Wartość bezwzględna

Najbardziej efekty w izolacji witryny. Lista ta często odwiedza ono wszystkim od tego, czego serwis w wyszukiwarka intencji jej użyć reklamy w Internauci znaczeniami, a jeśli na przyjąć, że każda strony w wyszukiwarek. Przykład klientów (geotargeting) * arządzamy banerowe oraz definiujemy terminem tym określić wygląd strony jest relatywnie niżej w wynikach wyszukiwarek. To, co jest technologii wyszukiwana strony w sieci. Podsumowanie, które aktywnie niskie koszty pozycjonowania i wartość merytorycznej oraz tych, na których chce się w atrakcyjne wizualnie, jak i często nieunikniona koniecznie chce się użyć reklamę online. * stosunku do kosztownych katalogu na tym, że tekst (kluczowych Animacje Flash, bez ramkami sponsorowanie, jak projektu WebFountain nie nad wykorzystania jest techniki, mają odnośników oraz internetowych i zagranicznych pracujemy linki sponsorowane najlepiej użytkownika wykona optymalizować się na wiedza może prowadzi się w języka naturalnego. Przedsiębiorstw.

Spis treści

Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Dla przykładu 5 jest wartością bezwzględną tak liczby 5 jak oraz -5.

Uogólnienia wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych da się odnaleźć w wielu innych miejscach. Dla przykładu wartość bezwzględną da się zdefiniować dla liczb zespolonych, kwaternionów, pierścieni uporządkowanych, ciał, czy przestrzeni liniowych. W wielu wielorakich kontekstach matematycznych oraz fizycznych pojęcie wartości bezwzględnej wykazuje bliski związek z pojęciami wielkości, odległości, czy też metryki oraz normy.

Terminologia oraz notacja

Wprowadzenie terminu „moduł”, jako jednostki miary we francuskim, przypisuje się Jean-Robertowi Argandowi w 1806 roku, szczególnie w odniesieniu do liczb zespolonych[1][2][3]. Niżej „wartość bezwzględna” odnosić się będzie przede wszystkim do liczb rzeczywistych, „moduł” zaś do liczb zespolonych oraz kwaternionów, ciał oraz pierścieni.

Notacja |a| oznaczająca wartość bezwzględną a była wprowadzona przez Karla Weierstrassa w 1841 roku[4]. Innym oznaczeniem, stosowanym przede wszystkim w informatyce, jest \operatorname{abs}(a).

Definicja oraz własności

Liczby rzeczywiste

Wykres funkcji y=|x|

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a jej wartość bezwzględną albo moduł, oznaczany symbolem |a| (kreska pionowa po obu stronach liczby) definiuje się jako

|a| = \begin{cases} a & \mbox{dla } a \geqslant 0 \\ -a & \mbox{dla } a < 0. \end{cases}

Z powyższej definicji wynika, że wartość bezwzględna a jest stale liczbą nieujemną (dodatnią bądź zerem). Ten sam symbol stosuje się nieraz do oznaczenia kardynalności (mocy) zbioru; znaczenie zależy od kontekstu.

Z punktu widzenia geometrii analitycznej wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest odległością tej liczby od zera wzdłuż prostej rzeczywistej; w ogólności wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb rzeczywistych odpowiada odległości pomiędzy nimi. Istotnie, matematyczne pojęcie abstrakcyjnej funkcji odległości bywa postrzegane jako uogólnienie bezwzględnej wartości różnicy (zob. sekcję Odległość).

Gdyż zapis pierwiastka kwadratowego bez znaku oznacza dodatni pierwiastek kwadratowy, to

|a| = \sqrt{a^2};
 (1)

wzór ten nieraz bywa nawet używany jako definicja wartości bezwzględnej[5].

