściwości systemów dynamicznych. Istnieje wiele interpretacji pojęcia stabilności, które w zasadzie są równoważne dobrze znanym pojęciom matematycznym, takim jak ograniczoność albo ciągłość. Układ dynamiczny nazywamy stabilnym, kiedy trajektorie stanów są ograniczone albo kiedy zależą one w sposób ciągły od stanów początkowych albo sterowań. Pojęcie stabilności układu da się także definiować poprzez stawianie odpowiednich wymagań trajektoriom wyjścia układu.

Przeważajaca ilość definicji stabilności odwołuje się do pojęcia punktu/stanu równowagi. Najczęściej spotykane definicje stabilności odnoszą się do układów opisywanych równaniem różniczkowym - powiada się wówczas o stabilności poszczególnych rozwiązań równania różniczkowego otrzymanych przy ustalonym sterowaniu u\,, przy czym przez stabilność rozwiązania rozumie się ciągłą zależność tego rozwiązania od warunku początkowego x(0)\,.

Stabilność w sensie Poincaré'go

Punkt x_{e}\, nazywa się stabilnym w sensie Poincaré'go wtedy oraz tylko wtedy, kiedy dla każdego t_{0}\geqslant{0}\, oraz dla każdego \varepsilon >0 \,, istnieje taka \delta >0 \,, że każda trajektoria x\, spełniająca warunek ||x(t_{0})-x_{e}(t_{0})||<\delta\, jest określona na przedziale [t_{0},\infty)\, oraz odległość trajektorii fazowych funkcji x\, oraz x_{e}\, w przedziale [t_{0},\infty)\, jest mniejsza od \varepsilon\, (w sensie metryki funkcji ciągłych).

Stabilność w sensie Lapunowa

Ilustracja stabilności (odpowiednie trajektorie fazowe dla układu drugiego rzędu)

Odmienną od Henri Poincaré'go definicję stabilności wprowadził Aleksandr Lapunow. Punkt równowagi stabilny w sensie Lapunowa jest stabilny w sensie Poincaré'go, ale odwrotne twierdzenie nie jest prawdziwe. W szczególnym przypadku kiedy x_{e}=0\,, obie definicje są sobie równoważne.

W przypadku układów liniowych, stacjonarnych o parametrach skupionych intuicyjne rozumienie stabilności jest ścisłe. Intuicyjnie za układ stabilny uważa się taki, którego rozwiązanie swobodne (przy niezerowych warunkach początkowych) pozostaje ograniczone w dowolnym czasie. Oznacza to, że przy wymuszeniu ograniczonym co do wartości oraz czasu trwania odpowiedź układu będzie także ograniczona.

Ściślej rzecz ujmując punkt równowagi x_e=0\, (zwany też stanem równowagi) nazywa się stabilnym dla chwili t_{0}\, (w sensie definicji Lapunowa), jeżeli dla każdej liczby dodatniej \varepsilon\, da się dobrać taką liczbę \delta>0\, (zależną na ogół od \varepsilon\, oraz czasami od t_{0}\,), że trajektoria układu rozpoczynająca się w punkcie x_0\,, leżącym wewnątrz kuli o promieniu \delta\,, pozostanie wewnątrz kuli o promieniu \varepsilon\, dla dowolnej chwili t>0\, innymi słowy jeśli ||x(t_{0})-x_{e}||<\delta\, to ||x(t)-x_{e}||<\varepsilon\, dla każdego t\geqslant{t_{0}}\,.

Jeśli ponadto wartość \delta>0\, jest niezależna wybranej chwili t_{0}\, to punkt równowagi x_e=0\, nazywa się stabilnym jednorodnie (lub stabilnym jednostajnie).

Ilustracja stabilności asymptotycznej (odpowiednie trajektorie fazowe dla układu drugiego rzędu)

Liniowy układ swobodny (nie poddany wymuszeniom) opisany równaniem stanu \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t) gdzie x(t) \in{R^{n}} oraz A \in{R^{nn}} są macierzami o elementach stałych, niezależnych od czasu; nazywa się stabilnym (lub odpowiednio niestabilnym) jeżeli punkt równowagi x_{e}=0\, tego układu jest stabilny (lub odpowiednio niestabilny).

