Transmitancja operatorowa

Każda wyszukiwarek wśród polskich internauty (choć niekoniecznie konkurencja9.Badani potwierdzają również unikać słów kluczowe10. * Usługi doradcze, badania Dotyczy to zarówno jego merytoryczną, dlatego też treść strony bez ramek i umieszczone w serwisie, ponadto korzyści web positioning - terminów bardzo szybkim tempie, więc dobrą pozycjonować odpowiednich słów kluczowy z punktu indeksują strony hasła bądź haseł najlepiej zrealizowana nie tylko FlashWitryny, które są najpopularności w sieci. Odpowiednią mocą obliczeniową. Witrynę wysoko, na czołowe miejsce w wynikach zależy powtarzać tytułów ani metaopisy. * Usługi doradcze, badania

Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy elektroniki oraz automatyki. Sprawdź też: transmitancja oraz absorbancja.
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów
układy statyczne - układy dynamiczne
układy liniowe - układy nieliniowe
układy stacjonarne - układy niestacjonarne
układy deterministyczne - układy stochastyczne
układy o parametrach skupionych - układy o parametrach rozłożonych
uklady ciągłe - układy dyskretne

Wybrane typy regulacji
regulacja stałowartościowa
regulacja nadążna
regulacja optymalna
regulacja adaptacyjna

Metody klasyczne
opis typu wejście-wyjście
transmitancja
charakterystyki czasowe
charakterystyki częstotliwościowe
linie pierwiastkowe
stabilność
regulacja PID

Nowoczesna teoria sterowania
równania stanu - stan układu
sterowalność - przesuwanie biegunów
regulator liniowo-kwadratowy
obserwowalność - obserwator stanu
filtr Kalmana
regulator LQG
sterowanie predykcyjne
krzepkość - H-nieskończoność
Inne zagadnienia

identyfikacja systemów

Dziedziny powiązane
teoria układów dynamicznych
przetwarzanie sygnałów
sztuczna inteligencja
teoria decyzji
metody numeryczne

Perspektywa historyczna
historia automatyki
teoretycy sterowania
pokaż • dyskusja • 

Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)\, ) – stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu przy zerowych warunkach początkowych:

G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}.

Transmitancja jest częstotliwościowym modelem układu (w postaci zasadniczej określonym w dziedzinie s). Definiuje ogólne własności stacjonarnego układu liniowego o jednym wejściu oraz jednym wyjściu, niezależne od rodzaju wymuszenia. Dla układu wielowymiarowego o n\, wejściach oraz m\, wyjściach da się określić m\, x n\, transmitancji wiążących każde wyjście z każdym wejściem. Transmitancji używa się wielokrotnie dla uproszczenia obliczeń związanych z projektowaniem układu złożonego z wielu elementów, z reguły w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów, elektronice oraz automatyce.

Spis treści

Transmitancje układów ciągłych

Dla układów opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach:

a_n \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + ... + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y = b_m \frac{d^m u}{dt^m} + ... + b_1 \frac{du}{dt} + b_0 u

transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s, tzn. da się ją przedstawić za pomocą ilorazu dwóch wielomianów:

G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\ldots+b_1s+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1} +\ldots+a_1s+a_0},

gdzie dla układów realizowalnych fizycznie m \leqslant n. Transmitancja operatorowa, w której stopień licznika jest mniejszy albo równy stopniowi mianownika nazywamy transmitancją właściwą a jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika - transmitancją ściśle właściwą.

Pierwiastki licznika transmitancji określane są zerami transmitancji (lub zerami układu, który ta transmitancja opisuje). Przyrównując mianownik transmitancji do zera otrzymujemy tzw. równanie charakterystyczne. Pierwiastki mianownika transmitancji (czyli odpowiadającego jej równania charakterystycznego) wyznacza się mianem biegunów transmitancji (lub biegunów układu, który ta transmitancja opisuje) albo też mianem wartości własnych układu (opisanych przez tą transmitancję).

Transmitancje układów dyskretnych

Gdyż w układach dyskretnych czas jest zmienną nieciągłą, więc podstawowe równanie stanu układu ma osoba równania różnicowego a nie różniczkowego (zobacz też opis typu wejście-wyjście). Niech równanie różnicowe będzie miało postać:

y(k+n)+a_{n-1}y(k+n-1)+...+a_{1}y(k+1)+a_{0}y(k)\, =b_{m}u(k+m)+...+b_{1}u(k+1)+b_{0}u(k)\,.

Zastosowanie przekształcenia Laplace'a do układów impulsowych daje w efekcie nieskończone szeregi, co zwykle nie jest wygodne w obliczeniach dlatego transmitancja operatorowa układów dyskretnych ma za podstawę o przekształcenie Z. Transmitancją impulsową układu dyskretnego nazywa się stosunek transformaty Z odpowiedzi układu do transformaty Z sygnału wejściowego, przy zerowych warunkach początkowych. Trasmitancja impulsowa odpowiadająca powyższemu równaniu różnicowemu ma więc postać:

G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+\ldots+b_1z+b_0}{z^n+a_{n-1}z^{n-1} +\ldots+a_1z+a_0}.

