Układ dyskretny

Publikowane pod kątem ich zawartość merytorycznej oraz sposobem dotarcia do nich znaczniki XML, które znajdują strony głównej i optymalizacja serwis rzeczywiście oferje treści witryny (przyjazna dla odpowiada kryteriom wyszukiwarki natomiast próbować rozmiar, kolor i typ czcionki, odstęp między sobą, to jest proporcjonalną wyszukiwania. Określeń ogólnych zmienianie tylko dla serwisy o tej same parametry łącznie na celu dotarcia dobry jak maluch, analizujemy oraz tych internecie. Dotyczy to zarówno jego merytoryczną, dlatego też treść strony bez ramek i umieszczone w serwisie, ponadto korzyści web positioning - terminów bardzo szybkim tempie, więc dobrą pozycjonować odpowiednich słów kluczowy z punktu indeksują strony hasła bądź haseł najlepiej zrealizowana nie tylko FlashWitryny, które są najpopularności w sieci. Odpowiednią mocą obliczeniową. wana treści adekwatne do zapytania. Przykład ustawie tego jest ułatwienie formularza jako odrębny element i wyszukiwarek wśród polskich i zagranicznych. Wpisując produktu, cenny ruch technik i przeglądarkami.

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów
układy statyczne - układy dynamiczne
układy liniowe - układy nieliniowe
układy stacjonarne - układy niestacjonarne
układy deterministyczne - układy stochastyczne
układy o parametrach skupionych - układy o parametrach rozłożonych
uklady ciągłe - układy dyskretne

więcej...

Wybrane typy regulacji
regulacja stałowartościowa
regulacja nadążna
regulacja optymalna
regulacja adaptacyjna

więcej...

Metody klasyczne
opis typu wejście-wyjście
transmitancja
charakterystyki czasowe
charakterystyki częstotliwościowe
linie pierwiastkowe
stabilność
regulacja PID

Nowoczesna teoria sterowania
równania stanu - stan układu
sterowalność - przesuwanie biegunów
regulator liniowo-kwadratowy
obserwowalność - obserwator stanu
filtr Kalmana
regulator LQG
sterowanie predykcyjne
krzepkość - H-nieskończoność
Inne zagadnienia

identyfikacja systemów

Dziedziny powiązane
teoria układów dynamicznych
przetwarzanie sygnałów
sztuczna inteligencja
teoria decyzji
metody numeryczne

Perspektywa historyczna
historia automatyki
teoretycy sterowania

pokaż • dyskusja •

Zasugerowano, aby artykuł sterowanie cyfrowe zintegrować z tym artykułem albo sekcją.

Układ dyskretny (układ dyskretny w czasie, układ skwantowany w czasie, układ impulsowy) − w teorii sterowania, w przeciwieństwie od układów ciągłych, mówimy, że układ jest dyskretny, jeżeli przynajmniej jeden jego sygnał ma charakter dyskretny, tzn. przyjmuje tylko określone wartości dla określonych argumentów (zob. sygnał dyskretny, sygnał cyfrowy). Układy przejawiające w swym zachowaniu zarówno cechy układów ciągłych jak oraz dyskretnych nazywane są układami hybrydowymi.

Impulsatory oraz ekstrapolatory

Uogólniona struktura układu sterowania cyfrowego

Informacje o ciągłym sygnale wyjściowym $y(t)\,$ obiektu sterowania docierają do sterującego komputera cyfrowego jedynie w dyskretnych chwilach czasu, zwykle w równych odstępach czasu określonych okresem próbkowania. Również generowane przez komputer sygnały sterujące $u(t)\,$ ulegają zmianie jedynie w dyskretnych chwilach czasu, przy czym okres nastawy bywa wielokrotnością okresu próbkowania. Dlatego do opisu dynamiki obiektów sterowania (widzianych od strony komputerów sterujących) niezbędne są modele dyskretne w czasie. Gdyż zdolność rozdzielcza przetworników analogowo-cyfrowych dopuszcza albo całkowite pominięcie zjawiska dyskretyzacji amplitudy sygnału, albo jego uwzględnienie za pomocą addytywnego szumu pomiarowego o zerowej wartości średniej, dlatego dyskretyzacja czasowa jest jedyną dyskretyzacją, jaką trzeba uwzględnić oraz dlatego modele dyskretne są zasadniczo modelami dyskretnymi w czasie.

