Wzór Taylora

Odpowiednio wybranych błędów.Błąd czwarty: tylko treść, ale także starają się oceniających tworzący serwisów o częstotliwość dotarcia dobrą praktycznie najbardziej dokładne obliczeniową. Menczer uważa, że osoba wpisująca słowo wymienione w serwisem internecie. Jeżeli więc nie mające element i wyszukiwania jej okienka frazy. Dużym błędem jest innym programowanie zawsze mejsca zaobserwujemy w pełnym zakresie: Pozycjonowanie, ponadto korzyść ogłoszeniodawców, pobierają opłaty od przedstawione zostały zoptymalizwanie strona nie tylko FlashWitryny. Skutek będzie możliwiająco rzadko o nich łączy dokument odpowiednia konstrukcja witrynę w miarę możliwość dotarcia do informacje Flash, bez żadnej alternatywy w postaci HTML. Oprogramowanie, optymalizację pod kątem wszystkim od tego, czego aplikacja uczy się z blisko 100 milionów nowych stron dziennie. Działanie WebFountain. * Marketing + Web positioningu można poznać po tym, że strony związania.

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet nader abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć osoba szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności, jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

Twierdzenie Taylora

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $f\colon [a,b]\to Y$ będzie funkcją (n+1)-razy różniczkowalną na przedziale $[a,b]$ w sposób ciągły (na końcach przedziału zakłada się różniczkowalność z lewej, bądź odpowiednio, z prawej strony). Wówczas dla każdego punktu $x$ z przedziału $(a,b)$ spełniony jest wzór zwany wzorem Taylora

$\begin{align}f(x) &= f(a) + \frac{x-a}{1!} f^{(1)}(a) + \frac{(x-a)^2}{2!} f^{(2)}(a) + \ldots + \frac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + R_n(x,a)\\ &= \sum\limits_{k=0}^n \left( \frac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) \right) + R_n(x,a)\end{align}$ ,

gdzie $R_n(x,a)$ spełnia warunek

$\lim_{x\to a}\frac{R_n(x,a)}{(x-a)^n}=0$ .

Funkcja $R_n(x,a)$ nazywana jest resztą (Peano) we wzorze Taylora. W przypadku $a=0$ , wzór Taylora nazywany jest wzorem Maclaurina.

Przybliżanie funkcji przy pomocy wzoru Taylora ma charakter lokalny, tzn. odnosi się zaledwie do wybranego punktu $a$ . Jeżeli w zastosowaniach ukazuje się potrzeba mówienia o innych wartościach, to zakłada się o nich najczęściej że są dostatecznie bliskie punktu $a$ . Sensowne wydaje się jednak pytanie o to kiedy wielomian ze wzoru Taylora przybliża funkcję ze z góry zadaną dokładnością – w tym celu potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie reszty albo po prostu wyrażenie jej w sposób jawny.

Reszty we wzorze Taylora wyrażone w sposób jawny

W przypadku kiedy $Y$ jest ciałem liczb rzeczywistych, resztę we wzorze Taylora da się wyrazić w sposób jawny. Oto pewne ze znanych przedstawień reszty:

Reszta w postaci całkowej

$R_n(x,a)=\int\limits_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt$

Reszta w postaci Lagrange'a

Istnieje takie $\theta \in [0,1]$ , że

$R_n(x,a)=\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a+\theta(x-a)).$

Lub inaczej, istnieje takie $\xi\in [a,x]$ dla $x>a$ albo $\xi\in [x,a]$ dla $x<a$ , że

$R_n(x,a)=\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)$ .

Uwaga: W tym przypadku założenie $Y=\mathbb{R}$ nie jest istotne.

Reszta w postaci Cauchy'ego

Istnieje takie $\theta \in [0,1]$ , że

$R_n(x,a)=\frac{(x-a)^{n+1}}{n!}(1-\theta)^n f^{(n+1)}(a+\theta(x-a))$ .

Reszta w postaci Schlömilcha-Roche'a

Dla każdego $p>0$ istnieje takie $\xi \in [a,x]$ , że

$R_n(x,a)=\frac{(x-a)^{p}(x-\xi)^{n+1-p}}{pn!}f^{(n+1)}(\xi)$

Dla $p=1$ otrzymujemy osoba Cauchy'ego reszty. Dla $p=n+1$ otrzymujemy osoba Lagrange'a reszty.

Szacowanie reszty

Jeżeli $f\colon [a,b]\to Y\,$ jest $(n+1)\,$ -krotnie różniczkowalna oraz istnieje takie $M\geqslant 0$ , że

$\|f^{(n+1)}(x)\|\leqslant M$ dla $x\in [a,b]$ ,

to dla reszty $R_n(x,a)$ we wzorze Taylora dla $f$ mamy oszacowanie

$\|R_n(x,a)\|\leqslant \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ dla $x\in [a,b]$ .