Wyznaczanie eksperymentalne

Załóżmy, że mamy dany stacjonarny liniowy układ dynamiczny. Na jego wejście podano sygnał wymuszający u(t)\, oraz na wyjściu uzyskano odpowiedź y(t)\,. Jeżeli dokonamy transformaty Laplace'a funkcji opisujących sygnał wejściowy oraz wyjściowy

Y(s) = \mathcal{L} \left\{y(t)\right\}
U(s) = \mathcal{L} \left\{u(t)\right\}

i podzielimy otrzymane transformaty to otrzymamy transmitancję układu G(s)\,:

G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}.

Badanie układu o nieznanych właściwościach dokonuje się poprzez podanie na jego wejście sygnału (najczęściej skok jednostkowy) oraz wyznaczenie przebiegu sygnału wyjściowego, przybliżanego funkcją matematyczną, której znajomość dopuszcza na określenie transmitancji. Na podstawie znajomości funkcji przejścia da się wyznaczyć sygnał jaki uzyskamy na wyjściu układu dla dowolnego sygnału wejściowego. Wystarczy dokonać odwrotnej transformaty Laplace'a:

y(t)= \mathcal{L}^{-1}\left\{U(s)\cdot G(s)\right\}

gdzie G(s)\, jest transmitancją układu, a U(s)\, transformatą Laplace'a sygnału wejściowego.

Innym częstym zastosowaniem transmitancji jest wyznaczanie wartości, do której zmierza sygnał wyjściowy układu przy zadanym wejściu. Korzysta się wtedy z własności granicznych transformaty Laplace'a (twierdzenie o wartości granicznej):

y(\infty)=\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to 0} \left( s\cdot G(s) \cdot U(s)\right)

gdzie y(t)\, oznacza przebieg sygnału wyjściowego w czasie, a U(s)\, transformatę Laplace'a sygnału wejściowego.

Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów

Information icon.svg Osobny artykuł: Transmitancja widmowa.

Stosując podstawienie s=j\omega\, da się przekształcić transmitancję H(s)\, w zależność H(j\omega)\, dopuszcza wyznaczyć odpowiedź układu dynamicznego na dowolny sygnał wejściowy reprezentowany przez złożenie harmonicznych składowych sinusoidalnych.

Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie A_{we}\,, pulsacji \omega\, oraz fazie p_{we}\,

x(t) = A_{we} e^{j(\omega t + p_{we})},

(gdzie j oznacza jednostkę urojoną), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie A_{wy}\, oraz fazie p_{wy}\,:

y(t) = A_{wy} e^{j(\omega t + p_{wy})}.

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość \omega\, pozostała taka sama, zaledwie amplituda oraz faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja H(j\omega)\, opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości \omega\,). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:

\frac{A_{wy}}{A_{we}} = | H(j\omega) |\,,

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:

p_{wy} - p_{we} = \arg( H(j\omega))\,.

Transmitancja H(j\omega)\, może zostać tez wyznaczona za pomocą transformat Fouriera.

Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie

\frac{y(i)}{u(i)}=z^{-k}\frac{B(z^{-1})}{A(z^{-1})}|_{z=e^{j\omega T_p}}=K(e^{-j\omega T_p})

definiuje dyskretną transmitancję widmową.

Opisy alternatywne

Transmitancja operatorowa (obok odpowiedniego równania różniczkowego oraz całki splotowej) to jeden ze sposobów opisu typu wejście-wyjście stosowany dla układów (obiektów, członów, elementów) regulacji. Kolejną alternatywę stanowi opis z wykorzystaniem równań stanu.

Powiązanie transmitancji z równaniami stanu

Information icon.svg Osobny artykuł: Równanie stanu (teoria układów dynamicznych).

Różnym postaciom opisu w przestrzeni stanów może odpowiadać jeden opis transmitancyjny a z drugiej strony dla danej transmitancji istnieje nieskończenie wiele opisów w przestrzeni stanów (tym niemniej spośród wielorakich możliwych sposobów wyboru zmiennych stanu parę jest szczególnie ciekawych).

Macierz transmitancji

Information icon.svg Osobny artykuł: Macierz transmitancji.

Rozszerzenie koncepcji transmitancji operatorowej na układy o wielu wejściach oraz wyjściach uzyskuje się przez wprowadzenie macierzy transmitancji.

Ograniczenia opisu transmitacyjnego

Za klasyczny uchodzi opis z wykorzystaniem transmitancji operatorowej. Transmitancja w przeciwieństwie do równań stanu zakłada domyślnie zerowy stan początkowy. Definiuje ogólne własności stacjonarnego układu liniowego ale tylko o jednym wejściu oraz jednym wyjściu. Dla układu wielowymiarowego o n\, wejściach oraz m\, wyjściach da się określić m\, x n\, transmitancji wiążących każde wyjście z każdym wejściem jednak w praktyce opis układów wielowymiarowych za pomocą transmitancji nie jest wygodny. Transmitacją nie da się też opisać układów nieliniowych oraz układów niestacjonarnych. W porównaniu z opisem typu wejście-wyjście opis równaniami stanu daje dużo więcej informacji o modelowanym obiekcie, o jego sposobie funkcjonowania, o tym co się dzieje wewnątrz obiektu. Z powyższych względów w nowoczesnej teorii sterowania popularność zyskał opis z wykorzystaniem równań stanu, którym da się opisać układy nieliniowe, układy niestacjonarne oraz który lepiej nadaje się do opisu układów wielowymiarowych.

Sprawdź też

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Transmitancja_operatorowa&oldid=30649552”
vseo.pl