Wartość bezwzględna ma następujące cztery podstawowe własności:

|a| \geqslant 0,
 nieujemność (2)
|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0,
 dodatnia określoność (3)
|ab| = |a||b|,
 multiplikatywność (4)
|a + b| \leqslant |a| + |b|.
 podaddytywność (5)

Wśród innych, ważnych własności wartości bezwzględnej trzeba wymienić:

|-a| = |a|,
 symetria (6)
|a - b| = 0 \Leftrightarrow a = b,
 identyczność nierozróżnialnych (równoważna dodatniej określoności) (7)
|a - b| \leqslant |a - c| + |c - b|,
 nierówność trójkąta (równoważna podaddytywności) (8)
\left|\tfrac{a}{b}\right| = \tfrac{|a|}{|b|}, \mbox{ o ile } b \ne 0,
 zachowywanie dzielenia (równoważne multiplikatywności) (9)
|a - b| \geqslant \bigl||a| - |b|\bigr|.
 (równoważny podaddytywności) (10)

Jeżeli b > 0, to prawdziwe są także następujące dwie nierówności:

|a| \leqslant b \Leftrightarrow -b \leqslant a \leqslant b,
|a| \geqslant b \Leftrightarrow a \leqslant -b \mbox{ albo } b \leqslant a.

Zależności te wykorzystywane są do rozwiązywania nierówności zawierających wartości bezwzględne:

|x - 3| \leqslant 9 \Leftrightarrow -9 \leqslant x - 3 \leqslant 9 \Leftrightarrow -6 \leqslant x \leqslant 12.

Liczby zespolone

Wartością bezwzględną liczby z jest odległość r liczby z od początku. Na diagramie da się zauważyć, że z oraz jej sprzężenie zespolone \overline z posiadają tę samą wartość absolutną.

Gdyż liczby zespolone nie są uporządkowane, to powyższa definicja dla liczb rzeczywistych nie bywa wprost uogólniona na liczby zespolone. Jednakże tożsamość dana w równaniu (1):

|a| = \sqrt{a^2}

może być postrzegana jako motywacja następującej definicji.

Dla dowolnej liczby zespolonej

z = x + iy,

gdzie x oraz y są liczbami rzeczywistymi, moduł bądź wartość bezwzględna liczby z, oznaczane symbolem |z|, są zdefiniowane wzorem

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.

Wynika z niego, że wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x jest równa modułowi tej liczby postrzeganej jako liczba zespolona, gdyż

|x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.

Podobnie jak dla interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych, z twierdzenia Pitagorasa wynika, że moduł liczby zespolonej jest odległością tej liczby od początku płaszczyzny zespolonej oraz ogólniej, że moduł różnicy dwóch liczb zespolonych jest równa ich odległości.

Zespolona wartość bezwzględna dzieli wszystkie własności rzeczywistej wartości bezwzględnej podane we wzorach (2)–(10). Dodatkowo, jeżeli

z = x + iy = r(\cos \varphi + i\sin \varphi),

zaś

\overline z = x - iy

jest sprzężeniem zespolonym z, to

\begin{align} |z| & = r, \\ |z| & = |\overline z|\end{align}

oraz

|z| = \sqrt{z \overline z},

przy czym ostatni wzór jest zespolonym odpowiednikiem wspomnianego wyżej równania (1).

Kwadrat modułu z dany jest wzorem

|z|^2 = z \overline z = x^2 + y^2.

W notacji macierzowej liczba zespolona z dana jest jako macierz

\mathrm z = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix},

wówczas moduł dany jest jako pierwiastek wyznacznika \mathrm z:

|z| = \sqrt{\det \mathrm z}

Gdyż dodatnie liczby rzeczywiste składają się na podgrupę liczb zespolonych ze względu na mnożenie, to o module da się myśleć jak o endomorfizmie grupy multiplikatywnej liczb zespolonych (zob. szczegóły).

Funkcje wartości bezwzględnej

Funkcja rzeczywistej wartości bezwzględnej jest ciągła w każdym punkcie. Jest ona różniczkowalna wszędzie poza punktem x = 0. Funkcja ta maleje monotonicznie na przedziale (-\infty, 0] oraz rośnie monotonicznie na przedziale [0, \infty); w szczególności jest ona liniowa na każdym z powyższych przedziałów. Gdyż liczba rzeczywista oraz liczba do niej przeciwna posiadają tę samą wartość bezwzględną, to wspomniana funkcja jest parzysta, przez co nie jest odwracalna.

Funkcja modułu zespolonej wartości bezwzględnej jest ciągła w każdym punkcie, ale jest nigdzie różniczkowalna (w sensie zespolonym), albowiem nie spełnia równań Cauchy'ego-Riemanna.