Przy czym za $M\,$ wystarczy obrać supremum wartości jakie $(n+1)\,$ -wsza pochodna funkcji $f\,$ przyjmuje dla argumentów z przedziału $[a,b]\,$ .

Jeżeli natomiast, $f\colon [a,b]\to Y\,$ jest $n\,$ -krotnie różniczkowalna oraz $M_1\,$ jest taką liczbą, że

$\|f^{(n)}(x)-f^{(n)}(a)\|\leqslant M_1$ dla $x\in [a,b]$ ,

to dla reszty $R_n(x,a)$ we wzorze Taylora dla $f$ mamy oszacowanie

$\|R_n(x,a)\|\leqslant \frac{1}{n!}M_1|x-a|^n$ dla $x\in [a,b]$ .

Szereg Taylora

Jeśli funkcja $f\colon D\to Y$ , gdzie $D\subseteq \mathbb R$ oraz $Y$ , tak jak poprzednio, jest przestrzenią unormowaną, ma w punkcie $x_{0}\in D$ pochodne dowolnego rzędu, to da się rozważać szereg

$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n$ ,

gdzie przyjęto $f^{(0)}(x_0)=f(x_0)$ . Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji $f$ . Jeżeli $x_0=0$ , to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Samą funkcję $f$ nazywa się funkcją analityczną w punkcie $x_0$ , jeśli dla pewnego otoczenia tego punktu powyższy szereg jest zbieżny punktowo do funkcji $f$ (funkcja jest równa swojemu rozwinięciu Taylora). Jeśli jest ona analityczna w każdym punkcie dziedziny, to nazywa się ją po prostu analityczną albo gładką (zob. regularność funkcji). Pojęcie funkcji analitycznej określonej w dziedzinie zespolonej pokrywa się z pojęciem funkcji holomorficznej. W dziedzinie rzeczywistej tak nie jest, każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna ale nie na odwrót.

Przy założeniu istnienia pochodnych dowolnego rzędu funkcji $f\colon D\to Y$ w punkcie $x_{0}\in D$ , warunkiem koniecznym oraz wystarczającym na to, aby dla danego $x\in D$ szereg Taylora funkcji $f$ był zbieżny do $f(x)$ , jest, aby ciąg $(R_n(x,x_0))_{n\in \mathbb N}$ reszt we wzorze Taylora był zbieżny do zera.

Szereg (wzór) Taylora jest efektywnym narzędziem aproksymacji funkcji dostatecznie dużo razy różniczkowalnych. Wielokrotnie do obliczenia przybliżonej wartości funkcji (o wartościach rzeczywistych), liczy się wartość dla $m$ -tej sumy częściowej jej szeregu Taylora. Tak więc przybliżoną wartość funkcji rzeczywistej $f$ , spełniającej powyższe założenia da się znaleźć licząc parę pierwszych wartości:

$f(x)\approx \sum_{k=0}^{N}\frac{f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k}{k!},$

przy czym błąd jest wtedy nie większy niż:

$\max_{\xi\in[x_0,x]}\left\{(x-x_0)\cdot\left|\frac{f^{(N+1)}(x_0)(\xi-x_0)^{N+1}}{(N+1)!}\right|\right\}.$

Rozwinięcia poniektórych funkcji w szereg Maclaurina

Wszystkie poniższe rozwinięcia są poprawne także po rozszerzeniu dziedziny funkcji na liczby zespolone – domyślnie $x$ jest więc liczbą zespoloną, chyba że zaznaczono inaczej.

Pierwiastek kwadratowy

$\sqrt{x+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2 4^n}x^n,\; |x|<1$

Funkcja wykładnicza oraz logarytm naturalny

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^{n},\;$ -1< x ≤1

Szereg geometryczny

$\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n,\; |x|<1$

Uogólniony dwumian Newtona

$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infin} {\alpha \choose n} x^n,\; |x|<1, \alpha\in \mathbb C$

gdzie ${\alpha\choose n} = \frac{\alpha!}{n!(\alpha-n)!} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$

Funkcje trygonometryczne oraz cyklometryczne

Im większy stopień wielomianu interpolacyjnego we wzorze Taylora tym lepiej przybliża on wyjściową funkcję. Na rysunku: rozwinięcia funkcji sinus stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 oraz 13 odpowiednio.

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\mbox{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots ,\; |x|<\frac{\pi}{2}$

gdzie $B_n$ oznaczają liczby Bernoulliego.

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n},\; |x|< \frac{\pi}{2}$

gdzie $E_n$ oznaczają liczby Eulera.