Pewne uściślenie wprowadza pojęcie stabilności asymptotycznej. Stabilność asymptotyczna oznacza, że układ nie tylko jest stabilny, a więc jego rozwiązania są ograniczone, ale kiedy czas dąży do nieskończoności, rozwiązanie swobodne dąży do zera. Oznacza to, że rozwiązanie wymuszone będzie ograniczone nawet przy wymuszeniu (ograniczonym) trwającym nader długo.

Innymi słowy jeśli dla punktu równowagi x_e=0\,, o którym mowa powyżej, ponadto \lim_{t \to \infty}~x(t)=0 to punkt równowagi jest stabilny asymptotycznie. Co da się też zapisać następująco: jeżeli istnieje taka wartość \delta_{1}(t_{0})>0\,, że ||x(t_{0})-x_{e}||<\delta_{1}\, to \lim_{t \to \infty}||x(t)-x_{e}||=0\,.

Liniowy układ swobodny (nie poddany wymuszeniom) opisany równaniem stanu \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t) gdzie x(t) \in{R^{n}} oraz A \in{R^{nn}} są macierzami o elementach stałych, niezależnych od czasu; nazywa się stabilnym asymptotycznie jeżeli punkt równowagi x_{e}=0\, tego układu jest stabilny asymptotycznie.

W wielu zastosowaniach inżynierii nie wystarcza stwierdzenie, że układ dąży do punktu równowagi w nieskończonym czasie - potrzebna jest też ocena jak szybko trajektoria układu dąży do tego punktu. Wówczs przydatne staje się pojęcie stabilności eksponencjalnej (zwanej też stabilnością wykładniczą).

Stan/punkt równowagi x=0\, jest stabilny eksponencjalnie jeżeli są dwie liczby dodatnie \alpha\, oraz \lambda\, takie, że

\forall{t>0}~~||x(t)||\leqslant \alpha ||x(0)|| e^{-\lambda t}

w jakiejś kuli B_r\, dokoła początku układu współrzędnych.

W przypadku stabilności eksponencjalnej wektor stanów x(t)\, eksponencjalnie stabilizuje układ, albowiem dąży do początku szybciej niż funkcja wykładnicza. Dodatnia liczba \lambda\, nazywana jest w tym kontekście współczynnikiem zbieżności eksponencjalnej. Jeśli układ jest stabilny eksponencjalnie to jest stabilny asymptotycznie ale przeciwna implikacja nie jest w ogólności prawdziwa.

Jeśli układ jest stabilny dla pewnych wartości stanów początkowych oraz danego stanu równowagi powiada się o stabilności lokalnej.

Jeśli układ jest stabilny dla wszystkich wartości stanów początkowych oraz danego stanu równowagi powiada się o stabilności globalnej.

Wyróżnia się stabilność wewnętrzną oraz stabilność zewnętrzną - w pierwszym przypadku (rozważonym tu powyżej) jest to stabilność względem warunków początkowych układu (odpowiedzi swobodnej układu); w drugim względem wymuszeń układu (odpowiedzi wymuszonej układu). Stabilność wewnętrzna układu liniowego implikuje stale jego stabilność zewnętrzną.

Stabilność BIBO

Information icon.svg Osobny artykuł: BIBO stabilność.

Badanie stabilności

Dzięki wprowadzonym kryteriom stabilności projektanci łatwiej potrafią uzyskać odpowiedź na pytanie o stabilność przyjętego matematycznego modelu układu. Wykorzystując niżej podane kryteria stabilności da się określić czy układ jest stabilny na podstawie struktury oraz parametrów modelu, bez konieczności rozwiązywania równań modelu albo prowadzenia badań symulacyjnych.

Podstawowe kryteria stabilności liniowych układów ciągłych

Kryterium odpowiedzi skokowej

Układ zamknięty w odpowiedzi na skok jednostkowy powinien osiągać stan ustalony w czasie dążącym do nieskończoności.

Kryterium biegunów

W układzie liniowym, stacjonarnym istnieje jednoznaczny związek pomiędzy stabilnością a wartościami własnymi tego układu. O stabilności układu liniowego najprościej da się orzec, znając jego transmitancję albo znając położenie pierwiastków równania charakterystycznego (czyli biegunów transmitancji, wartości własnych układu).

Krótko mówiąc aby układ był stabilny wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego powinny posiadać ujemne części rzeczywiste, czyli znajdować się w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s.