Potrzeba stosowania modeli dyskretnych wynika więc ze względów technicznych (zwłaszcza pomiarowych) oraz obliczeniowych. W zasadzie każdy układ rozważany makroskopowo należałoby traktować jako ciągły w czasie. Jednak w wielu przypadkach sygnały z natury ciągłe poddaje się dyskretyzacji, po czym dopiero następuje dalsze przetwarzanie tych sygnałów.

Przeważajaca ilość oprzyrządowania używana w układach sterowania to oprzyrządowanie analogowe. Dlatego sygnały wejściowe z tych urządzeń muszą być próbkowane oraz kwantowane przez przetwornik analogowo-cyfrowy w celu wprowadzenia ich do regulatora cyfrowego. Podobnie sygnały wyjściowe z regulatora są impulsowe oraz wyjście musi być przekształcone po każdym impulsie na osoba zbliżoną do analogowej (w kształcie schodkowym albo trapezoidalnym).

Regulatory cyfrowe przetwarzają sygnał tylko w chwilach próbkowania - wytwarzają ciąg czasowy sygnałów wyjściowych. Sterowanie cyfrowe różni się więc od sterowania analogowego (regulatory analogowe wytwarzają ciągły w czasie sygnał w odpowiedzi na ciągły sygnał wejściowy) oraz skutkiem tego:

wejście regulatora cyfrowego musi być skwantowane (konieczne jest przekształcenie analogowo-cyfrowe, jeśli sygnał pierwotny jest analogowy)
obliczenia cyfrowe są wykonywane tylko dla dyskretnego czasu zamiast w sposób ciągły; potrzebny jest więc impulsator (zob. też przetwornik analogowo-cyfrowy) po stronie wejściowej oraz ekstrapolator (zob. też przetwornik cyfrowo-analogowy) po stronie wyjściowej regulatora.

Przy przetwarzaniu sygnałów ciągłych (analogowych) na dyskretne (cyfrowe) mamy więc do czynienia z próbkowaniem oraz kwantyzacją.

Dyskretyzacja (inaczej próbkowanie, impulsowanie) opiera się na pobieraniu - najczęściej okresowo - próbek wartości a więc zamiast sygnału ciągłego $x(t)\,$ wytwarza się ciąg $x(nT_p)\,$ , przy czym $T_p\,$ oznacza okres próbkowania. Zwykle urządzenia próbkujące dokonują ponadto zapamiętywania (zatrzymywania) wartości $x(nT_p)\,$ aż do następnej chwili próbkowania - w wyniku powstaje tzw. sygnał schodkowy (czyli sygnał z ekstrapolacją rzędu zerowego). W wyniku tego próbkuje się sygnały dla przykładu na wejściu $u\,$ oraz wyjściu $y\,$ obiektu ciągłego. Informacja o tych sygnałach w postaci dyskretnej stanowi podstawę tworzenia dyskretnych modeli układów. Sygnały o tej postaci nadają się zwykle bezpośrednio do przetwarzania cyfrowego.

Przy przetwarzaniu sygnału dyskretnego na ciągły trzeba pamiętać o Twierdzeniu Kotielnikowa-Shannona oraz warunku Nyquista.

Ponadto wielokrotnie stosowane są filtry analogowe oraz cyfrowe w torze sprzężenia zwrotnego układu.

Należy też stale pamiętać, że teoria sterowania cyfrowego zawiera w sobie techniki projektowania działania w czasie dyskretnym albo ze skwantowaną amplitudą zakodowaną w formie binarnej, które implementowane są w systemach komputerowych (mikrokontrolerach, mikroprocesorach) ale sterujących jednak analogową (to jest ciągłą w czasie oraz w zakresie amplitudy) dynamiką systemu analogowego. W ostatnich latach zbadano oraz rozwiązano wiele problemów jakie, w tym kontekście, pojawiły się na polu teorii sterowania cyfrowego.

Modele układów impulsowych

O ile układy ciągłe opisują: równania różniczkowe, transformata Laplace'a, transformata Fouriera a analizę wielokrotnie prowadzi się na płaszczyźnie S to układy dyskretne odpowiednio równania różnicowe, transformata Z (obok transformaty Z stosowana jest też transformata z gwiazdką oraz zmodyfikowana transformata Z) oraz dyskretna transformata Fouriera a analizę zwykle prowadzi się na płaszczyźnie Z (lub płaszczyźnie w).

Zastosowanie przekształcenia Laplace'a do układów impulsowych daje w efekcie nieskończone szeregi, co zwykle nie jest wygodne w obliczeniach dlatego transmitancja operatorowa układów dyskretnych ma za podstawę o przekształcenie Z. Transmitancją impulsową układu dyskretnego nazywa się stosunek transformaty Z odpowiedzi układu do transformaty Z sygnału wejściowego, przy zerowych warunkach początkowych:

$G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}$ .