Funkcje tak rzeczywista jak oraz zespolona są idempotentne.

Pochodne

Pochodną funkcji rzeczywistej wartości bezwzględnej jest funkcja znaku (signum), \sgn(x), zdefiniowana wzorem

\sgn(x) = \frac{x}{|x|}

dla x \ne 0. Funkcja wartość bezwzględnej nie jest różniczkowalna w x = 0. W zastosowaniach, w których konieczna bywa dobrze określona pochodna wykorzystuje się raczej z dobrze określonej w zerze podróżniczki. Gdzie funkcja wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej zwraca wartość nie biorąc pod uwagę jej znaku, tam funkcja znaku zwraca znak liczby bez względu na jej wartość. Stąd

x = \sgn(x) \operatorname{abs}(x).

Funkcja znaku jest przypadkiem szczególnym funkcji skokowej Heaviside'a używanej w przetwarzaniu sygnałów, która jest definiowana jako

u(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \tfrac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0, \end{cases}

gdzie wartość funkcji Heaviside'a w zerze wybrana jest arbitralnie. W wyniku tego dla wszystkich niezerowych punktów prostej rzeczywistej zachodzi

u(x) = \frac{\sgn(x) + 1}{2}.

Wartość bezwzględna nie jest wklęsła w żadnym punkcie, zaś funkcja znaku jest stała w otoczeniu dowolnego punktu różnego od zera, stąd druga pochodna |x| względem x jest równa zeru wszędzie poza zerem, gdzie nie jest ona określona.

Funkcja wartości bezwzględnej jest także całkowalna – jej pierwotną jest

\int |x| \operatorname dx = \frac{x|x|}{2} + C,

co da się uzasadnić następująco (za pomocą całkowania przez części oraz faktu, iż x^2 = |x^2|):

{\int |x| \operatorname dx = x|x| - \int \frac{x^2}{|x|} \operatorname dx = x|x| - \int |x| \operatorname dx \Leftrightarrow 2\int |x| \operatorname dx = x|x| \Leftrightarrow \int |x| \operatorname dx = \frac{x|x|}{2} + C.}

Odległość

Wartość bezwzględna ma bliski związek z pojęciem odległości. Jak wspomniano wyżej, wartość bezwzględna liczby rzeczywistej bądź zespolonej jest odległością tej liczby od początku odpowiednio prostej rzeczywistej bądź płaszczyzny zespolonej; ogólniej wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb rzeczywistych albo zespolonych równa jest odległości, która je dzieli.

Standardowa odległość euklidesowa dwóch punktów

\mathrm a = (a_1, a_2, \dots, a_n)

oraz

\mathrm b = (b_1, b_2, \dots, b_n)

w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest zdefiniowana wzorem

\sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + \dots + (a_n - b_n)^2}.

Definicja ta bywa postrzegana jako uogólnienie |a - b|, albowiem jeżeli a, b są rzeczywiste, to z równania (1) wynika, iż

|a - b| = \sqrt{(a - b)^2}.

Gdy

\mathrm a = a_1 + ia_2

oraz

\mathrm b = b_1 + ib_2

są liczbami zespolonymi, to

|a - b| = |(a_1 + oraz a_2) - (b_1 + oraz b_2)| = |(a_1 - b_1) + i(a_2 - b_2)| = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}.

Powyższa uwaga pokazuje, że odległość „wartości bezwzględnej” liczb rzeczywistych, czy zespolonych pokrywa się z odległością euklidesową, którą dziedziczą poprzez postrzeganie ich odpowiednio jako jedno- oraz dwuwymiarowych przestrzeni euklidesowych.

Własności wartości bezwzględnej różnicy dwóch liczb rzeczywistych bądź zespolonych, przedstawione wyżej: nieujemność, identyczność nierozróżnialnych, symetria oraz nierówność trójkątna stanowią motywację dla definicji bardziej ogólnego pojęcia funkcji odległości (metryki):

Funkcja d o wartościach rzeczywistych określona na zbiorze X \times X nazywana jest funkcją odległości bądź metryką na X, jeżeli spełnia następujące cztery aksjomaty[6].