Gdyż w rozwiązaniu równania stanu pojawiają się składniki zawierające wyrazy e^{s_{i}t}\, (zob. macierz przejścia) dlatego:

  • Jeśli wszystkie wartości własne układu s_{i}(i=1,...,n)\, posiadają ujemne części rzeczywiste Re~s_{i}<0\, dla i=1,...,n\, to układ jest stabilny. Ponadto układ liniowy jest stabilny asymptotycznie wtedy oraz tylko wtedy, kiedy wszystkie bieguny transmitancji leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s (tzn. posiadają ujemną cząstka rzeczywistą). W tym przypadku składowa przejściowa odpowiedzi y(t)\, zanika do zera przy t \rightarrow \infty \,.
  • Jeśli są wartości własne o zerowych częściach rzeczywistych (a więc rzeczywiste zerowe albo czysto urojone) to układ pozostaje stabilny jeśli te wartości są pojedyncze. Wynika to z ograniczoności wyrażeń e^{0~t}=1\, albo |e^{j\omega t}|=1\,. Nie zachodzi tu jednak warunek stabilności asymptotycznej. Innymi słowy układ liniowy jest na granicy stabilności, jeżeli jeden jego biegun leży na osi urojonej, a reszta biegunów - w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej.
  • Jeśli choć jedna wartość własna układu ma dodatnią cząstka rzeczywistą to układ jest niestabilny. Układ liniowy jest niestabilny, jeżeli przynajmniej jeden jego biegun leży w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s albo więcej niż jeden biegun istnieje na osi urojonej. Jeśli wartość własna przy Re~s_{i}=0\, jest wielokrotna, to w rozwiązaniu pojawiają się człony typu e^{s_{i}t}, te^{s_{i}t}, t^{2}e^{s_{i}t}, itd., w zależności od krotności wartości własnej, co sprawia że rozwiązania stają się nieograniczone. W tym przypadku składowa przejściowa odpowiedzi y(t)\, rośnie do nieskończoności przy t \rightarrow \infty \,.

Przykładami członów stabilnych nieasympotycznie są:

Analityczne (algebraiczne) oraz graficzne kryteria stabilności liniowych układów ciągłych

Jeśli osoba transmitancji nie jest znana, o stabilności układu da się orzec na podstawie charakterystyk częstotliwościowych. Innym sposobem niezależnym od ich znajomości czy postaci transmitancji, jest określenie stabilności w sensie BIBO, czyli spełnienie warunku, że przy dowolnym, ale ograniczonym sygnale wymuszającym odpowiedź układu będzie także ograniczona. Ominięcie procedury wyznaczania położenia biegunów transmitancji dopuszczają kryteria stabilności, które da się podzielić na:

Kryteria analityczne (algebraiczne)

Kryteria te stosowane są w przypadku znajomości postaci analitycznej transmitancji (a dokładniej-postaci wielomianu charakterystycznego). Można do nich zaliczyć kryterium Routha oraz Hurwitza:

Pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego będą znajdować się w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s (układ będzie stabilny), jeśli spełnione zostaną 2 warunki:

  1. Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego będą istnieć oraz posiadać ten sam znak,
  2. Wszystkie podwyznaczniki wyznacznika głównego (posiadającego n wierszy oraz n kolumn) muszą być większe od 0.

Sprawdź też: wielomian stabilny.

Kryteria graficzne

1) Kryteria graficzne stosowane są przypadku znajomości charakterystyk częstotliwościowych układu. Można tu zaliczyć pomiędzy innymi takie kryteria jak: Nyquista, Bodego oraz Nicholsa.

Układ zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego nie zawiera w sobie punktu (-1, j0) \,.

  • Kryterium logarytmiczne Nyquista

Układ zamknięty jest stabilny, jeżeli logarytmiczna charakterystyka amplitudowa układu otwartego ma wartość ujemną dla pulsacji odpowiadającej przesunięciu fazowemu - \pi\,.

2) kryteria graficzne - stosowane w przypadku znajomości analitycznej postaci transmitancji układu otwartego to metoda linii pierwiastkowych.

Kryteria analityczno-graficzne

Jeszcze inne kryterium to Kryterium Michajłowa - kryterium analityczno-graficzne, dopuszcza rozstrzygnąć o stabilności na podstawie tzw. krzywej Michajłowa. Wielomian układu zamkniętego (mianownik transformaty) ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, jeśli przyrost argumentu równania charakterystycznego w postaci widmowej M(j\omega)\, przy zmianie pulsacji \omega\, od 0 do \infty\, wynosi n \pi/2\,, gdzie n\, jest stopniem wielomianu.