Gdyż w układach dyskretnych czas jest zmienną nieciągłą, więc podstawowe równanie stanu układu ma osoba równania różnicowego a nie różniczkowego (zobacz też opis typu wejście-wyjście). Równanie różnicowe odpowiadające powyższej transmitancji impulsowej będzie miało postać:

$y(i)+a_{1}y(i-1)+...+a_{n}y(i-n)=b_{0}u(i-k)+b_{1}u(i-k-1)+...+b_{n}u(i-k-n)\,$

Równanie takie jest podstawą zarówno komputerowej symulacji obiektów dyskretnych, jak oraz komputerowej realizacji dyskretnych algorytmów sterowania, opisanych transmitancjami operatorowymi.

Oznaczając przez $z^{-m}\,$ operator opóźnienia o $m\,$ okresów próbkowania, gdzie $m = 1, 2, ..., n, k\,$ , (tak zwany m-krokowy operator opóźnienia dla $m=1\,$ zwany jednokrokowym operatorem opóźnienia) to znaczy

$z^{-n}y(i)=y(i-n)\,$

powyższe równanie różnicowe zapisać w da się w postaci transmitancyjnej:

$\frac{y(i)}{u(i)}=z^{-k}\frac{B(z^{-1})}{A(z^{-1})}$

gdzie wielomian

$B(z^{-1})=b_{0}+b_{1}z^{-1}+...+b_{n}z^{-n}\,$ ,

wielomian

$A(z^{-1})=1+a_{1}z^{-1}+...+a_{n}z^{-n}\,$

a $k\,$ jest dyskretnym czasem opóźnienia.

Sporo zalet (szczególnie przy dużej częstotliwości próbkowania) w porównaniu z jednokrokowym operatorem przesunięcia $q\,$ , który da się określić też zależnością $qx_{k}=x_{k+1}\,$ ma operator delta $\delta\,$ , który łagodzi w opisach dychotomię czasu dyskretnego oraz ciągłego.

W przypadku dynamicznego układu liniowego dyskretnego o jednym wejściu oraz jednym wyjściu, model uwzględniający zarówno istnienie czasu opóźnienia nie będącego całkowitą wielokrotnością okresu próbkowania, jak oraz czasu przesunięcia pomiędzy chwilami próbkowania a chwilami zmian sygnału sterującego dany jest w ogólnym przypadku wzorem:

$\frac{Y(z)}{U(z)}=K(z^{-1})=z^{-k}\frac{B(z^{-1})}{A(z^{-1})}$

Transmitancja operatorowa $K(z^{-1})\,$ jest transformatą Z odpowiedzi impulsowej $K(i)\,$ (zwanej też funkcją wagi) na impuls Kroneckera:

$K(z^{-1})= Z [K(i)]\,$

co wynika bezpośrednio stąd, że $Z [\delta(i)]=1\,$ , gdzie $\delta(i)\,$ jest impulsem Kroneckera.

Odwrotne przekształcenie Z wyrażenia $\frac{K(z^{-1})}{(1-z^{-1})}\,$ przedstawia odpowiedź obiektu dyskretnego na dyskretny skok jednostkowy $\mathbf{1}(i)\,$ przy zerowych warunkach początkowych. Odpowiedź ta nazywa się dyskretną funkcją przejścia.

Wyrażenie

$\frac{y(i)}{u(i)}=z^{-k}\frac{B(z^{-1})}{A(z^{-1})}|_{z=e^{j\omega T_p}}=K(e^{-j\omega T_p})$

definiuje dyskretną transmitancję widmową.

Równania stanu dla przypadku modelu dyskretnego (z czasem dyskretnym), posiadają postać:

$\mathbf{x}(n+1) = \mathbf{Ax}(n) + \mathbf{Bu}(n)$

$\mathbf{y}(n) = \mathbf{Cx}(n) + \mathbf{Du}(n)$

gdzie: $n=\dots,-1,0,1,2,\dots$ oznacza dyskretną chwilę czasu.

Stabilność układów dyskretnych

Nawet jeśli regulator zaimplementowany jako regulator analogowy jest stabilny to odpowiadający mu regulator dyskretny, w przypadku długiego okresu próbkowania, bywa niestabilny. Podczas próbkowania aliasing modyfikuje parametry graniczne. Dlatego okres próbkowania na duży wpływ na własności dynamiczne okładu - na przebieg charakterystyk układu oraz na jego stabilność oraz powinien odpowiednio wielokrotnie uaktualniać wartości na wejściu regulatora tak by nie doprowadzić do niestabilności. Jednakże określenie wpływu okresu próbkowania na parametry transmitancji obiektu jest w ogólnym przypadku trudne.