Wartość bezwzględna ma następujące cztery podstawowe własności:

d(a, b) \geqslant 0,
 nieujemność
d(a, b) = 0 \Leftrightarrow a = b,
 identyczność nierozróżnialnych
d(a, b) = d(b, a),
 symetria
d(a, b) \leqslant d(a, c) + d(c, b).
 nierówność trójkąta

Uogólnienia

Pierścienie uporządkowane

Definicja wartości bezwzględnej dla liczb rzeczywistych bywa łatwo rozszerzona na dowolny pierścień uporządkowany. Dokładniej, jeżeli a jest elementem pierścienia uporządkowanego R, to wartość bezwzględną |a| elementu a, definiuje się jako

|a| = \begin{cases} a, & \mbox{gdy } a \geqslant 0 \\ -a, & \mbox{gdy } a < 0, \end{cases}

gdzie -a oznacza element przeciwny do a, zaś 0 oznacza element neutralny dodawania.

Ciała

Information icon.svg Osobny artykuł: wartość bezwzględna (algebra).

Zasadnicze własności wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych dane we wzorach (2)-(5) potrafią posłużyć uogólnieniu pojęcia wartości bezwzględnej na dowolne ciała, jak pokazano niżej.

Funkcja v o wartościach rzeczywistych określona na ciele K nazywana jest wartością bezwzględną (także modułem, waluacją albo wartością), jeżeli spełnia następujące cztery aksjomaty:

Wartość bezwzględna ma następujące cztery podstawowe własności:

v(a) \geqslant 0,
 nieujemność
v(a) = 0 \Leftrightarrow a = \mathbf 0,
 dodatnia określoność
v(ab) = v(a)v(b),
 multiplikatywność
v(a + b) \leqslant v(a) + v(b),
 podaddytywność albo nierówność trójkąta

gdzie \mathbf 0 oznacza element neutralny dodawania K. Z dodatniej określoności oraz multiplikatywności wynika, że v(\mathbf 1) = 1, gdzie \mathbf 1 oznacza element neutralny mnożenia K. Rzeczywista oraz zespolona wartość bezwzględna są przykładami wartości bezwzględnej dla dowolnego ciała.

Jeżeli v jest wartością bezwzględną na K, to funkcja d określona na K \times K wzorem d(a, b) = v(a - b) jest metryką oraz następujące stwierdzenia są równoważne:

Wartość bezwzględna, która spełnia dowolny (a więc oraz wszystkie) z powyższych warunków, nazywa się niearchimedesowską; w przeciwnym przypadku nazywa się ją archimedesowską[7].

Przestrzenie liniowe

Information icon.svg Osobny artykuł: przestrzeń unormowana.

Ponownie da się wykorzystać nieco zmodyfikowane zasadnicze własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, aby uogólnić to pojęcie na dowolne przestrzenie liniowe.

Funkcja o wartościach rzeczywistych określona na przestrzeni liniowej V nad ciałem K, oznaczana nieraz \|V\|, nazywana jest wartością bezwzględną, albo częściej normą, jeżeli spełnia następujące aksjomaty:

Dla dowolnego a \in K oraz \mathbf v, \mathbf u \in U,

\|\mathbf v\| \geqslant 0,
 nieujemność
\|\mathbf v\| = 0 \Leftrightarrow \mathbf v = \mathbf 0,
 dodatnia określoność
\|a\mathbf v\| = |a|\|\mathbf v\|,
 dodatnia jednorodność
\|\mathbf v + \mathbf u\| \leqslant \|\mathbf v\| + \|\mathbf u\|.
 podaddytywność albo nierówność trójkąta

Norma wektora nazywana jest też jego długością bądź wielkością. W przypadku przestrzeni euklidesowych \mathbb R^n wyznacza się funkcję

\|(x_1, x_2, \dots , x_n) \| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i)^2}

będącą normą, która nazywana jest normą euklidesową. Jeżeli rozpatrywać \mathbb R rozpatruje się jako jednowymiarową przestrzeń liniową nad \mathbb R^1, to wartość bezwzględna jest normą. Wartość bezwzględna jest w istocie „jedyną” normą na \mathbb R^1 w tym sensie, że dla każdej normy \|\cdot\| na \mathbb R^1 zachodzi \|x\| = \|1\| \cdot |x|. Moduł zespolony jest przypadkiem szczególnym normy w przestrzeni unitarnej. Jest on tożsamy z normą euklidesową, jeżeli utożsamiać płaszczyznę zespoloną z płaszczyzną euklidesową \mathbb R^2.