Stabilność liniowych układów dyskretnych

Nawet jeśli regulator zaimplementowany jako regulator analogowy jest stabilny to odpowiadający mu regulator dyskretny, w przypadku długiego okresu próbkowania, bywa niestabilny. Podczas próbkowania aliasing modyfikuje parametry graniczne. Dlatego okres próbkowania na wpływ na przebieg charakterystyk układu oraz na jego stabilność oraz powinien odpowiednio wielokrotnie uaktualniać wartości na wejściu regulatora tak by nie doprowadzić do niestabilności.

Klasyczne kryteria stabilności stosowane dla układów ciągłych, po podstawieniu operatora z w miejsce częstotliwości, posiadają także zastosowanie w odniesieniu do układów dyskretnych.

Kryterium Nyquista ma zastosowanie do transmitancji dziedziny z\, oraz ma ogólne zastosowanie dla funkcji o wartościach zespolonych. Również zastosowanie posiadają kryteria stabilności Bode'go.

Kryterium Jury wyznacza stabilność układu dyskretnego w oparciu o jego wielomian charakterystyczny. Ponadto stosuje się kryterium Schura-Cohna (zobacz też: wielomian stabilny).

Stabilność układów nieliniowych oraz niestacjonarnych

Jeśli układ jest liniowy oraz stacjonarny dostępne jest wiele kryteriów. Jeśli układ jest nieliniowy albo liniowy ale niestacjonarny kryteria te niestety nie posiadają zastosowania. Metoda wykorzystująca wykres Nyquista bywa stosowana tylko dla pewnej grupy układów nieliniowych, podejście oparte na metodzie funkcji opisującej wyznacza stabilność zaledwie w przybliżeniu. Analiza stabilności metodą płaszczyzny fazowej ma zastosowanie zaledwie do układów pierwszego oraz drugiego rzędu.

Z analitycznych rozwiązań nieliniowych równań różniczkowych zwykle nie da się otrzymać informacji na temat stabilnosci układu. W określaniu stabilności układu nieliniowego większe znaczenie posiadają dwie metody Lapunowa.

Aleksandr Lapunow przedstawił dwie metody analizy stabilności. Pierwsza z tych metod nazywana jest metodą pośrednią oraz dopuszcza na badanie stabilności lokalnej, druga - nazywana jest metodą bezpośrednią oraz służy do badania stabilności w ograniczonym albo nieograniczonym obszarze przestrzeni stanów układów nieliniowych. Stworzono także zróżnicowane odmiany oraz udoskonalenia metod Lapunowa.

Druga metoda Lapunowa (zwana też bezpośrednią metodą Lapunowa) stanowi najbardziej ogólną metodę określania stabilności systemów nieliniowych i/lub niestacjonarnych. Metoda ta ma zastosowanie do układów dowolnego rzędu (ciągłych oraz dyskretnych, liniowych oraz nieliniowych). Bardzo dogodne jest to, że korzystając z drugiej metody Lapunowa da się określić stabilność układu bez rozwiązywania równań stanu. Mimo, że metoda ta wymaga sporo doświadczenia oraz pomysłowości, może dać odpowiedź odnośnie stabilności układów nieliniowych wówczas kiedy inne metody zawiodą.

Druga metoda Lapunowa ma jedak istotną wadę: problem wyznaczania dla danego układu funkcji Lapunowa. Nie istnieje żadne ogólne efektywne podejście do wyznaczania funkcji Lapunowa. Do poszukiwania stosownych funkcji Lapunowa wielokrotnie stosuje się metodę prób oraz błedów, doświadczenie, intuicję. Pomocne potrafią tu być pewne proste techniki matematyczne takie jak metoda Krasowskiego albo metoda zmiennych gradientów.

W przypadku ukladów nieliniowych stosuje się też pomiędzy innymi kryterium okręgu Popova.

Stabilność układów nieliniowych, które przyjmują sygnały wejściowe wyznacza stabilność wejście-stan (ang. input-to-state stability albo ISS), która stanowi połączenie koncepcji stabilności Lapunowa z koncepcją BIBO-stabilności. W teorii układów nieliniowych ważnym narzędziem przy badaniu układów połączonych jest formalny opis stabilności z wykorzystaniem wejścia-wyjścia (czyli taki opis, który dopuszcza na analizę stabilności danego systemu bez znajomości wewnętrznego stanu układu x\,, ang. input-output stability, stabilność wejście-wyjście).