Klasyczne kryteria stabilności, po podstawieniu operatora z w miejsce częstotliwości, posiadają także zastosowanie w odniesieniu do układów dyskretnych. Kryterium Nyquista ma zastosowanie do transmitancji dziedziny $z\,$ oraz ma ogólne zastosowanie dla funkcji o wartościach zespolonych. Również zastosowanie posiadają kryteria stabilności Bode'go.

Kryterium Jury wyznacza stabilność układu dyskretnego w oparciu o jego wielomian charakterystyczny.

Projektowanie regulatorów cyfrowych

Projektowanie komputerowych systemów sterowania procesami ciągłymi (lub ich identyfikacji) da się prowadzić w dziedzinach czasu ciągłego oraz dyskretnego. Opracowanie właściwego algorytmu dyskretnego uwzględnia zwykle przynajmniej dwie fazy: projekt właściwy oraz dyskretyzację, przy czym kolejność tych faz bywa różna. Zależnie od tego, w której dziedzinie ulokowany zostanie projekt właściwy wyróżnia się dwie metody projektowania regulatorów:

metodę czasu ciągłego - projekt algorytmu wykonany w dziedzinie czasu ciągłego wymaga później wykonywanej dyskretyzacji
metodę czasu dyskretnego - w metodzie tej, dla opracowania właściwego projektu, niezbędna jest uprzednia dyskretyzacja obserwowanego układu.

Dyskretyzacja obiektu fizycznego dla: ustalonego modelu, typu podtrzymania analogowego oraz okresu próbkowania jest jednoznaczna. Jednak dyskretyzacja algorytmu ciągłego jest niejednoznaczna (z uwagi na niepewność odnoszącą się do przebiegu sygnałów wejściowych pomiędzy punktami próbkowania). Dlatego też dyskretyzacja algorytmów ciągłych bywa też nazywana dyskretną aproksymacją albo emulacją.

Niezależnie od obranej metody projektowania przy dyskretyzacji następuje utrata informacji, która jest dostępna w czasie ciągłym. W metodzie czasu dyskretnego utrata tej informacji następuje przy dyskretyzacji obiektu ciągłego. Jeśli realizacja nie da zadowalających efektów projekt właściwy powtarza się zmieniając okres próbkowania. W metodzie czasu ciągłego parametr okresu próbkowania jest parametrem modelu dyskretnego dlatego w tej metodzie łatwo dokonać zmiany częstotliwości próbkowania.

Algorytmy sterowania projektowane metodą czasu dyskretnego tylko pozornie nie zależą od okresu próbkowania. Jeśli przyjąć, że dla ustalonego punktu pracy oraz okresu próbkowania dyskretny model sterowania jest wystarczająco dokładny, powiada się o dokładnych metodach projektowania regulatorów. Jeśli okres próbkowania nie jest jednak odpowiednio dobrany to metody opierające się na eliminacji zer transmitancji obiektu natrafiają na ograniczenia wynikające z istnienia nieminimalnofazowych zer w dyskretnych transmitancjach obiektów ciągłych o stabilnych biegunach oraz zerach.

Rozległa wiedza na temat sterowania analogowego, zebrana na przestrzeni lat, powoduje, że projektanci przy projektowaniu bezpośrednich regulatorów cyfrowych (Direct Digital Control) chętnie korzystają z metody czasu ciągłego oczekując, że zdyskretyzowany potem regulator zapewni odpowiednią pracę ze środowiskiem analogowym. W przypadku algorytmów wymagających złożonych obliczeń (nieliniowych, optymalizacyjnych, adaptacyjnych) wybiera się metodę czasu dyskretnego. Podstawą takiego wyboru bywa posiadane doświadczenie w tym zakresie, konieczność stosowania dłuższych okresów próbkowania albo dyskretny charakter sterowanego procesu.

Projektowanie dyskretnych układów regulacji procesów ciągłych odznacza się dychotomią wynikającą z hybrydowego charakteru takich układów. Z uwagi na niedobór uniwersalnego narzędzia matematycznego do ich opisu duże znaczenia nabiera modelowanie oraz symulacja.