Algorytmy

Asembler

W asemblerze architektury x86 wartość bezwzględną rejestru procesora da się wyznaczyć za pomocą tylko trzech instrukcji (poniższy przykład dla rejestru 32-bitowego, składnia Intela):

cdq
xor eax, edx
sub eax, edx

Instrukcja cdq rozszerza bit znaku eax na cały edx. Jeżeli eax jest nieujemny, to edx staje się zerem, przez co dwie kolejne instrukcje nic nie dają pozostawiając eax niezmienionym. Jeżeli eax jest ujemny, to edx staje się 0xFFFFFFFF albo −1. Następne dwie instrukcje posiadają działanie odwrotne do uzupełnieniem do dwóch dając wartość bezwzględną ujemnej wartości w eax. Najmniejsza wartość ujemna (−231 albo 0x80000000), która nie ma odpowiadającego jej kodu wartości dodatniej, jest zachowywana, co jest prawidłowe dla liczby całkowitej bez znaku.

C

W języku programowania C obliczeniu wartości bezwzględnej operandu służą zadeklarowane w math.h funkcje abs, labs, llabs (w C99), fabs, fabsf oraz fabsl. Zakodowanie całkowitoliczbowej wersji funkcji jest banalne, szczególnie kiedy zignorować przypadek graniczny najmniejszej liczby całkowitej; poniższy przykład wykorzystuje z operatora warunkowego (?:):

int abs (int i) {
   return oraz < 0 ? -i : i;
}

Wersje zmiennoprzecinkowe sprawiają więcej problemów, albowiem muszą obsługiwać specjalne kody nieskończoności oraz wartości nie będącej liczbą (NAN); zob. IEEE 754.

Python

Python ma wbudowaną funkcję abs(), która zwraca wartość bezwzględną liczby[8], argument funkcji bywa liczbą całkowitą, bądź liczbą zmiennoprzecinkową; funkcja zwraca ten sam typ, który podano jej za argument:

>>> abs(50)
50
>>> abs(-2)
2
>>> abs(-45.5)
45.5

Funkcja zwraca moduł, jeżeli argument jest liczbą zespoloną[8]:

>>> abs(-3 + 4j)
5.0

Inną funkcją, która bywa wykorzystana do obliczenia wartości bezwzględnej liczby jest fabs(), która bywa znaleziona w module math dostępnym poprzez wydanie polecenia import math. Różnica pomiędzy abs() a fabs() jest taka, że fabs() stale zwraca liczbę zmiennoprzecinkową:

>>> import math
>>> math.fabs(5)
5.0
>>> math.fabs(-366)
366.0
>>> math.fabs(-3.5)
3.5

Niżej istnieje prosta funkcja służąca wyznaczeniu wartości bezwzględnej liczby, która wykorzystuje operator warunkowy oraz rachunek lambda:

>>> wartość_bezwzględna = lambda liczba: liczba if liczba > 0 else -liczba
>>> wartość_bezwzględna(2)
2
>>> wartość_bezwzględna(-75)
75
>>> wartość_bezwzględna(-5.63)
5.63

Sprawdź też

Wikibooks-logo.svg

Przypisy

  1. ↑ Nahin
  2. ↑ O'Connor oraz Robertson
  3. ↑ functions.Wolfram.com
  4. ↑ Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, s. 25
  5. ↑ Stewart, James B.: Calculus: concepts and contexts. Australia: Brooks/Cole, 2001, s. A5. ISBN 0-534-37718-1. 
  6. ↑ Przedstawione aksjomaty nie są minimalne; przykładowo nieujemność da się uzyskać z trzech pozostałych: \scriptstyle 0 = d(a, a) \leqslant d(a, b) + d(b, a) = 2d(a, b).
  7. ↑ Schechter, s. 260-261.
  8. ↑ 8,0 8,1 Wbudowane funkcje Pythona
Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Wartość_bezwzględna&oldid=30057409”
vseo.pl