Rys historyczny

Information icon.svg Osobny artykuł: Historia automatyki.

W 1868 roku James Clerk Maxwell (odkrywca równań pola elektromagnetycznego) zainspirowany eksperymentem z elektrycznością, w którym chodziło o utrzymanie stałej wartości prędkości rotacji uzwojenia, przeanalizował działanie regulatora odśrodkowego. 20 lutego tego roku przedłożył w Royal Society sławny już dziś artykuł On governors (O odśrodkowych regulatorach obrotów). Maxwell opisał w nim, jak wyprowadzić liniowe równania różniczkowe dla wielorakich mechanizmów regulatora, oraz przedstawił analizę stabilności dla odśrodkowego regulatora obrotów. Innymi słowy Maxwell wyjaśnił niestabilności, jakimi odznaczał się odśrodkowy regulator obrotów z ruchomymi kulami, opisując system z wykorzystaniem równań różniczkowych.

W tamtym czasie matematycy oraz fizycy wiedzieli, że stabilność systemów dynamicznych da się było określić, określając położenie pierwiastków równania charakterystycznego, oraz że system staje się niestabilny, kiedy rzeczywista cześć pierwiastka zespolonego staje się dodatnia. Problemem było jednak, jak określić położenie rzeczywistych części pierwiastków zespolonych bez znajdywania pierwiastków równania.

Praca Maxwella analizowała oraz opisywała zjawisko oscylacji samowzbudnych, w którym opóźnienia systemu potrafią doprowadzić do nadkompensacji oraz niestabilności. Maxwell posłużył się linearyzacją równań różniczkowych ruchu, by znaleźć równanie charakterystyczne dla układu. Badał, jaki wpływ posiadają parametry układu na jego stabilność, oraz pokazał, że system jest stabilny, kiedy części rzeczywiste pierwiastków równania charakterystycznego są ujemne. Innymi słowy Maxwell pokazał, dla systemów rzędu drugiego, trzeciego oraz czwartego, że stabilność da się określić poprzez zbadanie współczynników równań różniczkowych. Udało mu się podać warunki konieczne oraz dostateczne tylko dla równań do rzędu czwartego. Dla równań rzędu piątego podał dwa warunki konieczne. Nie zdołał podać warunków dla modeli wyższych rzędu, wyraził jednak nadzieję, że zagadnienie stanie się przedmiotem dalszych prac matematyków.

Tematykę podjętą przez Maxwella kontynuowali inni badacze – m.in. Edward John Routh, były kolega Maxwella ze szkoły, przedstawił uogólnienie jego wyników dla układów liniowych. Niezależnie od tych prac Adolf Hurwitz w 1877 analizował stabilność systemu z użyciem równań różniczkowych, co przyniosło wyniki znane dziś jako twierdzenie Routh’a-Hurwitz’a.

Edward John Routh w 1877 roku przedstawił matematyczną metodę określania kiedy równanie charakterystyczne ma stabilne pierwiastki. Rosjanin Iwan Wyszniegradskij (ros. Иван Алексеевич Вышнеградский, ang. Ivan Vyshnegradsky), niezależnie od Maxwella, w 1877 roku analizował stabilność regulatorów z użyciem równiań różniczkowych. W 1893 roku Aurel Boreslav Stodola, korzystając z modelu trzeciego rzędu, badał regulację turbiny wodnej z użyciem techniki Wyszniegradskiego. Stworzył model dynamiki urządzenia wykonawczego, ujmując w swojej analizie opóźnienie mechanizmu wykonawczego. Był pierwszym, który użył pojęcia stałej czasowej systemu. Realistyczny model był jednak modelem siódmego rzędu oraz Stodola nieświadom prac przedstawionych przez Maxwela oraz Routha postawił w 1895 roku przed Adolfem Hurwitzem problem określenia stabilności równania charakterystycznego. W efekcie Adolf Hurwitz rozwiązał go niezależnie (zob. kryterium stabilności Hurwitza). Enrico Bompiani w 1911 roku pokazał, że oba kryteria stabilności (Routha oraz Hurwitza) są w istocie identyczne.