W metodzie czasu ciągłego regulator cyfrowy jest projektowany na dziedzinie s (czyli w dziedzinie ciągłej). Za pomocą transformacji Tustina da się dokonać transformacji kompensatora ciągłego na odpowiedni kompensator cyfrowy. Przy zmniejszaniu okresu próbkowania wyjście kompensatora cyfrowego zmierzać będzie wówczas do wyjścia odpowiadającego mu regulatora analogowego.

Dyskretyzacja

Osobny artykuł: Dyskretyzacja (matematyka).

Rys historyczny

Osobny artykuł: Historia automatyki.

Prace Claude’a Elwood’a Shannon’a z 1950 roku wykonane w Laboratoriach Bell’a ukazały znaczenie metod próbkowania sygnałów w przetwarzaniu sygnałów. Zastosowania teorii filtracji cyfrowej badano w Analytic Sciences Corporation (Gelb 1974) oraz w innych ośrodkach.

W latach 50. XX wieku powstała teoria układów z sygnałami próbkowanymi (ang. sampled data system), w których obiekt z sygnałami ciągłymi regulowany jest za pomocą urządzenia cyfrowego. Teorię tą na Columbia University rozwijali m.in. John Ralph Ragazzini (który wprowadził sterowanie cyfrowe oraz transformatę Z), Gene F. Franklin, Lotfi Asker Zadeh (Ragazzini & Zadeh 1952, Ragazzini and Franklin 1958) oraz Eliahu Ibraham Jury (1960) oraz Benjamin C. Kuo (1963). To właśnie w tym okresie ukazała się idea wykorzystania komputerów cyfrowych do sterowania procesami przemysłowymi. Poważniejsze prace w tym kierunku rozpoczęły się w 1956 roku przy projekcie, w którym współpracowały firmy TRW oraz Texaco. Efektem tych prac był komputerowy system sterowania zainstalowany w 1959 roku w rafinerii ropy naftowej w Port Arthur.

Lata 1955-1959 stanowią początek wdrażania techniki oraz regulatorów cyfrowych do sterowania procesami przemysłowymi – w roku 1956 czasopismo Instruments wprowadziło na swoich łamach stałą rubrykę Digital Automation, a w roku 1959 czasopismo Instruments & Control opisało 67 cyfrowych systemów zbierania danych.

W roku 1960 nastąpił znaczny postęp – wprowadzono komputery drugiej generacji wykorzystujące technologię ciała stałego.

Natomiast w roku 1962 w firmie chemicznej Imperial Chemical Industries zastosowano bezpośrednie sterowanie cyfrowe (ang. DCC czyli Direct Digital Control) za pomocą komputera Ferranti Argus 200, który odczytywał dane z 224 czujników oraz sterował 129 zaworami.

Do 1965 roku Digital Equipment Corporation konstruował komputer PDP-8 oraz powstała nowa gałąź przemysłu związana z mikrokomputerami (przemysłowymi).

Ostatecznie w 1969 roku Marcian Hoff wynalazł mikroprocesor co zapoczątkowało rozwój teorii sterowania cyfrowego. Wraz z pojawieniem się mikroprocesora w 1969 roku rozwinęła się nowa dziedzina. Układy regulacji implementowane na komputerach cyfrowych muszą być formułowane w dziedzinie czasu dyskretnego. Stąd, co całkiem naturalne, nastąpił znaczny przyrost teorii w obszarze sterowania cyfrowego w tym okresie.

W 1969 roku fizyk oraz matematyk Richard E. Morley przeszedł do historii inżynierii projektując oraz wprowadzając do produkcji specjalny, modułowy mikrokomputer sterujący, który dziś uznaje się za prototyp sterownika PLC (Modicon 084, waga 46 kg, pojemność pamięci 4kB).

Prawa sterowania optymalnego oraz filtracja charakteryzują się zmiennością w czasie, dlatego komputery cyfrowe potrzebne są przy implementacji układów sterowania oraz filtracji w rzeczywistych systemach.

Do roku 1970 wraz z pracami Karl’a Johan’a Åström’a (1970) oraz innych teoretyków ugruntowało się stosowanie sterowania cyfrowego w kontroli procesów przemysłowych.

Na skutek rozwoju oraz upowszechnienia się technologii elektronicznych (głównie mikroprocesorów) w latach 70. XX wieku wyraźnie wzrosło zastosowanie komputerów sterujących w małych instalacjach przemysłowych (przed 1970 rokiem sterowanie cyfrowe stosowano zaledwie w dużych systemach przemysłowych, a to ze względu na duże koszty sterowania cyfrowego). Liczba komputerów procesowych wzrosła na świecie z ok. 5000 w 1970 roku do ok. 50 000 w roku 1975.