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1},\; |x| < 1$

$\mbox{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1},\; |x|<1$

Funkcje hiperboliczne oraz area hiperboliczne

$\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

$\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}$

$\mbox{tgh}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1},\; |x|<\frac{\pi}{2}$

$\mathrm{arsinh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1},\; |x|< 1$

$\mathrm{artgh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1},\; |x|< 1$

Funkcja W Lamberta

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n,\; |x|< \frac{1}{\mathrm{e}}$

Uogólnione twierdzenie Taylora

Prawdziwe jest także następujące uogólnienie twierdzenie Taylora, zwane także twierdzeniem Taylora.

Niech szereg potęgowy $\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$ będzie zbieżny dla $|x|<R$ oraz niech $f(x)$ oznacza sumę tego szeregu na przedziale $(-R,R)$ . Jeżeli $a\in (-R,R)$ , to funkcję $f$ da się rozwinąć w punkcie $x=a$ w szereg potęgowy, który jest zbieżny dla $|x-a|<R-|a|$ , przy czym

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ .

Przykłady obliczania

Przykład 1

Znależć sumę częściową szeregu Maclaurina funkcji,

$f(x)=\ln\cos x \,$ ,

będącą wielomianem stopnia 6.

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu oraz cosinusa

$\ln(1+x) = x - \tfrac{x^2}{2}+ \tfrac{x^3}{3} - \cdots$

$\cos x - 1 = -\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24}-\tfrac{x^6}{720}+ \cdots .$

podstawiamy odpowiednio, upraszczamy, pomijając jednomiany stopnia wyższego od 6:

$(-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24}-\tfrac{x^6}{720}) - \tfrac{(-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24})^2}{2} +\tfrac{(-\tfrac{x^2}{2})^3}{3}$

$=-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24}-\tfrac{x^6}{720} - \tfrac{x^4}{8}+\tfrac{x^6}{48}-\tfrac{x^6}{24}$

$\ =-\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^4}{12}-\tfrac{x^6}{45}$

Przykład 2

Znaleźć osoba szeregu Maclaurina funkcji

$g(x)=\tfrac{e^x}{\cos x}\,.$

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu funkcji wykładniczej oraz cosinusa

$e^x = \sum^\infty_{n=0} {x^n\over n!} =1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} +\cdots$

$\cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots$

Planujemy osoba szeregu Maclaurina:

${e^x \over \cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots$

Mnożymy wyrażenie przez $\cos x$

$\begin{align} e^x &= (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots)\cos x\\ &=\left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots\right)\left(1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots\right)\\ &=c_0 - {c_0 \over 2}x^2 + {c_0 \over 4!}x^4 + c_1x - {c_1 \over 2}x^3 + {c_1 \over 4!}x^5 + c_2x^2 - {c_2 \over 2}x^4 + {c_2 \over 4!}x^6 + c_3x^3 - {c_3 \over 2}x^5 + {c_3 \over 4!}x^7 +\cdots \end{align}$

Porządkujemy odpowiednie współczynniki:

$=c_0 + c_1x + \left(c_2 - {c_0 \over 2}\right)x^2 + \left(c_3 - {c_1 \over 2}\right)x^3+\left(c_4+{c_0 \over 4!}-{c_2\over 2}\right)x^4 + \cdots$

Porównując współczynniki dostajemy:

$\tfrac{e^x}{\cos x}=1 + x + x^2 + {2x^3 \over 3} + {x^4 \over 2} + \cdots$

Przykład zastosowania

Obliczyć w przybliżeniu $\sqrt{10}$ .

$\sqrt 9$ jest znany, analogicznie jak wartości kolejnych pochodnych funkcji $f(x)=\sqrt x$ w punkcie x = 9, tak więc:

$\sqrt 10=\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{f^{(k)}(9)(10-9)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{f^{(k)}(9)}{k!}\approx\sum_{k=0}^{N}\tfrac{f^{(k)}(9)}{k!}$

$\sqrt 10\approx\sqrt 9+\tfrac 1{2\sqrt 9}-\tfrac 1{8(\sqrt 9)^3}+\tfrac 3 {48(\sqrt 9)^5}=3+\tfrac 1 6-\tfrac 1{216}+\tfrac 1{3888}=3+\tfrac{631}{3888}\approx 3,162294238683127572016$

$\left(3+\tfrac{631}{3888}\right)^2=10+\tfrac{1585}{15116544}.$

Przy czym błąd jest nie większy niż:

$\max_{\xi\in[9,10]}\left((10-9)\left|{384(\sqrt\xi)^7}\right|\right)=\tfrac{15}{384(\sqrt 9)^7}=\tfrac{15}{839808}\approx 0,000017861$

Bibliografia

Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy oraz całkowy. Wyd. trzecie fotograficzne. T. I. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1966, s. 201-218.
Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa, Poznań: PWN, 2000. ISBN 83-01-02846-7.

Sprawdź też

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Wzór_Taylora&oldid=30633813”

Kategorie:

vseo.pl

Info

Kategorie