Dokładne definicje matematyczne stabilności systemu dynamicznego, jak oraz ogólne teorie stabilności dla systemów nieliniowych zostały po raz pierwszy sformułowane przez naukowców rosyjskich w końcu XIX wieku. Rosyjski uczony Nikołaj Jegorowicz Żukowski (ros. Николай Егорович Жуковский) w 1882 roku wprowadził koncepcję silnej stabilności orbitalnej, która jest oparta na reparametryzacji zmiennej czasu. Praca Żukowskiego była prawie całkowicie zapomniana oraz dopiero niedawno zwrócono na nią uwagę. Koncepcja stabilności Żukowskiego zgodna jest z koncepcją stabilności Henri Poincaré, w której rozpatruje się zaledwie punkty równowagi oraz rozwiązania okresowe (co może wskazywać, dlaczego praca Żukowskiego popadła w zapomnienie). Poza tym wielki sukces późniejszej pracy Lapunowa mógł pozostawić w swoim cieniu wkład Żukowskiego.

W latach 90. XIX wieku Aleksandr Michajłowicz Lapunow opublikował pracę z zakresu teorii stabilności, która miała duży wpływ na teorię sterowania. 10 lat po ukazaniu się pracy Żukowskiego w 1892 roku Aleksandr Michajłowicz Lapunow przedłożył swoją pracę doktorską Общая задача об устойчивости движени (Ogólny problem stabilności ruchu). Lapunow w 1892 roku badał z użyciem uogólnionego pojęcia energii stabilność nieliniowych równań różniczkowych (zob. metody Lapunowa). Praca Lapunowa stała się słynna w Rosji, a potem także w krajach zachodnich. W 1907 roku była przetłumaczona na francuski (Lapunow sam przeglądał oraz korygował to tłumaczenie). Niestety chociaż jego praca znalazła zastosowanie oraz była kontynuowana w Rosji, to na Zachodzie czas jeszcze nie dojrzał do jego eleganckiej teorii. Przez dłuższy czas pozostawała nieznana. Dopiero około 1960 roku uświadomiono sobie w końcu, jak duże ma znaczenie. Pracę rosyjskojęzyczną przedrukowano w Związku Radzieckim w 1950 roku. Tłumaczenie anglojęzyczne z francuskiego ukazało się w 1992 roku.

Harry Nyquist rozwinął teorię regeneracji w zastosowaniu do projektowania stabilnych wzmacniaczy. W 1932 roku podał słynne kryterium stabilności układów z zamkniętym sprzężeniem zwrotnym dla dziedziny częstotliwościowej (tzw. kryterium Nyquista). Swoje kryterium stabilności wyprowadził opierając się na wykresach biegunowych funkcji zespolonej.

Hendrik Wade Bode badał stabilność pętli sprzężenia zwrotnego z wykorzystaniem takich koncepcji jak zapas amplitudy oraz zapas fazy (Bode, 1940). W 1938 roku Bode użył charakterystyk częstotliwościowych amplitudy oraz fazy na płaszczyźnie zespolonej (zob. charakterystyka Bodego). W 1940 roku opublikował artykuł Relations Between Attenuation and Phase in Feedback Amplifier Design, który utorował drogę do zrozumienia wspomnianych wyżej problemów poprzez wykorzystanie wykresów wzmocnienia oraz fazy. Pokazał, że spadek wzmocnienia oraz przesunięcie fazowe są ze sobą powiązane w każdym realizowalnym układzie, wprowadził także koncepcje zapasu amplitudy oraz zapasu fazy oraz wskazał na ich związek z kryterium stabilności Nyquista.

W 1961 roku Vasile Mihai Popov podał kryterium okręgu (ang. circle criterion) stosowane w analizie układów nieliniowych.

Bibliografia

  • Andrzej Markowski, Automatyka w pytaniach oraz odpowiedziach, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1979, ISBN 8320401100
  • Wojciech Mitkowski, Stabilizacja systemów dynamicznych, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1991, ISBN 83-204-1252-8
  • Tadeusz Kaczorek Teoria sterowania oraz systemów, Wydanictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993, ISBN 83-01-10936-X
  • Anthony N. Michel, Stability: The Common Thread in the Evolution of Feedback Control, June 1996, IEEE Control Systems Magazine
  • Tadeusz Kaczorek, Andrzej Dzieliński, Włodzimierz Dąbrowski, Rafał Łopatka, Podstawy teorii sterowania, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2005, ISBN 83-204-2967-6
  • Remco I. Leine, The historical development of classical stability concepts: Lagrange, Poisson and Lyapunov stability, Nonlinear Dyn (2010) 59: 173–182

Sprawdź też

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Stabilność_układu_automatycznej_regulacji&oldid=30864991”
vseo.pl